资源简介

数学
第3练　空间直线、平面的平行（原卷版）
一、单项选择题
1．(2024·石景山区一模)已知α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“m∥n”是“α∥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2025·浙江金华模拟)设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中为真命题的是(　　)
A．若a∥α，b α，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a α，b β，a∥b，则α∥β
D．若a α，b α，a∥b，则a∥α
3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　)
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
4. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
5. 已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　)
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
6．(2025·湖南长沙一中模拟)在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是(　　)
7．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是2，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，则线段MN的长度的最大值为(　　)
A．2 B．2
C． D．3
8．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个结论中正确的是(　　)
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
10．(2025·广东深圳中学模拟) 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，下列结论正确的是(　　)
A．平面EFGH∥平面ABCD
B．PA∥平面BDG
C．EF∥平面PBC
D．EF∥平面BDG
11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．线段B1D1上存在点E，F使得AE∥BF
B．EF∥平面ABCD
C．△AEF的面积与△BEF的面积相等
D．三棱锥A－BEF的体积为定值
三、填空题
12．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________(填序号)．
13. 如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
14. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
四、解答题
15．如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
求证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
16．(2025·福建三明模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为侧棱SC的中点．
(1)求证：SA∥平面EDB；
(2)若F为棱AB的中点，求证：EF∥平面SAD；
(3)设平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l.
17．(2025·甘肃兰州模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点．
(1)当点P在棱DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论；
(2)若P是DD1的中点，Q是BB1的四等分点，且B1Q＝3QB，求证：平面MNQ∥平面A1C1P.
第3练　空间直线、平面的平行（解析版）
一、单项选择题
1．(2024·石景山区一模)已知α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“m∥n”是“α∥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：∵α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ＝m，β∩γ＝n，∴m∥n α∥β或α∩β＝l，α∥β m∥n，∴“m∥n”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B.
2．(2025·浙江金华模拟)设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中为真命题的是(　　)
A．若a∥α，b α，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a α，b β，a∥b，则α∥β
D．若a α，b α，a∥b，则a∥α
答案：D
解析：对于A，如图1，满足a∥α，b α，但a，b不平行，A为假命题；对于B，如图2，满足a∥α，b∥β，α∥β，但a，b不平行，B为假命题；对于C，如图3，满足a α，b β，a∥b，但α，β不平行，C为假命题；对于D，若a α，b α，a∥b，由线面平行的判定定理可得a∥α，D为真命题．故选D.
3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　)
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
答案：B
解析：因为MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，所以由直线与平面平行的性质定理，可得MN∥PA.
4. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
答案：B
解析：由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF∥BD，且EF＝BD，又EF 平面BCD，BD 平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG∥BD，且HG＝BD，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形．
5. 已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　)
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
答案：D
解析：∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝A′B′∶AB＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝A′B′2∶AB2＝4∶25.
6．(2025·湖南长沙一中模拟)在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是(　　)
答案：B
解析：对于A，如图1，由正方体的性质可知BM∥B1N，所以易知直线BM与平面CNQ不平行，故A不符合题意；对于B，如图2，因为NQ∥AC，故平面CNQ即为平面ACNQ，而BM∥AQ，BM 平面CNQ，AQ 平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故B符合题意；对于C，如图3，因为NQ∥BC，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故C不符合题意；对于D，如图4，假设直线BM与平面CNQ平行，过点M作CQ的平行线交A1B1于点D，则点D是在A1B1上靠近点B1的四等分点，由MD∥CQ，MD 平面CNQ，CQ 平面CNQ，可得MD∥平面CNQ，又BM∥平面CNQ，MD∩BM＝M，MD，BM 平面BDM，则平面BDM∥平面CNQ，而平面ABB1A1与平面BDM、平面CNQ分别交于BD，QN，则BD与QN平行，显然BD与QN不平行，假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故D不符合题意．故选B.
7．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是2，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，则线段MN的长度的最大值为(　　)
A．2 B．2
C． D．3
答案：A
解析：如图，取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，MB1，则DE∥BC1，又DE 平面ABC1，BC1 平面ABC1，所以DE∥平面ABC1，因为M为A1C1的中点，所以MD∥A1B1∥AB，又MD 平面ABC1，AB 平面ABC1，所以MD∥平面ABC1，又DE∩MD＝D，DE，MD 平面DEM，所以平面DEM∥平面ABC1.又因为N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，所以N在线段DE上，又因为ME＝＝＝2，MD＝1，所以线段MN的长度的最大值为2.故选A.
8．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：如图1，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，又B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1，B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE 平面BDFE，AM 平面BDFE，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，AM，AN 平面AMN，所以平面AMN∥平面BDFE，所以平面BDFE即为平面α.又正方体的棱长为1，所以BD＝B1D1＝，EF＝B1D1＝，DF＝，BE＝，所以截面为等腰梯形BDFE，如图2，过F作BD的垂线，垂足为G，则等腰梯形BDFE的高为FG＝＝＝，故所得截面的面积为××＝.
二、多项选择题
9．如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个结论中正确的是(　　)
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
答案：ACD
解析：由题图，显然A正确，B错误；因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG，且FG 平面EFGH，A1D1 平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C正确；因为水是定量的(定体积V)，所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝，为定值，所以D正确．故选ACD.
10．(2025·广东深圳中学模拟) 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，下列结论正确的是(　　)
A．平面EFGH∥平面ABCD
B．PA∥平面BDG
C．EF∥平面PBC
D．EF∥平面BDG
答案：ABC
解析：先把平面展开图还原为四棱锥，如图所示．对于A，因为E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，所以EF∥AD，GH∥BC，因为AD∥BC，所以EF∥GH，所以EF，GH确定平面EFGH，因为EF 平面EFGH，AD 平面EFGH，所以AD∥平面EFGH，同理可得AB∥平面EFGH.又因为AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD，所以A正确；对于B，连接AC，BD交于点O，则O为AC的中点，连接OG，因为G为PC的中点，所以OG∥PA，因为OG 平面BDG，PA 平面BDG，所以PA∥平面BDG，所以B正确；对于C，因为EF∥GH，且EF 平面PBC，GH 平面PBC，所以EF∥平面PBC，所以C正确；对于D，若EF∥平面BDG，因为PA∥平面BDG，且EF∩PA＝E，EF，PA 平面PAD，可得平面PAD∥平面BDG，显然不正确，所以EF与平面BDG不平行，所以D错误．故选ABC.
11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．线段B1D1上存在点E，F使得AE∥BF
B．EF∥平面ABCD
C．△AEF的面积与△BEF的面积相等
D．三棱锥A－BEF的体积为定值
答案：BD
解析：如图所示，AB与B1D1为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；B1D1∥BD，即EF∥BD，又EF 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故B正确；由图可知，点A和点B到EF的距离是不相等的，C错误；连接BD，AC，BD∩AC＝O，则AO为三棱锥A－BEF的高，S△BEF＝××1＝，三棱锥A－BEF的体积为××＝，为定值，D正确．故选BD.
三、填空题
12．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ.
可以填入的条件有________(填序号)．
答案：①或③
解析：由面面平行的性质定理可知，①符合题意；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②不符合题意；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③符合题意．
13. 如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案：点M在线段FH上
解析：如图，连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需点M在线段FH上，则MN 平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.
14. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
答案：a
解析：如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又MN∥AC，∴PQ∥AC.∵AP＝，∴＝＝.∴PQ＝AC＝×a＝a.
四、解答题
15．如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
求证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，
因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点，
又M为AB的中点，所以MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又因为BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的对边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又因为DE 平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，N为AD的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
因为BD 平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
16．(2025·福建三明模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为侧棱SC的中点．
(1)求证：SA∥平面EDB；
(2)若F为棱AB的中点，求证：EF∥平面SAD；
(3)设平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l.
证明：(1)连接AC交BD于点O，连接OE，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O为AC的中点，
又E为侧棱SC的中点，所以SA∥EO.
又SA 平面EDB，EO 平面EDB，
所以SA∥平面EDB.
(2)连接FO，因为F为棱AB的中点，O为BD的中点，所以AD∥FO，
又FO 平面SAD，AD 平面SAD，
所以FO∥平面SAD.
又SA∥EO，EO 平面SAD，SA 平面SAD，所以EO∥平面SAD.
又EO∩FO＝O，EO，FO 平面EOF，
所以平面EOF∥平面SAD.
又EF 平面EOF，所以EF∥平面SAD.
(3)因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，
所以AB∥平面SCD.
又平面SAB∩平面SCD＝l，AB 平面SAB，所以AB∥l.
17．(2025·甘肃兰州模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点．
(1)当点P在棱DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论；
(2)若P是DD1的中点，Q是BB1的四等分点，且B1Q＝3QB，求证：平面MNQ∥平面A1C1P.
解：
(1)当点P在棱DD1上运动时，都有MN∥平面A1C1P.
证明如下：
连接AC，在正方形ABCD中，MN为△ABC的中位线，
可得MN∥AC，
由正方体的截面性质可得四边形A1ACC1为矩形，则AC∥A1C1，可得MN∥A1C1，
又MN 平面A1C1P，A1C1 平面A1C1P，
则MN∥平面A1C1P.
(2)证明：取A1A的中点F，连接PF，FB1，
取B1B的中点E，连接AE，
由FP∥A1D1，FP＝A1D1，A1D1∥B1C1，A1D1＝B1C1，
可得FP∥B1C1，FP＝B1C1，
即四边形FPC1B1为平行四边形，
可得FB1∥PC1，
由E为B1B的中点，且B1Q＝3QB，
可得Q为BE的中点，又M为AB的中点，
故MQ∥AE，
由四边形AEB1F为平行四边形，
可得AE∥FB1，即有MQ∥PC1.
又MQ 平面A1C1P，PC1 平面A1C1P，
则MQ∥平面A1C1P，
又MN∥平面A1C1P，MN∩MQ＝M，MN，MQ 平面MNQ，
则平面MNQ∥平面A1C1P.
21

展开更多......

收起↑