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2024-2025 学年山东省日照市某校高一（下）期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 cos( 2025 .已知 2 + ) =
1
4，那么 sin =( )
A. 14 B.
1 15 15
4 C. 4 D. 4
2.已知向量 = (2,2)，则与向量 方向相反的单位向量是( )
A. (1,0) B. (1,1) C. ( 2 , 22 2 ) D. (
2 2
2 , 2 )
3.已知向量 = (1,2)， = (1, 2)，则下列结论正确的是( )
A. / / B. = 2
C. ( + ) ⊥ ( ) D. | | = 5
4.在梯形 中，设 = ， = ，若 = 2 ，则 =( )
A. 1 + B. 1 + C. + 1 1 2 2 2 D. 2

5.若 sin( )sin cos( )cos = 4 5，且 为第三象限角，则 tan( 4 + ) =( )
A. 7 B. 7 C. 1 D. 17 7
6 .已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，下列说法不正确的是( )
A. = 2， = B. 5 3 函数 ( )的图象关于直线 = 12对称
C.函数 ( ) 2 的图象关于( 3 , 0)对称 D.函数 ( )在[
5
12 , 12 ]上单调递增
7.已知函数 ( ) = cos(2 + ) | | < π π2 的最小正周期为 .若 4 = 2，把 ( )的图象向右平移6个单位长
π
度，得到偶函数 ( )的图象，则 4 =( )
A. 2 B. 2 C. 4 3 4 33 D. 3
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8.当 ∈ [0,2 ] 时，曲线 = sin 与 = 2cos(3 6 )的交点个数为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A.函数 = tan 的对称中心是( , 0)， ∈
B.在△ 中， > sin > sin
C. = ( 1,2)， = (0,1)，则 在 上的投影向量等于 2
D.两个非零向量 ， 的夹角是锐角 > 0
10.计算下列各式的值，结果为 2 的有( )
A. tan75° + tan120° B. 1
sin 15 cos 15°
C. (1 + tan20°) (1 + tan25 ) D. 1 3cos80 sin80
11 π.如图所示，已知角 ， (0 < < < 2 )的始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 ， ，
+ +
为线段 的中点，点 坐标为 cos , sin ，记 ( , ) = + cos( )
sin +sin
2 2 cos ，则( )2
A. + = B.若 + = 3 π，则∠ = 3
C. + + π点 的坐标为 cos 2 cos 2 , sin 2 cos 2 D.若 ( , ) = 0，则 + = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知扇形的周长为 9 ，圆心角为 1 ，则该扇形的面积为 2．
13.在 中，∠ = 90°, = = 4，点 为边 的中点，点 在边 上，则 的最小值为 ．
14.把函数 ( ) = 3sin + cos (0 < < 2 ) 的图象向左平移6个单位长度，得到的函数是奇函数，则
的值为 ，若函数 ( )在区间[0, ]上存在最大值 2，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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已知向量 ， 满足：| | = 2，| | = 3，(2 ) ( + 2 ) = 2．
(1)求 与 的夹角 的余弦值;
(2)若( + 2 ) ⊥ ( )，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知 ∈ 0, π ，且 sin + cos = 15．
(1)求 sin cos 的值；
(2) 1+sin2 cos2 求 1+tan 的值．
17.(本小题 15 分)
如图，在 中， 是边 的中点， 是线段 的中点．
(1)用 和 分别表示 和 ；
(2)若直线 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ， = , = , ∈ R+ , = 2 ，求 + 2
最小值．
18.(本小题 17 分)
中国数学家华罗庚倡导的“0.618 优选法”在各个领域应用广泛，0.618 就是黄金分割比的近似值，这一数
值也可以表示为 2sin18 .三倍角公式是把形如 sin3 ，cos3 等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，
广泛应用于数学、物理、天文等学科．
(1)已知 cos3 = 4cos3 3cos 试证明此三倍角公式;
(2) cos3 1 sin3 若角 满足 3cos = 2，求 sin 的值(已知 sin3 = 3sin 4sin );
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值 2sin18 ．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < π)．
(1)若 ( ) π为偶函数，设 ( ) = ( ) + 3 ．
①求 ( )解析式；
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②若存在 ∈ 0, π2 ，使不等式 ( ) + < 2 成立，求实数 的取值范围；
(2) π若函数 ( )的图象过点 6 , 1 ，设 ( ) = cos
2 + 2 sin π π π，若对任意的 1 ∈ 2 , 2 ，总存在 2 ∈ 0, 2 ，
使 1 < 2 + 3 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.92
13. 92/ 4.5
14.5 ；[ 15 , + ∞)
15.解：(1)因为| | = 2，| | = 3，(2 ) ( + 2 ) = 2，
由题意得 2 2 + 3 2
2
= 2，
即 8 + 3 18 = 2，∴ = 4，

∴ cos = = 4 = 2；
| || | 2×3 3
(2)由(1)知 = 4，
2
∵ ( + 2 ) ⊥ ( )，则 2 + (2 2) 2 = 0，
即 2 2 + 7 4 = 0，
∴ = 12或 = 4．
16.(1) 1因为 sin + cos = 5，
等式两边同时平方可得， sin + cos 2 = 125，
所以sin2 + cos2 + 2sin cos = 1 2 225，又sin + cos = 1，
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所以 2sin cos = 2425，又 ∈ 0, π ，
所以 sin > 0，cos < 0，
所以 sin cos = sin cos 2 = 1 2sin cos = 75，
即 sin cos = 75；
(2)由(1)sin + cos = 15，sin cos =
7
5，
所以 sin = 4 35，cos = 5，
所以 sin2 = 2sin cos = 24 725，cos2 = 1 2sin
2 = 25，tan =
sin = 4cos 3，
24 7
1+sin2 cos2 1
所以 = 25
+25 = 241+tan 1 4 25
，
3
1+sin2 cos2 24
即 1+tan = 25．
17.(1)由题意，
= + = + 1 = + 1 = 1 + 1 2 2 2 2 ，
= + = + 1 = + 1 = 34 4 4
+ 1 4 ；
(2)由 = , = , ∈ R+ , = 2 ，
1
得 = , =
1

，
= 2 = 1 + 1 = 1 + 1 3 3 3 3 3 ，
1 1
因为 , , 三点共线，所以3 + 3 = 1，
则 + 2 = ( + 2 ) 1 13 + 3 = 1 +
2
3 +

3 ≥ 1+ 2
2
3
2 2
3 = 1 + 3 ，
2
当且仅当3 =
1+ 2
3 ，即 = 2 = 3 时取等号，
所以 + 2 2 2最小值为 1 + 3 ．
18.解：(1)cos3 = cos(2 + )
= cos2 cos sin2 sin
= (2cos2 1)cos 2sin2 cos
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= (2cos2 1)cos 2(1 cos2 )cos
= 4cos3 3cos ；
(2) (1) 3 = 4
3 3 1
由 及已知得： 2cos cos = 4 3 = 2，
解得cos2 = 58，
sin 3 = 3sin 4sin3 ，
∴ 3 = 3 4
3 2
sin sin = 3 4 ，
由cos2 = 58，得sin
2 = 38，
∴ 3 3 3sin = 3 4 × 8 = 2；
(3) ∵ cos54° = sin36°，即 cos(3 × 18°) = sin(2 × 18°)，
∴ 4cos3 18° 3cos 18° = 2sin 18°cos 18°，
两边除去 cos18°得：4cos2 18° 3 = 2sin 18°，即 4(1 sin2 18°) 3 = 2sin 18°，
化简得：4sin2 18° + 2sin 18° 1 = 0 5 1，解得 18° = 4 (负舍)，
5 1
由题意知黄金分割值为 2 18° = 2 ．
19.(1)①由 ( ) π为偶函数，则 = 2 + π， ∈ Z，
又 0 < < ，则 = π2，
所以 ( ) = cos2 ，
则 ( ) = cos2 cos2( + π ) = cos2 cos2 cos 2π3 3 + sin2 sin
2π
3
= 3 32 cos2 + 2 sin2 = 3sin(2 +
π
3 )．
②存在 ∈ 0, π π2 ，使不等式 ( ) + < 2 成立，则 2 + 3 ∈
π
3 ,
4π
3 ，
所以 ( ) < 2 在 2 + π ∈ π , 4π 33 3 3 上能成立，而 ( ) ∈ 2 , 3 ，
所以 2 > 3 72 < 2；
(2) π π π由题设 6 = sin 3 + = 1，且 0 < < ，则 = 6，
所以 ( ) = sin 2 + π6 ，
π π π 7π 1
而 2 ∈ 0, 2 ，则 2 2 + 6 ∈ 6 , 6 ，所以 2 ∈ [ 2 , 1]，
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对任意的 1 ∈
π , π π2 2 ，总存在 2 ∈ 0, 2 ，使 1 < 2 + 3 成立，
所以 21 max < 2 max + 3 = 4，即(cos 1 + 2 sin 1)max = (1 sin2 1 + 2 sin 1)max < 4，
令 = sin 1 ∈ [ 1,1]，则 ( ) = 2 + 2 + 1 = ( )2 + 1 + 2，故 ( )max < 4，
当 ≥ 1，则 ( )在[ 1,1]上单调递增，此时 (1) = 2 < 4，可得 1 ≤ < 2；
当 ≤ 1，则 ( )在[ 1,1]上单调递减，此时 ( 1) = 2 < 4，可得 2 < ≤ 1；
当 1 < < 1，则 ( )在[ 1, )上单调递增，在( , 1]上单调递减，
此时 ( ) = 1 + 2 < 4，可得 1 < < 1；
综上， 2 < < 2．
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