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数学
第2练　空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷版）
一、单项选择题
1．(2025·浙江宁波模拟)若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　)
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
3．已知三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是(　　)
A．b，c是异面直线 B．b∩c＝P
C．b∥c D．a与c没有公共点
4. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(　　)
A．DD1 B．AC
C．AD1 D．B1C
5. (2025·吉林模拟)如图，位于江城广场某大厦楼顶的四面钟与摇橹人雕像相映成趣，这是吉林市的重要地标之一．该时钟整体呈正方体造型，在相邻两个时钟正常运行的过程中，两时针所在直线所成角的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
6. (2024·陕西西安一模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝AA1＝1，则异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为(　　)
A． B．
C．－ D．
7. 一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(　　)
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为45°
8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
二、多项选择题
9．已知空间中的平面α，直线l，m，n以及点A，B，C，D，则下列说法错误的是(　　)
A．在空间中，若四边形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形
B．若l α，A∈l，则A α
C．若A，B，C，D四点不共面，则其中任意三点不共线
D．若l和m是异面直线，n和l是平行直线，则n和m是异面直线
10. (2024·湖南长沙二模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．E，F，G，H四点共面
B．EF∥GH
C．EG，FH，AA1三线共点
D．∠EGB1＝∠FHC1
11. (2025·四川成都模拟)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，则下列结论正确的是(　　)
A．AB⊥SA
B．AC与SB所成的角为90°
C．AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
三、填空题
12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．
13．已知在三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，M，N分别是BC，AD的中点，则异面直线AB与MN所成的角为________．
14．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上所有正确结论的序号是________．
四、解答题
15. (2025·福建泉州模拟)如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BC上的点，＝＝.
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AB＝CD＝3，EF＝，求AB与CD所成角的大小．
16. 如图，在正四棱柱ABCP－A′B′C′P′中，Q，R分别为A′B′，B′C′上的点．
(1)请在正四棱柱ABCP－A′B′C′P′中，画出经过P，Q，R三点的截面(无需证明)；
(2)若Q，R分别为A′B′，B′C′的中点，证明：AQ，CR，BB′三线共点．
17. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．
(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；
(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1－BCA1的体积．
第2练　空间点、直线、平面之间的位置关系（解析版）
一、单项选择题
1．(2025·浙江宁波模拟)若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：空间中的两条直线a，b异面，则a，b没有公共点；反之，空间中的两条直线a，b没有公共点，则不一定得到a，b异面，也可能a，b是平行直线，所以“a，b异面”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件．故选A.
2．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　)
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
答案：A
解析：∵M∈a，a α，∴M∈α，同理，N∈α.又M∈l，N∈l，则l α.故选A.
3．已知三个平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，则下列结论一定成立的是(　　)
A．b，c是异面直线 B．b∩c＝P
C．b∥c D．a与c没有公共点
答案：B
解析：∵α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∩b＝P，∴P∈a，P∈b，且a α，b γ，∴P∈α，P∈γ，又γ∩α＝c，∴P∈c，可得b∩c＝P.故选B.
4. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(　　)
A．DD1 B．AC
C．AD1 D．B1C
答案：B
解析：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选B.
5. (2025·吉林模拟)如图，位于江城广场某大厦楼顶的四面钟与摇橹人雕像相映成趣，这是吉林市的重要地标之一．该时钟整体呈正方体造型，在相邻两个时钟正常运行的过程中，两时针所在直线所成角的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：易知两异面直线所成角的范围为，结合正方体的特征不难发现：当一侧时针指向3(或9)时，另一侧时针也指向3(或9)时时，两时针所在直线所成的角为直角，故在相邻两个时钟正常运行的过程中，两时针所在直线所成角的最大值为.故选D.
6. (2024·陕西西安一模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC＝AA1＝1，则异面直线AB1与A1C所成角的正弦值为(　　)
A． B．
C．－ D．
答案：B
解析：将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为如图所示的正四棱柱，连接B1D，AD，则B1D∥A1C，则异面直线AB1与A1C所成的角为∠DB1A(或其补角)，又AB＝AC＝AA1＝1，所以AA1＝，B1D＝B1A＝＝，AD＝＝，由余弦定理，可得cos∠DB1A＝＝，所以sin∠DB1A＝＝.故选B.
7. 一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(　　)
A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为45°
答案：B
解析：将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB与CD是异面直线，且它们所成的角为60°.故选B.
8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
答案：B
解析：如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且N为BD的中点．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝，∴EN＝＝2.∵M，G分别是ED，DF的中点，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝EF＝，BG＝＝＝，∴BM＝＝.∴BM≠EN.∵BM，EN都是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.
二、多项选择题
9．已知空间中的平面α，直线l，m，n以及点A，B，C，D，则下列说法错误的是(　　)
A．在空间中，若四边形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形
B．若l α，A∈l，则A α
C．若A，B，C，D四点不共面，则其中任意三点不共线
D．若l和m是异面直线，n和l是平行直线，则n和m是异面直线
答案：ABD
解析：对于A，正四面体A－BCD的各棱长均相等，四边形ABCD为空间四边形，不是菱形，故A错误；对于B，若l α，则l∥α或l与α相交，所以A α或A∈α(此时A为l与α的交点)，故B错误；对于C，若已知四个点不共面，则其中任意三个点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故C正确；对于D，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1和BC异面(l，m是异面直线)，A1B1∥AB(l∥n)，但是AB∩BC＝B(m，n相交)，故D错误．故选ABD.
10. (2024·湖南长沙二模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．E，F，G，H四点共面
B．EF∥GH
C．EG，FH，AA1三线共点
D．∠EGB1＝∠FHC1
答案：ABC
解析：对于A，B，如图，连接EF，GH，因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.因为B1E∥C1F，且B1E＝C1F，所以四边形B1EFC1是平行四边形，所以EF∥B1C1，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面，故A，B正确；对于C，如图，延长EG，FH相交于点P，因为P∈EG，EG 平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，因为P∈FH，FH 平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1，因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，所以P∈AA1，所以EG，FH，AA1三线共点，故C正确；对于D，因为B1E＝C1F，当GB1≠HC1时，tan∠EGB1≠tan∠FHC1，又0<∠EGB1<，0<∠FHC1<，则∠EGB1≠∠FHC1，故D错误．故选ABC.
11. (2025·四川成都模拟)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，则下列结论正确的是(　　)
A．AB⊥SA
B．AC与SB所成的角为90°
C．AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
答案：ABC
解析：对于A，SD⊥平面ABCD，则AB⊥SD，又底面ABCD为正方形，则AD⊥AB，则AB⊥平面SAD，故AB⊥SA，A正确；对于B，SD⊥平面ABCD，则AC⊥SD，又底面ABCD为正方形，连接BD，则BD⊥AC，则AC⊥平面SDB，故AC⊥SB，即AC与SB所成的角为90°，B正确；对于C，AD∥BC，则AD与SB所成的角等于∠SBC，而AB∥CD，则CD与SB所成的角等于∠SBA，在△SBC与△SBA中，SC＝SA，BC＝BA，SB为公共边，则△SBC≌△SBA，故∠SBC＝∠SBA，故AD与SB所成的角等于CD与SB所成的角，C正确；对于D，AB∥CD，SD⊥平面ABCD，则AB与SC所成的角为∠SCD<90°，而DC与SA所成的角为∠SAB＝90°，则AB与SC所成的角小于DC与SA所成的角，故D错误．故选ABC.
三、填空题
12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．
答案：3
解析：如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE.设正方体的棱长为3a，则ME＝2a，MI＝a，IH＝2a，HG＝a，FG＝2a，EF＝a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9a，又因为正方体的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3.
13．已知在三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，M，N分别是BC，AD的中点，则异面直线AB与MN所成的角为________．
答案：60°或30°
解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD，所以∠MPN(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.因为PM∥AB，所以∠PMN(或其补角)是异面直线AB与MN所成的角．①当∠MPN＝60°时，因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即异面直线AB与MN所成的角为60°；②当∠MPN＝120°时，易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即异面直线AB与MN所成的角为30°.综上，异面直线AB与MN所成的角为60°或30°.
14．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上所有正确结论的序号是________．
答案：②③④
解析：将正四面体的平面展开图复原为正四面体A－DEF，如图．对于①，G，H分别为DE，BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；对于②，假设BD与MN共面，则A，D，E，F四点共面，与A－DEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故②正确；对于③，依题意，得GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，点A在平面DEF内的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，所有正确结论的序号是②③④.
四、解答题
15. (2025·福建泉州模拟)如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BC上的点，＝＝.
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AB＝CD＝3，EF＝，求AB与CD所成角的大小．
解：(1)证明：显然F，B，D三点不共线，故F，B，D三点构成平面FDB，
而E 平面FDB，F∈平面FDB，即EF∩平面FDB＝F，又BD 平面FDB，F BD，
所以直线EF与BD是异面直线．
(2)设H，I分别为AC，BD上靠近A，B的三等分点，则＝＝＝＝，
所以EI∥AB∥FH，FI∥DC∥HE，故四边形IFHE为平行四边形，且AB与CD所成的角为∠IFH或其补角，
又HE＝CD＝1，
FH＝AB＝2，
则cos∠IFH＝cos(π－∠EHF)
＝－cos∠EHF＝－＝，
由∠IFH∈(0，π)，故∠IFH＝，则AB与CD所成的角为.
16. 如图，在正四棱柱ABCP－A′B′C′P′中，Q，R分别为A′B′，B′C′上的点．
(1)请在正四棱柱ABCP－A′B′C′P′中，画出经过P，Q，R三点的截面(无需证明)；
(2)若Q，R分别为A′B′，B′C′的中点，证明：AQ，CR，BB′三线共点．
解：(1)作直线QR分别交P′A′，P′C′的延长线于点M，N，连接MP交AA′于点S，
连接PN交CC′于点T，连接SQ，TR，则五边形PSQRT即为所求，如图．
(2)证明：如图，连接QR，AC，A′C′，四边形ACC′A′是正四棱柱ABCP－A′B′C′P′的对角面，则AC＝A′C′，AC∥A′C′，
由Q，R分别为A′B′，B′C′的中点，
得QR∥A′C′，A′C′＝2QR，则QR∥AC，
且AC＝2QR，
即四边形AQRC为梯形，
令AQ∩CR＝O，则O∈AQ，
而AQ 平面A′ABB′，则O∈平面A′ABB′，
同理O∈平面C′CBB′，
又平面A′ABB′∩平面C′CBB′＝BB′，
因此O∈BB′，
所以AQ，CR，BB′三线共点．
17. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．
(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；
(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1－BCA1的体积．
解：(1)如图，连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点，连接A1D.
∵点O是正三角形ABC的中心，
且A1O⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴BC⊥AD，BC⊥A1O.
∵AD∩A1O＝O，AD，
A1O 平面ADA1，
∴BC⊥平面ADA1.
∵AA1 平面ADA1，∴BC⊥AA1.
又AA1∥CC1，
∴异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C或其补角．
∵CC1⊥BC，且侧棱长和底面边长均为2，
∴四边形BCC1B1为正方形，
∴∠BC1C＝45°，
∴异面直线AA1与BC1所成的角为45°.
(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，
∴可求得AD＝，AO＝AD＝，
A1O＝＝.
∴VABC－A1B1C1＝S△ABC·A1O＝2，
VA1－B1C1CB＝VABC－A1B1C1－VA1－ABC＝.
∴VC1－BCA1＝VA1－BCC1＝VA1－BCC1B1＝.
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