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数学
　第1练　直线的倾斜角与斜率、直线的方程（原卷版）
一、单项选择题
1．经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0
2．对方程＝2表示的图形，下列叙述正确的是(　　)
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为－的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点(－3，6)
D．斜率为－的一条直线，且除去点(－3，6)
3．已知直线l1：x＋3y＋1＝0，若直线l2与l1垂直，则直线l2的倾斜角是(　　)
A． B．
C． D．
4．(2025·贵州毕节模拟)若直线mx＋y－4m－1＝0的斜率小于0，那么该直线不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(2025·湖南长沙模拟)已知两点M(a，6)，N(a＋2，3)，下列各点一定在直线MN上的是(　　)
A．(a＋4，0) B．(a＋4，2)
C．(a＋4，4) D．(a＋4，6)
6．(2025·山东济南模拟)过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－5＝0
C．4x－y＝0或x＋y－5＝0
D．4x－y＝0或x－y＋3＝0
7．已知△ABC的顶点C的坐标为(1，1)，AC所在直线的方向向量为(1，2)，AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0，则点A的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
8．(2025·北京海淀区模拟)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是重庆千斯门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝66 m，|OA1|＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为(　　)
A．±0.47 B．±0.45
C．±0.42 D．±0.40
二、多项选择题
9．已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(　　)
A．直线l的方程为x－3y＋3＝0
B．直线l与直线l1的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为1
D．这样的直线l有两条
10．已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
11．(2025·江苏南通模拟)下列说法中错误的是(　　)
A．已知点P(a，2)，Q(1，2a－1)，若直线PQ的倾斜角小于135°，则实数a的取值范围为∪(2，＋∞)
B．若集合M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}满足M∩N＝ ，则a＝－6
C．若两条平行直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋a＝0之间的距离小于1，则实数a的取值范围为(－1，3)
D．若直线ax＋y＋1＝0与连接A(2，3)，B(－3，2)的线段相交，则实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)
三、填空题
12．若直线l的一个方向向量为a＝，则直线l的倾斜角θ＝________．
13．(2025·四川凉山模拟)已知实数x，y满足x－3y＋5＝0(1≤x≤4)，则的取值范围为________．
14．(2025·上海杨浦模拟)一质点在矩形ABCD内运动，从AB的中点O沿一确定方向发射该质点，依次由线段BC，CD，DA反射．反射点分别为P1，P2，P3(入射角等于反射角)，最后落在线段OA上的P4(不包括端点)．若A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)，则OP1所在直线的斜率的取值范围是________．
四、解答题
15．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
16．过点P的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点．
(1)求△OAB面积的最小值以及此时直线l的方程；
(2)是否存在直线l，使△OAB的周长为12？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
　第1练　直线的倾斜角与斜率、直线的方程（解析版）
一、单项选择题
1．经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0
答案：A
解析：由于直线的方向向量为(1，2)，故直线的斜率为＝2，故直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选A.
2．对方程＝2表示的图形，下列叙述正确的是(　　)
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为－的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点(－3，6)
D．斜率为－的一条直线，且除去点(－3，6)
答案：C
解析：方程＝2成立的条件为x≠－3，且当x≠－3时，方程可变形为y－6＝2(x＋3)，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线，但要除去点(－3，6)．故选C.
3．已知直线l1：x＋3y＋1＝0，若直线l2与l1垂直，则直线l2的倾斜角是(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由x＋3y＋1＝0，得y＝－x－，则kl1＝－，因为直线的倾斜角的范围为[0，π)，故直线l1的倾斜角为，故直线l2的倾斜角为－＝.故选C.
4．(2025·贵州毕节模拟)若直线mx＋y－4m－1＝0的斜率小于0，那么该直线不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：直线mx＋y－4m－1＝0可化为y－1＝－m(x－4)，所以直线过定点(4，1)，且斜率k＝－m<0，故该直线不经过第三象限．故选C.
5．(2025·湖南长沙模拟)已知两点M(a，6)，N(a＋2，3)，下列各点一定在直线MN上的是(　　)
A．(a＋4，0) B．(a＋4，2)
C．(a＋4，4) D．(a＋4，6)
答案：A
解析：因为M(a，6)，N(a＋2，3)，所以kMN＝＝－，所以直线MN的方程为y－6＝－(x－a)，即y＝－x＋a＋6，当x＝a＋4时，y＝－(a＋4)＋a＋6＝－a－6＋a＋6＝0，所以点(a＋4，0)在直线MN上．故选A.
6．(2025·山东济南模拟)过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－5＝0
C．4x－y＝0或x＋y－5＝0
D．4x－y＝0或x－y＋3＝0
答案：D
解析：①当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，因为直线过点A(1，4)，所以直线的斜率为＝4，所以直线方程为y＝4x，即4x－y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，因为点A(1，4)在直线上，所以＋＝1，解得a＝－3，所以直线方程为x－y＋3＝0.故所求直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0.故选D.
7．已知△ABC的顶点C的坐标为(1，1)，AC所在直线的方向向量为(1，2)，AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0，则点A的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：设A(x0，y0)，AC所在直线的方向向量为(1，2)，则AC所在直线的斜率k＝＝，∴1×(1－y0)－2(1－x0)＝0，得y0＝2x0－1，∴A(x0，2x0－1)，又C(1，1)，则AC的中点坐标为，∵AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0，则AC的中点在直线x＋y－1＝0上，∴＋x0－1＝0，解得x0＝，∴点A的坐标为.故选A.
8．(2025·北京海淀区模拟)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是重庆千斯门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝66 m，|OA1|＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为(　　)
A．±0.47 B．±0.45
C．±0.42 D．±0.40
答案：C
解析：根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝66 m，|OA1|＝86 m，且|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16 m，则|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝86＋9×16＝230，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝66＋9×3.4＝96.6，则最长拉索A10P10所在直线的斜率kA10P10＝－tan∠OA10P10＝－＝－0.42，同理，最长拉索B10P10所在直线的斜率kB10P10＝0.42.故选C.
二、多项选择题
9．已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则(　　)
A．直线l的方程为x－3y＋3＝0
B．直线l与直线l1的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为1
D．这样的直线l有两条
答案：ABC
解析：因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以直线l与直线l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－，知直线l的斜率为，可得直线l的方程为y－2＝(x－3)，即直线l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以直线l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3，2)且斜率为的直线只有一条，故D错误．故选ABC.
10．已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
答案：BD
解析：直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝时，直线的斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，D正确．故选BD.
11．(2025·江苏南通模拟)下列说法中错误的是(　　)
A．已知点P(a，2)，Q(1，2a－1)，若直线PQ的倾斜角小于135°，则实数a的取值范围为∪(2，＋∞)
B．若集合M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}满足M∩N＝ ，则a＝－6
C．若两条平行直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋a＝0之间的距离小于1，则实数a的取值范围为(－1，3)
D．若直线ax＋y＋1＝0与连接A(2，3)，B(－3，2)的线段相交，则实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)
答案：BCD
解析：对于A，当倾斜角小于90°时，kPQ＝≥0，解得12或a<1.综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞)，A正确．对于B，由＝3，得所以集合M表示斜率为3的直线y－3＝3(x－2)上的点(除去点(2，3))．由ax＋2y＋a＝0，得a(x＋1)＋2y＝0，所以集合N表示过点(－1，0)且斜率为－的直线，若－＝3，a＝－6，此时两直线平行，满足M∩N＝ ；若直线ax＋2y＋a＝0过点(2，3)，则2a＋6＋a＝3a＋6＝0，a＝－2，此时M∩N＝ ，且－＝－＝1≠3，符合题意．综上，a＝－6或a＝－2，B错误．对于C，依题意0<<1，
解得a∈(－1，1)∪(1，3)，所以实数a的取值范围是(－1，1)∪(1，3)，C错误．对于D，直线ax＋y＋1＝0过定点S(0，－1)，斜率为－a，kSA＝＝2，kSB＝＝－1，所以－a≥2或－a≤－1，解得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，D错误．故选BCD.
三、填空题
12．若直线l的一个方向向量为a＝，则直线l的倾斜角θ＝________．
答案：
解析：∵直线l的一个方向向量为a＝，∴直线l的斜率k＝＝＝＝tan，∴直线l的倾斜角θ＝.
13．(2025·四川凉山模拟)已知实数x，y满足x－3y＋5＝0(1≤x≤4)，则的取值范围为________．
答案：(－∞，－3]∪[2，＋∞)
解析：可以看成x－3y＋5＝0(1≤x≤4)上的点和C(2，－1)连成的直线的斜率，在x－3y＋5＝0(1≤x≤4)中，令x＝1，得y＝2，令x＝4，得y＝3，设A(1，2)，B(4，3)，则kAC＝＝－3，kBC＝＝2，所以的取值范围为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
14．(2025·上海杨浦模拟)一质点在矩形ABCD内运动，从AB的中点O沿一确定方向发射该质点，依次由线段BC，CD，DA反射．反射点分别为P1，P2，P3(入射角等于反射角)，最后落在线段OA上的P4(不包括端点)．若A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)，则OP1所在直线的斜率的取值范围是________．
答案：
解析：由题意知，OP1∥P2P3，P1P2∥P3P4，设P1(1，b)，则线段OP1的斜率k＝＝b，为使P4落在线段OA上(不包括端点)，所以当P4落到点O、点A时为相应的两种临界位置．当P4落到点O时，由题意知，O为AB的中点，且从点O出发又回到点O，所以P1位于线段BC的中点位置，此时OP1的斜率k1＝b＝；当P4落到点A时，点P4与点P3重合，如图所示，设∠P1OB＝θ，可得∠P1P2C＝∠DP2P3＝θ，且tanθ＝b，所以|CP1|＝1－b，|CP2|＝＝－1，|DP2|＝3－，所以tanθ＝＝＝b，解得b＝，此时OP1的斜率k2＝.综上所述，OP1所在直线的斜率的取值范围为.
四、解答题
15．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，
所以直线BC的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，
所以BC边的垂直平分线DE的方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
16．过点P的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点．
(1)求△OAB面积的最小值以及此时直线l的方程；
(2)是否存在直线l，使△OAB的周长为12？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，
则直线l的方程为＋＝1.
因为直线l过点P，所以＋＝1，
故1＝＋≥2 ab≥，
故S△OAB＝ab≥，
当且仅当即时取等号，故(S△OAB)min＝，此时直线l的方程为＋＝1，即3x＋2y－8＝0.
(2)假设存在满足条件的直线l：＋＝1(a>0，b>0)，
由已知得
解得或
故存在满足条件的直线l：3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
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