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2024-2025 学年天津市河东区高一下学期 4 月期中质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在五边形 中(如图)， + =( )
A. B. C. D.
2.平行四边形 中，点 是 的中点，点 是 的一个三等分点(靠近 )，则 =( )
A. 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 B. 4 + 2 C. 3 + 2 D. 2 3
3.已知复数 = 2 1+ ，则
A. | | = 2 B. 的实部为 1
C. 的虚部为 1 D. 的共轭复数为 1 +
4 4 .已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3、圆心角为 3的扇形，则该圆锥的高是( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
5.用斜二测画法画水平放置的 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形． ′ ′ ′已知点 ′是斜
边 ′ ′的中点，且 ′ ′ = 1，则 的边 边上的高为( )
A. 1

B. 2 C. 2 D. 2 2
6.对于下列四个命题：
①任何复数的绝对值都是非负数；
②如果复数 1 = 5 ， 2 = 2 3 ， 3 = 5 ， 4 = 2 ，那么这些复数的对应点共圆；
③ cos + sin 的最大值是 2，最小值为 0；
④ 轴是复平面的实轴， 轴是虚轴．
其中正确的有( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
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7.在 中，三个内角 , , 所对边分别为 , , ，若( )sin = 2 sin 且 = 10, cos = 58 ,则
的面积等于( )
A. 392 B. 39 C. 3 13 D. 3
8.设两个向量 = ( + 2, 2 cos2 ) = ( , + ) = 2 和 2 ，其中 ， ， 为实数．若 ，则 的取值范
围是( )
A. [ 6,1] B. [4,8] C. ( ∞,1] D. [ 1,6]
二、填空题：本题共 6 小题，共 30 分。
9.已知(1 i)2 = 3 + 2i，则 = ．
10.已知向量 = (1,2)， = (0, 2)， = ( 1, )，若(2 )// ，则实数 = ．
11.已知直三棱柱 1 1 1的 6 个顶点都在球 的球面上，若 = 3， = 4， ⊥ ， 1 = 12，
则球的表面积为 ．
12.已知向量 = 1,2 , = 1, ,若 在 方向上的投影向量为 ，则 = ．
13.在直角梯形 中， // ， ⊥ ，∠ = 45 ， = 2 = 2， 为腰 的中点，则
= ．
14.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，且 = 2sin , = 2 3cos ;则 的取值范围为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知复数 = 2 + 5 + 6 + 2 2 15 i,求满足下列条件的实数的值或取值范围．
(1)复数 与复数 2 12i 相等；
(2)复数 在复平面内对应的点在 轴上方．
16.(本小题 15 分)
(Ⅰ)已知单位向量 1与 2夹角为 60°，且 = 1 + 2, = 1 2 2，求 的值．
(Ⅱ)已知| | = 2, | | = 3, | | = 7，求 与 夹角的余弦值．
17.(本小题 16 分)
如图所示，有一块扇形铁皮 , ∠ = 60 , = 72cm，要剪下来一个扇环 ，作圆台形容器的侧面，
并且在余下的扇形 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).试求：
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(1) 的长；
(2)容器的容积．
1
参考公式：圆台的体积公式： = ′ ′ ′3 ( + + ) ( , 分别是上、下底面面积， 为台体的高)
18.(本小题 17 分)
如图，在梯形 中， / / ， = 5，∠ = 60 ．
(1)若 sin∠ = 14，求 的长;
(2)若 = 2，求 cos∠ ．
19.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 + = 32 ．
(1)求角 的大小；
(2)若△ 为锐角三角形，其外接圆半径为 3，求△ 周长的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 1 + 32 i
10. 3
11.169
12.3
13.2
14.(0,2]
15.解：(1)由题意可得 2 + 5 + 6 + 2 2 15 i = 2 12i，
2∴ + 5 + 6 = 2
2
,
2 15 = 12
∴ = 1；
(2) ∵ = ( 2 + 5 + 6) + ( 2 2 15)i，
其在复平面对应的点为( 2 + 5 + 6 , 2 2 15)，
该点在 轴上方，则 2 2 15 > 0
∴ < 3 或 > 5．
16.解：(Ⅰ) ∵单位向量 1与 2夹角为 60°，
∴ 1 2 = | 1| | 2| 60° = 1 × 1 ×
1
2 =
1
2．
∴ = ( 1+ 2) ( 1 2 2)
= 21 1 2 2
2
2 = 1
1
2 2 =
3
2．
2
(Ⅱ) ∵ | | = 7，∴ 2 2 + = 7，即 2 2 + 9 = 7，
∴ = 2，
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∴ cos < , >= = 2 = 2．
| | | | 2×3 3
2故 与 夹角的余弦值为 3 ．
17.解：(1)如图 1，设 与圆 相切与 ，
设圆台上、下底面圆的半径分别为 ′、 ，
∵ 2 = 3 × 72，∴ = 12
在 中， = ， = 2 ，∴ = 3
∴ = = 36(cm).

(2) ∵ 2 ′ = ′3 3 ，∴ = 6
圆台的轴截面为图 2，圆台的高 = 2 ( ′)2 = 362 62 = 6 35
1 2 2 1 2
∴ = ( ′ + ′ 2 + 2) = ( ′ ′3 3 + +
2)
1
= 3 (6
2 + 6 × 12 + 122) × 6 35 = 504 35
即容器的容积为 504 35 cm3．
18.解：(1)在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
= sin∠ 5sin60

则 sin∠ = 1 = 10 3．
4
(2)因为 / / ，所以∠ = ∠ = 60 ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 19，则 = 19，
cos∠ =
2+ 2 2 4 19
所以 2 = 19 ．
19. 3解：(1) △ 中，由 + = 2 ，
3
利用正弦定理可得 + = 2 ，
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因为 ≠ 0，所以 + = sin( + ) = = 32 ，
又 ∈ (0, )，
2
所以 = 3或 3；
(2) △ 若 为锐角三角形，由(1)知 = 3，且外接圆的半径为 3，

由正弦定理得sin = 2 × 3，可得 = 3，3

由正弦定理得 = = 2 3，
所以 + = 2 3( + )；
因为 + = 2 3，
所以 + = 2 3[ + sin( 2 3 )] = 2 3 × (
3 3
2 + 2 ) = 6 ( +

6 )，
又△ 为锐角三角形，则 0 < < 2，且 0 < < 2，
= 2 又 3

，则6 < <
2
2，所以3 < + 6 < 3；
3
所以 2 < sin( +

6 ) ≤ 1；
所以 3 3 < + ≤ 6，即△ 周长的取值范围是(3 + 3 3, 9]．
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