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2024-2025学年安徽省池州市贵池区高一下学期 4月期中教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若| i| = |1 2i|，则实数 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.如图，已知 = , = , = 4 , = 3 ，则 =( )
A. 5 3 B. 3 112 4 4 3 C.
3
4
1
3
D. 5 3 12 4
3 π.在三角形 中， = 2， = 3， = 2 3，则∠ =( )
A. π B. π C. π π6 2 6或2 D.
π π
3或2
→ →
4.在 中，角 , , 的对边分别为 , , , = π3，若 = 2 3, ， = , + 2 3 ，且 /\ !/ ，
则 的面积为( )
A. 3 B. 9 3 C. 3 32 2 D. 3 3
2 2 2
5. + 中， 、 、 分别是内角 、 、 的对边，若 = 且( 4 + )
= 0，则
| | | |
的形状是( )
A. 有一个角是6的等腰三角形 B.等边三角形
C.三边均不相等的直角三角形 D.等腰直角三角形
6.“勾 3 股 4 弦 5”是勾股定理的一个特例．据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾 3 股 4
弦 5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了 500 多年．如图，在矩形 中，△ 满足“勾 3 股 4
弦 5”，且 = 3， 为 上的一点， ⊥ ，若 = + ，则 + 的值为( )
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A. 9 B. 7 C. 1625 25 25 D. 1
7.在 1中，点 在边 上，且满足| | = 4 | |，点 为 上任意一点，若实数 , 满足
= + ，
2
则 +
1
的最小值为( )
A. 2 2 B. 4 3 C. 6 + 4 2 D. 9 + 4 2
8.若 的三个内角均小于120 ，点 满足∠ = ∠ = ∠ = 120 ，则点 到三角形三个顶点的
距离之和最小，点 被人们称为费马点.根据以上性质，已知 是平面内的任意一个向量，向量 , 满足 ⊥ ，
且 = 3, = 1，则 + + + 的最小值是( )
A. 9 B. 4 3 C. 6 D. 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 在复平面内对应的点为 ，原点为 ， 为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.若 = 1，则 =± 1 或 =±
B.若点 的坐标为 3,2 ，且 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，则 + = 19
C.若 = 3 2 ，则 的虚部为 2
D.若 1 ≤ 2 ≤ 2，则点 的集合所构成的图形的面积为
10.已知 1，
3
2是两个单位向量， ∈ 时，| 1 + 2|的最小值为 2 ，则下列结论正确的是( )
A. 1，

2的夹角是3 B. 1， 2
2
的夹角是3或 3
C. | 1+ 2| = 1 或 3 D. |
3
1 + 2| = 1 或 2
11.已知 三个内角 , , 的对应边分别为 , , π，且∠ = 3 , = 2.则下列结论正确( )
A. 面积的最大值为 3
B. 4 3的最大值为 3 + 3
C. cos + cos = 2
D. cos cos 的取值范围为 ∞,
3
2 ∪ 3, + ∞
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若实数 , 满足(2 1) + i = (3 )i，其中 i 为虚数单位，则 + = ．
13.如图，在海面上有两个观测点 ， ，点 在 的正北方向，距离为 2 ，在某天 10: 00 观察到某航船在
处，此时测得∠ = 45°，5 分钟后该船行驶至 处，此时测得，∠ = 30°，∠ = 60°，∠ = 30°，
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则该船行驶的距离为
14.我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即 的三个内角 , , 所对的边分别为 , , ，
S = 1 2 2
2+ 2 2 2
则 的面积 4 2 .已知在 中， cos = 8, = 2，则 面积的最大值
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = i( ∈ )，且 1 + 3i 为纯虚数( 是 的共轭复数)．
(1)求实数 的值；
(2) = +4i设复数 1 1+i ，求 1 ；
16.(本小题 15 分)
已知| | = 5，| | = 2，( + 3 ) ( 2 ) = 6．
(1)求 与 的夹角;
(2)若向量 为 在 上的投影向量，求| + |.
17.(本小题 15 分)
△ 的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = + ( )．
(1)求角 ；
(2)从三个条件：① = 3；② = 3；③△ 的面积为 3 3中任选一个作为已知条件，求△ 周长的取
值范围．
18.(本小题 17 分)
1
已知在 中， 为 中点， = ， 3 = 2，
= 4．
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(1)若∠ = 60 ，求 ；
(2)设 和 1的夹角为 ，若 cos = 4，求证： ⊥ ；
(3)若线段 1上一动点 满足 = + 1 2 4
，试确定点 的位置．
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系 中，对于非零向量 = 1, 1 ， = 2, 2 ，定义这两个向量的“相离度”为 , =
1 2 2 1 ，容易知道 ， 平行的充要条件为 , = 0．
21+
2
1
2
2+
2
2
(1)已知 = (2,1)， = ( 4,2)，求 , ；
(2)①已知 ， 的夹角为 1和 ， 的夹角为 2，证明： , = , 的充分必要条件是 sin 1 = sin 2；
②在 中， = 2， = 4， = 2 且 = 4 3，若 +
+ = 0，求 , ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.132
13. 2
14.3
15.解：(1)因为 = i( ∈ )，则 = + i，
所以 1 + 3i = + i 1 + 3i = ( 3) + (3 + 1)i，又 1 + 3i 为纯虚数，
3 = 0
所以 3 + 1 ≠ 0，解得 = 3；
(2) = +4i = 3+4i 3+4i 1 i 3 3i+4i+4 7+i 1 71 1+i 1+i = 1+i 1 i = 2 = 2 = 2 + 2 i，
1 49 5 2
所以 1 = 4+ 4 = 2 ．
16.解：(1)设 与 的夹角为 ，因为| | = 5，| | = 2，
所以( + 3 ) ( 2 )
= + 6
2
= | |2 + | || |cos 6 ，
∴ 52 + 5 × 2cos 6 × 22 = 6 cos = 1，即 2，
又 ∈ [0, ] ，∴ = 3，即 与
的夹角为3；
5×2cos
(2)因为 = · 3 5
|
· =| 2 · 2 = 4 ，
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所以| + | = | + 5 4 | = ( +
5 )24
5 25
= | |2 + | || |cos + | |22 3 16
2 5 25= 5 + 2 × 5 × 2cos 3 +
2
16 × 2
= 5 72 ．
17.解：(1) 因为 = + ( )

，所以 = + ( )，
2 2 2
得 2 + 2 2 = ，所以 = + 2 =
1
2，
因为 ∈ (0, )，所以 = 3．
(2)分三种情况求解：
选择① = 3，

因为 = 3 , = 3，

由正弦定理得 = = = 2 3，
即△ 的周长 = + + = 2 3 + 2 3 + 3 = 2 3 + 2 3sin( 2 3 ) + 3 =
3 3 + 3 + 3 = 6 ( + 6 ) + 3，
∈ (0, 2 因为 3 )
< + < 5 1 ，所以6 6 6 , 2 < sin( + 6 ) ≤ 1，
即△ 周长的取值范围是(6,9]．
选择② = 3．
因为 = 3 , = 3，

由正弦定理得sin = sin = sin ，
3 (2 )
= 3 3 , = 3 = 3 = 3 3 3所以 2 2 + 2，
3 3 3 3 9 3 3(1+ ) 9 6 3cos2

即△ = + + = 2 9 3 3的周长 2 + 2 + 2 = 2 + 2 = + 2 = +
9
2，4 2cos2 2 2
因为 ∈ (0, 2 3 )，所以 0 <

2 <

3，所以 0 < tan 2 < 3，
即△ 周长的取值范围是(6, + ∞)．
选择③ △ = 3 3．
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= , = 1 = 3因为 3 △ 2 4 = 3 3，得 = 12，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 = ( + )2 36，
即△ 的周长 = + + = ( + )2 36 + + ，
因为 + ≥ 2 = 4 3，当且仅当 = = 2 3时等号成立，
所以 ≥ (4 3)2 36 + 4 3 = 6 3．
即△ 周长的取值范围是[6 3, + ∞)．
18. 1解：(1)因为 = 3 ，则 =
1 3
= 3，可得 4
+ 1 4 ，
因为 = 2， = 4，∠ = 60 ，
由平面向量数量积的定义可得 = cos60 = 2 × 4 × 12 = 4，
3
所以， = + 1
2
= 1 3 + = 1 9
2
+ 6
2
4 4 4 4
+
= 14 9 × 4 + 6 × 4 + 4
2 = 192 ．
(2)因为 为 的中点，则 = = 1 2 ，
由平面向量数量积的定义可得 = cos = 2 × 4 × 14 = 2，
所以，
2
= 1 2
= 1 2
= 12 × 2
2 2 = 0，
又因为 、 均为非零向量，故 ⊥ ，即 ⊥ ．
(3)因为点 在线段 上的一点，设 = ，其中 0 ≤ ≤ 1，
则 = ，所以， = (1 ) + = 1 2
+ ，
又因为 = 1 + 1 ，且 、2 4
不共线，
1 = 1
所以， 2 41，解得 =
1
2，此时，点 为线段 的中点． = 2
19. (1) , = 2×2 1×( 4)解： 5×2 5 =
4
5．
1 2+ 1 2 2 1 2 2 1 2(2)①因为cos2 , + 2 , =
2 2 2 2
+ 2 2 2 2
1+ 1 2+ 2 1+ 1 2+ 2
2 2= 1 2+
2 2 2 2 2 2
1 2+ 1 2+ 2 1 = 1，
2+ 2 2 21 1 2+ 2
且 , ≥ 0，< , > ∈ 0, π ，则 2 , = 1 cos2 < , > = sin2 < , >，
所以 , = sin < , >．
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若 , = , ，等价于 sin < , > = sin < , >，即 sin 1 = sin 2，
所以 , = , 的充分必要条件是 sin 1 = sin 2；
②因 = 2 ，
则 = + = + 1 = + 1 = 2 + 1 3 3 3 3 ，
2
可得
2 2 2
= 2 3 +
1
3
= 4 9
+ 1 + 4 9 9
，
16 = 16 + 16 + 4即 ，可得 9 9 9 9 = 4，
又因为 + + = 0，可知点 为 的重心，则 = 1 + 1 3 3 ，
1
可得 = 3
1 ， = + = 2 1 3 3 3 ，
2
2
则 = 1
2
3
13
= 1 9 +
1
9
+ 2 9 =
4
3，
2

2 2 2
= 2 1 3 3
= 4 9
+ 1 9
4 9
= 163，
= 1 1 2
2 2
3 3 3
1
3
= 2 9 +
1 1 4
9 9 = 3，
2 16
可得cos2

, = = 9 = 1，

2

2 4×16 43 3
所以 , = sin , = 1 cos2 , = 32 ．
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