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2024-2025学年安徽师范大学附属中学高一下学期 4月期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 1 + 2 ，则| |为( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 5
2.若向量 = ( 3,2)， = (3, )， ⊥ ，则 =( )
A. 92 B. 2 C. 2 D.
9
2
3.在 2 3中，若其面积为 ，且 = 3 ，则角 的大小为( )
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
4.正方形 ′ ′ ′ ′的边长为 2，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是( )
A. 12 B. 4 2 C. 16 D. 8 2
5.在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， ，若 = ， =
， > 0， > 0 1 9，则 + 的最小值为( )
A. 3 B. 8 C. 92 D. 9
6.在 中，若 2 + 2 2 = ，且 sin = 2sin cos ，那么 一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
7.八卦是中国文化的基本哲学概念，图 1 是八卦模型图，其平面图形为图 2 所示的正八边形 ，
其中 = 1， 为正八边形的中心，则 =( )
A. 2 1 B. 1 C. 1 + 2 D. 2
8.若三棱台 1 1 1的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为
260 的球 的表面上， = 2 1 1 = 8 3，则三棱台 1 1 1的高为( )
A. 2 3 B. 8 C. 6 或 8 D. 2 3或 6
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关平面向量的命题中，不正确的是( )
A.若| | = | |，则 =
B.已知 // ， // ，则 //
C.若非零向量 ， ， ，满足 = ，则 =
D.若 = ，则| | = | |且 //
10. 的内角 ， ， 的对边分别为 , , ，则下列命题正确的有( )
A.若 = 30°， = 4， = 3，则 有唯一解
B.若 > ，则 sin > sin ，cos < cos
C.已知 的外接圆的圆心为 ， = 3， = 2， 为 上一点，且有 = 2 ， = 76
D.若 sin : sin : sin = 3: 2: 4， 16外接圆半径为 ，内切圆半径为 ，则 = 5
11.如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 ， ， 分别是棱 ， 1， 的中点，则下列说
法正确的有( )
A.直线 1 与直线 1 共面
B. = 1 1 3
C.点 是线段 1上的动点，则满足 ⊥ 的点 有且只有一个
D.过直线 的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
12.已知向量 , 满足| | = 1，| | = 2， , 的夹角为 60°，则 ．
13.已知复数 = 2 6 + 5 + ( 2) ( 是虚数单位)，若 所对应的点在复平面的第二象限内，则实数
的取值范围为 ．
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14.如图，在三棱柱 1
1 2
1 1中， 是棱 1上的一点，且 = 3， 是棱 上一点.若 1 //
平面 ，则 的值为 ．
15.已知在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 2 5，且 2 sin cos = sin sin +
5 sin ，点 满足 + 2 +
= 0，cos∠ = 38，则 的面积为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
已知向量 = (1,2)， = ( 3, ).
(Ⅰ)若 // ，求| |的值；
(Ⅱ)若 ⊥ ( + 2 )，求实数 的值；
(Ⅲ)若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围．
17.(本小题 12 分)
在复平面内， 为坐标原点，复数 1 = + i 是关于 的方程 2 2 3 + = 0 的一个根．
(1)求实数 ， 的值；
(2) 若复数 22 = 1 + 3i， 1， 2， 所对应的点分别为 ， ， ，记 的面积为 1， 的面积为 2，1

求 1 ．2
18.(本小题 12 分)
如图，直三棱柱 1 1
3
1中， = 1 = 1， = 2，cos∠ = 3 ， 为线段 1上的动点．
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(1)当 为线段 1上的中点时，求三棱锥 的体积；
(2)当 在线段 1上移动时，求 + 的最小值．
19.(本小题 12 分)
如图，四棱锥 的底面为平行四边形， 是 的中点，过 ， ， 的平面 与平面 的交线为 ．
(1)证明： //平面 ；
(2)求平面 截四棱锥 所得的上、下两部分几何体的体积之比．
20.(本小题 12 分)
在△ 中， = 1， 为 边上一点，且∠ = 3．
(1)若 为 边上的中线，求边 的最大值;
(2)若 为∠ 的平分线，且△ 为锐角三角形，求边 的取值范围．
21.(本小题 12 分)
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马(1601 1665)于 1643 年提出的平面几何极值问题：“已知一
个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已
知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ 的三个内角均小于 120°时，则使得∠ =
∠ = ∠ = 120 2 cos sin 的点 即为费马点．在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 , , ，且 cos = tan .
若 是 的“费马点”， = 2 3, < ．
(1)求角 ；
(2)若 + + = 4，求 的周长；
(3)在(2)的条件下，设 ( ) = 4 2 + | | + | | + | |，若当 ∈ [0,1]时，不等式 ( ) ≥ 0 恒成立，
求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.(2,5)/2 < < 5
14.58
15. 55
16.解：(1)因为 = (1,2)， = ( 3, )，且 // ，
所以 1 × 2 × 3 = 0，解得 = 6，
则 = ( 3)2 + ( 6)2 = 3 5．
(2)因为 + 2 = 5,2 + 2 ，且 ⊥ ( + 2 )，
所以 ·( + 2 ) = 1 × 5 + 2 × 2 + 2 = 0，
解得 = 14．
(3)因为 与 的夹角是钝角，
则 · < 0 且 与 不共线．
即 · = 1 × 3 + 2 × < 0，
由(1)可知 ≠ 6，
< 3则 2且 ≠ 6．
3
故实数 的取值范围为( ∞, 6) ∪ ( 6, 2 )．
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17.(1)解法一：依题意， + i 2 2 3 + i + = 0，
整理得 2 1 2 3 + + 2 2 3 i = 0，
2 1 2 3 + = 0
于是，有 ,
2 2 3 = 0
解得 = 3， = 4；
解法二：依题意， i 是方程 2 2 3 + = 0 的另一个根，
+ i + i = 2 3
于是，有 ,
+ i i =
解得 = 3， = 4；
(2)由(1)知 1 = 3 + i，因为 2 = 1 + 3i，
2 = 1+ 3i = 1+ 3i 3 i = 3 + 1所以 1 3+i 3+i 3 i 2 2
i，
所以 3, 1 ， 1, 3 3 1， 2 , 2 ，
从而 = 3, 1 ， = 1, 3 ， = 3 12 , 2 ，

可知 = 1

2 ，所以
1
=2
= 2．
解法二：由(1)知 1 = 3 + i = 2 cos
π
6 + isin
π
6 ，因为 2 = 1 + 3i = 2 cos
π
3 + isin
π
3 ，
2 cos
π+isinπ π
所以 2 = 3 3 π π = cos 6 + isin
π
6，1 2 cos6+isin6
可知 = 1 2 ，

所以 1 = = 2．2
18.解：(1)因为 = 1， = 2，cos∠ = 3，3
由余弦定理有 2 = 1 + 2 2 cos∠ ，解得 = 3．
因为 cos∠ = 3，所以 6．3 sin∠ = 3
所以 1 1△ = 2 sin∠ = 2 × 3 × 1 ×
6 = 2．3 2
所以 = =
1
2 1
= 12 ×
1
3
1 2 2
△ × 1 = ．6 × 2 = 12
(2)将△ 1绕 1旋转到与△ 1同一平面(如图所示)，
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连接 交 于点 0，此时 + 取得最小值，最小值即 长．
在△ 1中， 1 = 2， = 2， 1 = 2，
故 2 21 + = 21，故 AB⊥ 1，即∠ = 90 1 ．
又易知∠ 1 = 45 ，故∠ = 135 ，
由余弦定理得 2 = 1 + 2 2 × 2 × 1 × cos135 = 5，
所以 = 5．
故 A + 的最小值为 5．
19.(1)证明：因为 // ，且 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又平面 与平面 的交线为 ，且 平面 ，
则 // ，
又 平面 ， 平面 ，
故 //平面 ；
(2)解：设 与 交于点 ，则 为 的中点，连接 ， ， ， ，
设四棱锥 的体积为 ，
则 = = 4，
又 = = 2 ，
= 则 8，
所以平面 5 截四棱锥 所得的下面部分的几何体的体积为4 + 4 + 8 = 8 ，
3
所以上面部分几何体的体积为 8 ，
故平面 截四棱锥 所得的上、下两部分几何体的体积之比为 3：5．
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20.解：(1)设 = ， = ，又 为 边上的中线，所以 = ，
在△ 中，由余弦定理得， 2 + 2 2 cos 23 = ，又 = 1，所以
2 + 2 = 1， ①
在△ 中，由余弦定理得， 2 + 2 2 cos 2 2 2 23 = ，即 + + =
2， ②
由 ① + ②得 2 + 1 = 2( 2 + 2)，

2+ 2
又由 ①得 2 + 2 = + 1 ≤ 2 + 1(当且仅当 = 时取等号)，
所以 2 + 2 ≤ 2，所以 2 + 1 ≤ 4，即 ≤ 3．
综上，当且仅当 = = 1 时，边 取得最大值 3．
(2)因为 为∠ 的平分线，
所以可设∠ = ∠ = 2 ，则 = 3 ， = 3 ，
0 < 2 < ,
因为△ 为锐角三角形，所以 3 2 所以 < < ．
0 < 2 < , 6 42

在△ 中，由正弦定理得sin = ， ③3 sin(2 3 )
△ = 在 中，由正弦定理得
sin2 sin( )
， ④
3 3
sin(2 ) 3cos +1sin
÷ ④ ③得 3 2 2 = sin( 3 )
= 3 ，
2 cos
1
2sin
又 = 1 3+tan ，所以 = 3 tan ，
tan = < < 设 ，又6 4，所以 ∈ (
3
3 , 1)，
所以 = 3+ 3 = 1
2 3 3
3在( 3 , 1)上为增函数，
所以 ∈ (2,2 + 3).
21.解：(1)
2 cos
由已知，得 cos =
sin
tan ，
sin cos = 2sin cos sin sin 由正弦定理，得 tan ，
即 2sin cos = sin cos + cos sin ，
即 2sin cos = sin + = sin ，
由于 0 < < , sin > 0 1 ，所以 cos = 2，所以 = 3；
(2)
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设 = , = , = ，
则 + + = 12 +
1
2 +
1
2 = 4，
所以 + + = 8，由 + + = 得：
1 3 + 1 3 1 3 12 2 2 2 + 2 2 = 2 sin

3，即 = 8，
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 12 = 2 + 2 2 × 1 2 2 2 22 = + 8，即 + = 20，
2 2
又 < ，联立 + = 20，解得 = 4, = 2．
= 8
所以 的周长为 + + = 6 + 2 3．
(3)
设 = , = , = ，
2 + 2 + = 16
由(2)在 , , 中，由余弦定理得 2 + 2 + = 4 ,
2 + 2 + = 12
联立 + + = 8 求解可得 2 + 2 + 2 = 12，
所以 + + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + + = 28，
所以 + + = 2 7， = 4 2 + + + = 4 2 + 2 7 ≥ 0，
即 ≤ 2 + 2 7 2 ，令 = 2 , ∈ 1,2 ，
2 7
由对勾函数性质知 = + 在 ∈ 1,2 上单调递减，
所以 ≤ + 2 7 = 2 +
2 7
2 = 2 + 7，即 的取值范围为 ∞,2 + 7 ．min
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