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数学
第5练　空间向量及其运算（原卷版）
一、单项选择题
1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．2
2. (2025·福建厦门模拟)如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为AB，DD′的中点，则＝(　　)
A．－＋＋
B．＋＋
C．－＋＋
D．＋＋
3．已知空间向量a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，若2a－b与b垂直，则|a|＝(　　)
A． B．
C． D．
4．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)
A．± B．
C．－ D．±
5．(2025·河北张家口模拟)已知空间向量a＝(1，－1，2)，b＝(1，－2，1)，则向量b在向量a上的投影向量是(　　)
A．
B．(1，－1，1)
C．
D．
6．已知正四面体ABCD的棱长为1，且＝2，则·＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
7．(2024·上海高考)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ11＋λ2＋λ3＝0(O为坐标原点)．已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1) Ω的充分条件是(　　)
A．(0，0，0)∈Ω B．(－1，0，0)∈Ω
C．(0，1，0)∈Ω D．(0，0，－1)∈Ω
8. (2025·河北保定模拟)如图，二面角α－l－β等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝，则CD＝(　　)
A．2 B．2
二、多项选择题
9．(2025·河北张家口模拟)已知向量a＝(2，0，2)，b＝，c＝(1，－2，3)，则下列结论正确的是(　　)
A．a与b垂直
B．b与c共线
C．a与c所成的角为锐角
D．{a，b，c}可作为空间的一个基底
10. (2024·山东淄博二模)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列说法正确的是(　　)
A．＝－a－b＋c
B．〈，〉＝
C．＝a＋b＋c
D．·＝1
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　)
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|
三、填空题
12．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．
13. 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D1的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若＝x＋y(x，y∈R)，则点Q的轨迹围成的图形的面积是________．
14．已知空间向量，，的模分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝________，||＝________．
四、解答题
15. 如图，在四面体A－BCD中，＝λ，＝λ，＝(1－λ)，＝(1－λ)，λ∈(0，1)．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若λ＝，设M是EG与FH的交点，O是空间任意一点，用，，，表示.
16. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]．
(1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标；
(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{，，}为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①若＝，求向量的斜60°坐标；
②若＝[2，t，0]，且⊥，求||.
第5练　空间向量及其运算（解析版）
一、单项选择题
1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．2
答案：A
解析：因为a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，所以p＝a－b＝(1，1，0)－(0，1，1)＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(1，1，0)＋2(0，1，1)－(1，0，1)＝(0，3，1)，则p·q＝1×0＋0×3－1×1＝－1.故选A.
2. (2025·福建厦门模拟)如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为AB，DD′的中点，则＝(　　)
A．－＋＋
B．＋＋
C．－＋＋
D．＋＋
答案：A
解析：根据题意，＝＋＋＝－＋＋.故选A.
3．已知空间向量a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，若2a－b与b垂直，则|a|＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：因为a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，所以2a－b＝(4，2n－1，2)，因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝－8＋2n－1＋4＝0，解得n＝，所以a＝，所以|a|＝＝.故选B.
4．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)
A．± B．
C．－ D．±
答案：C
解析：由于＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1)，则cos120°＝＝－，解得λ＝－.故选C.
5．(2025·河北张家口模拟)已知空间向量a＝(1，－1，2)，b＝(1，－2，1)，则向量b在向量a上的投影向量是(　　)
A．
B．(1，－1，1)
C．
D．
答案：C
解析：因为a＝(1，－1，2)，b＝(1，－2，1)，则a·b＝1×1＋(－1)×(－2)＋2×1＝5，|a|＝＝，故向量b在向量a上的投影向量是×＝a＝.故选C.
6．已知正四面体ABCD的棱长为1，且＝2，则·＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
答案：C
解析：因为＝2，所以＝.根据向量的减法法则，得＝－＝－，所以·＝·＝·－·＝||||cos－||·||·cos＝×1×1×－1×1×＝－.故选C.
7．(2024·上海高考)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ11＋λ2＋λ3＝0(O为坐标原点)．已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1) Ω的充分条件是(　　)
A．(0，0，0)∈Ω B．(－1，0，0)∈Ω
C．(0，1，0)∈Ω D．(0，0，－1)∈Ω
答案：C
解析：由题意知，三个向量，，共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底．对于A，由空间直角坐标系易知(0，0，0)，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则由(1，0，0)，(0，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故A不符合题意；对于B，由空间直角坐标系易知(－1，0，0)，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则由(1，0，0)，(－1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故B不符合题意；对于C，由空间直角坐标系易知(1，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由(1，0，0)，(0，1，0)∈Ω能推出(0，0，1) Ω，故C符合题意；对于D，由空间直角坐标系易知(1，0，0)，(0，0，1)，(0，0，－1)三个向量共面，则由(1，0，0)，(0，0，－1)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故D不符合题意．故选C.
8. (2025·河北保定模拟)如图，二面角α－l－β等于135°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝，则CD＝(　　)
A．2 B．2
C． D．4
答案：C
解析：由二面角的平面角的定义知〈，〉＝135°，所以·＝cos〈，〉＝×2×cos135°＝－2，由AC⊥l，BD⊥l，得·＝0，·＝0，又因为＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝()2＋22＋22－2·＝10－2×(－2)＝14，所以||＝，即CD＝.故选C.
二、多项选择题
9．(2025·河北张家口模拟)已知向量a＝(2，0，2)，b＝，c＝(1，－2，3)，则下列结论正确的是(　　)
A．a与b垂直
B．b与c共线
C．a与c所成的角为锐角
D．{a，b，c}可作为空间的一个基底
答案：BC
解析：对于A，a·b＝2×＋0×1＋2×＝－1－3＝－4，故a与b不垂直，故A错误；对于B，由b＝，c＝(1，－2，3)，有b＝－c，故b与c共线，故B正确；对于C，a·c＝2×1＋0×(－2)＋2×3＝8>0，且a与c不共线，故a与c所成的角为锐角，故C正确；对于D，由B项知b与c共线，故{a，b，c}不可作为空间的一个基底，故D错误．故选BC.
10. (2024·山东淄博二模)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列说法正确的是(　　)
A．＝－a－b＋c
B．〈，〉＝
C．＝a＋b＋c
D．·＝1
答案：AD
解析：由题意可知，a·b＝a·c＝b·c＝1×1×cos＝.对于A，＝＋＝＋＝－(＋)＝－a－b＋c，故A正确；对于B，因为＝＋＋＝a＋b＋c，所以·＝·(a＋b＋c)＝－a2－a·b－a·c－b·a－b2－b·c＋c·a＋c·b＋c2＝0，所以〈，〉＝，故B错误；对于C，＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，故C错误；对于D，·＝b·(－a＋b＋c)＝－a·b＋b2＋b·c＝1，故D正确．故选AD.
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　)
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|
答案：AB
解析：由向量的加法运算得到＋＋＝，∵A1C2＝3A1B，∴2＝3A1B12，故A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴·＝0，∴|··|＝0，故D错误．故选AB.
三、填空题
12．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．
答案：
解析：由题意，设＝λ，即＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－，当λ＝时，·取最小值，此时点Q的坐标为.
13. 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D1的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若＝x＋y(x，y∈R)，则点Q的轨迹围成的图形的面积是________．
答案：3
解析：∵＝x＋y(x，y∈R)，∴Q在平面MGN上，分别取AB，CC1，C1D1的中点E，F，O，则点Q的轨迹是正六边形OFNEMG，∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∴正六边形OFNEMG的边长为，∴点Q的轨迹围成的图形的面积是S＝6××××sin60°＝3.
14．已知空间向量，，的模分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝________，||＝________．
答案：1　
解析：根据题意得，点G为△ABC的重心，设BC的中点为D，则＝＝(＋)，所以－＝(－＋－)，所以＝＋＋，所以x＝y＝z＝，所以x＋y＋z＝1.||2＝×＝，所以||＝.
四、解答题
15. 如图，在四面体A－BCD中，＝λ，＝λ，＝(1－λ)，＝(1－λ)，λ∈(0，1)．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若λ＝，设M是EG与FH的交点，O是空间任意一点，用，，，表示.
解：(1)证明：因为＝－＝λ－λ＝λ，＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(1－λ)，
所以＝，则∥，
因此E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知，＝，＝，
因此＝，
EH，FG不在同一条直线上，所以EH∥FG，
则＝＝，则＝，
即－＝(－)，
因为＝，即－＝(－)，
可得＝＋，
因为＝，即－＝(－)，
可得＝＋，
所以＝＋＝＋＝＋＋＋.
16. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]．
(1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标；
(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{，，}为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①若＝，求向量的斜60°坐标；
②若＝[2，t，0]，且⊥，求||.
解：(1)∵a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，
∴a＋b＝(i＋2j＋3k)＋(－i＋j＋2k)＝3j＋5k＝[0，3，5]，
∴a＋b的斜60°坐标为[0，3，5]．
(2)＝2i，＝2j，＝3k.
①＝－＝(＋)－＝－＋＋＝－2i＋2j＋k＝.
②＝＋＋＝2i＋2j＋3k，
由＝[2，t，0]，知＝2i＋tj，
由⊥，知·＝(2i＋tj)·(2i＋2j＋3k)＝0，
∴4i2＋2tj2＋(4＋2t)i·j＋6k·i＋3tk·j＝0，
∴4＋2t＋(4＋2t)·＋3＋＝0，
解得t＝－2.
则||＝|2i－2j|＝
＝＝＝2.
15

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