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数学
第2练　两条直线的位置关系与距离公式（原卷版）
一、单项选择题
1．两条平行线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y＋1＝0之间的距离为(　　)
A. B．1
C．2 D．
2．(2024·河南南阳三模)已知直线Ax＋By＋C＝0与直线y＝2x－3垂直，则(　　)
A．A＝－2B≠0 B．A＝2B≠0
C．B＝－2A≠0 D．B＝2A≠0
3．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　)
A．4 B．2
C． D．
4．四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为(　　)
A．矩形 B．菱形
C．等腰梯形 D．直角梯形
5．(2025·江苏南京模拟)已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为(　　)
A． B．
C．5 D．10
6．(2025·山东青岛模拟)已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为(　　)
A． B．2
C． D．2
7．(2025·湖北武汉模拟)设直线l：x＋y－1＝0，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若||＝，则k的值为(　　)
A． B．
C． D．2
8．已知实数a>0，b<0，则的取值范围是(　　)
A．[－2，－1) B．(－2，－1)
C．(－2，－1] D．[－2，－1]
二、多项选择题
9．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，直线l2：x＋my＋1＝0，则下列命题正确的是(　　)
A．直线l1恒过点(0，1)
B．若直线l2的方向向量为(1，1)，则m＝－1
C．若l1∥l2，则m＝±1
D．若l1⊥l2，则m＝0
10．已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：xsinα－y＋1＝0，则(　　)
A．当m变化时，l1的倾斜角不变
B．当α变化时，l2过定点
C．l1与l2可能平行
D．l1与l2不可能垂直
11．若过点A(1，0)，B(2，0)，C(4，0)，D(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于(　　)
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，则两条平行直线之间的距离的最大值为________，此时两条平行直线的方程分别为______________．
13．设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________．
14．已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，直线FD的斜率的取值范围为________．
四、解答题
15．(2025·山西太原模拟)已知点P(1，3)，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并解答．
(1)求直线l1的方程；
(2)求直线l2：2x＋y－5＝0关于直线l1的对称直线的方程．
条件①：点P关于直线l1的对称点P1的坐标为(－1，1)；
条件②：点M的坐标为(6，－2)，直线l1过点(－2，4)且与直线PM平行；
条件③：点N的坐标为(－3，－1)，直线l1过点(－2，4)且与直线PN垂直．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0.
(1)求顶点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
第2练　两条直线的位置关系与距离公式（解析版）
一、单项选择题
1．两条平行线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y＋1＝0之间的距离为(　　)
A. B．1
C．2 D．
答案：A
解析：两条平行线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y＋1＝0之间的距离为＝.故选A.
2．(2024·河南南阳三模)已知直线Ax＋By＋C＝0与直线y＝2x－3垂直，则(　　)
A．A＝－2B≠0 B．A＝2B≠0
C．B＝－2A≠0 D．B＝2A≠0
答案：D
解析：直线y＝2x－3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－，即－＝－且A≠0，B≠0，所以B＝2A≠0.故选D.
3．若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　)
A．4 B．2
C． D．
答案：A
解析：直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点满足解得由于该点在直线y＝kx上，故＝，解得k＝4.故选A.
4．四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为(　　)
A．矩形 B．菱形
C．等腰梯形 D．直角梯形
答案：D
解析：由kBC＝＝，kAD＝＝，kAB＝＝－，kCD＝＝－，∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边形ABCD为梯形，又kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形．
5．(2025·江苏南京模拟)已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为(　　)
A． B．
C．5 D．10
答案：B
解析：直线l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，由得所以直线l过定点A(1，2)，当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为|AP|＝
＝.故选B.
6．(2025·山东青岛模拟)已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为(　　)
A． B．2
C． D．2
答案：D
解析：＋表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1，1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，设点A(1，1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，则解得所以A′(－2，－2)，则|A′B|＝＝2，由图可知＋的最小值为2.
7．(2025·湖北武汉模拟)设直线l：x＋y－1＝0，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若||＝，则k的值为(　　)
A． B．
C． D．2
答案：B
解析：根据题意得原点O关于直线l：x＋y－1＝0的对称点为A(1，1)，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，根据解得可知入射点P，由A，P，M三点共线，解得M(1－k，0)．设点P关于x轴的对称点为P′，光线再次经x轴反射后与y轴交于点N，则P′，M，N三点共线，设N(0，b)，则＝，解得b＝，即N，所以||＝＝，解得k＝.故选B.
8．已知实数a>0，b<0，则的取值范围是(　　)
A．[－2，－1) B．(－2，－1)
C．(－2，－1] D．[－2，－1]
答案：A
解析：根据题意，设直线l：ax＋by＝0，点A(1，－)，那么点A(1，－)到直线l的距离d＝，因为a>0，b<0，所以d＝，且直线l的斜率k＝－>0.当直线l的斜率不存在时，d＝＝1；当OA⊥l时(O为坐标原点)，d＝|OA|＝＝2，所以1二、多项选择题
9．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，直线l2：x＋my＋1＝0，则下列命题正确的是(　　)
A．直线l1恒过点(0，1)
B．若直线l2的方向向量为(1，1)，则m＝－1
C．若l1∥l2，则m＝±1
D．若l1⊥l2，则m＝0
答案：BD
解析：把(0，1)代入直线l1的方程，等式不成立，A错误；若直线l2：x＋my＋1＝0的方向向量为(1，1)，则直线l2的斜率k＝＝1，得m＝－1，B正确；直线l1的方向向量为(1，－m)，直线l2的方向向量为(m，－1)，若l1∥l2，则有m2－1＝0，解得m＝±1，当m＝1时，l1与l2重合，C错误；若l1⊥l2，则有m＋m＝0，即m＝0，D正确．故选BD.
10．已知直线l1：3x＋2y－m＝0，l2：xsinα－y＋1＝0，则(　　)
A．当m变化时，l1的倾斜角不变
B．当α变化时，l2过定点
C．l1与l2可能平行
D．l1与l2不可能垂直
答案：AB
解析：对于A，当m变化时，直线l1：3x＋2y－m＝0的斜率始终为k＝－，所以l1的倾斜角不变，故A正确；对于B，直线l2：xsinα－y＋1＝0恒过定点(0，1)，故B正确；对于C，假设l1与l2平行，则－3＝2sinα，即sinα＝－，这与sinα∈[－1，1]相矛盾，所以l1与l2不可能平行，故C错误；对于D，假设l1与l2垂直，则3sinα－2＝0，即sinα＝，所以l1与l2可能垂直，故D错误．故选AB.
11．若过点A(1，0)，B(2，0)，C(4，0)，D(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于(　　)
A． B．
C． D．
答案：ABD
解析：当过点A和点C的直线平行，过点B和点D的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点C的直线为l1：y＝k(x－1)和l2：y＝k(x－4)，则过点B和点D的直线为l3：y＝－(x－2)和l4：y＝－(x－8)，其中l1和l2的距离与l3和l4的距离相等，即＝，解得k＝±2，故正方形的边长为＝，该正方形的面积为＝；当过点A和点B的直线平行，过点C和点D的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点B的直线为m1：y＝n(x－1)和m2：y＝n(x－2)，则过点C和点D的直线为m3：y＝－(x－4)和m4：y＝－(x－8)，其中m1和m2的距离与m3和m4的距离相等，即＝，解得n＝±4，故正方形的边长为＝，该正方形的面积为＝；当过点A和点D的直线平行，过点B和点C的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A和点D的直线为e1：y＝s(x－1)和e2：y＝s(x－8)，则过点B和点C的直线为e3：y＝－(x－2)和e4：y＝－(x－4)，其中e1和e2的距离与e3和e4的距离相等，即＝，解得s＝±，故正方形的边长为＝，该正方形的面积为＝.故选ABD.
三、填空题
12．已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，则两条平行直线之间的距离的最大值为________，此时两条平行直线的方程分别为______________．
答案：3　3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0
解析：两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，当AB与两条平行直线垂直时，两条平行直线之间的距离最大，为|AB|＝＝3，故这两条平行直线之间的距离的最大值为3.因为直线AB的斜率kAB＝＝，故这两条平行直线的斜率为－3，则两条平行直线的方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
13．设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________．
答案：2x－y－5＝0
解析：∵∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，∴直线AB与直线BC关于直线x＝0对称，直线AC与直线BC关于直线y＝x对称．点A(－3，1)关于直线x＝0的对称点A′(3，1)在直线BC上，点A(－3，1)关于直线y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上．由两点式，得所求直线BC的方程为2x－y－5＝0.
14．已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，直线FD的斜率的取值范围为________．
答案：(4，＋∞)
解析：∵A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，∴直线BC的方程为x＋y－2＝0，直线AC的方程为x－y＋2＝0，如图，作F关于直线BC的对称点P，∵F(1，0)，∴P(2，1)，再作P关于直线AC的对称点M，则M(－1，4)，连接MA，ME，且ME与AC交于点N，则直线ME的方程为x＝－1，∴N(－1，1)，连接PN，PA，分别交BC于点G，H，则直线PN的方程为y＝1，直线PA的方程为x－4y＋2＝0，∴G(1，1)，H，连接GF，HF，则G，H之间即为点D的变动范围．∵直线FG的方程为x＝1，直线FH的斜率为＝4，∴直线FD的斜率的取值范围为(4，＋∞)．
四、解答题
15．(2025·山西太原模拟)已知点P(1，3)，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并解答．
(1)求直线l1的方程；
(2)求直线l2：2x＋y－5＝0关于直线l1的对称直线的方程．
条件①：点P关于直线l1的对称点P1的坐标为(－1，1)；
条件②：点M的坐标为(6，－2)，直线l1过点(－2，4)且与直线PM平行；
条件③：点N的坐标为(－3，－1)，直线l1过点(－2，4)且与直线PN垂直．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)选择条件①：因为点P关于直线l1的对称点P1的坐标为(－1，1)，
所以l1是线段PP1的垂直平分线，
又kPP1＝＝1，所以直线l1的斜率为－1.
又线段PP1的中点坐标为(0，2)，所以直线l1的方程为y－2＝－(x－0)，即x＋y－2＝0.
选择条件②：因为kPM＝＝－1，直线l1与直线PM平行，所以直线l1的斜率为－1，
又直线l1过点(－2，4)，所以直线l1的方程为y－4＝－(x＋2)，即x＋y－2＝0.
选择条件③：因为kPN＝＝1，直线l1与直线PN垂直，所以直线l1的斜率为－1，
又直线l1过点(－2，4)，所以直线l1的方程为y－4＝－(x＋2)，即x＋y－2＝0.
(2)由解得
故l1与l2的交点坐标为(3，－1)，
因为A(0，5)在直线l2：2x＋y－5＝0上，
设A(0，5)关于l1对称的点为A1(m，n)，
则解得
所以直线l2关于直线l1对称的直线经过点(3，－1)，(－3，2)，
代入两点式方程，得＝，即x＋2y－1＝0，
所以直线l2：2x＋y－5＝0关于直线l1的对称直线的方程为x＋2y－1＝0.
16．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0.
(1)求顶点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且点C在直线2x－y－5＝0上，所以
解得故C(4，3)．
(2)设B(a，b)，由题意知，M，
所以
解得即B(－1，－3)．
kBC＝＝，
直线BC：y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.
|BC|＝＝，
点A到直线BC的距离d＝＝，
所以S△ABC＝××＝8.
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