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数学
第3练　圆的方程（原卷版）
一、单项选择题
1．(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A．2 B．2
C．3 D．
2．(2024·辽宁大连一模)过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝10
3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0)
C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0)
4．已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P的圆C的切线有两条，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．
C． D．
5．(2025·广东广州模拟)过A(－1，0)，B(0，3)，C(9，0)三点的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|＝(　　)
A．3 B．4
C．8 D．6
6．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
7．一束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是(　　)
A．4 B．5
C．5－1 D．2－1
8．在平面直角坐标系内，已知A(－3，4)，B(－3，1)，动点P(x，y)满足|PA|＝2|PB|，则(x－1)2＋(y－t)2(t∈R)的最小值是(　　)
A. B．2
C．4 D．16
二、多项选择题
9．已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是(　　)
A．圆M的圆心坐标为(1，3)
B．圆M的半径为
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点(2，3)在圆M内
10．(2025·江苏南京模拟)已知A，B为定点，且|AB|＝4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的是(　　)
A．|PA|·|PB|＝10
B．＝3
C．|PA|2＋|PB|2＝10
D．|PA|2－|PB|2＝10
11．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系xOy中，M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足|PM|·|PN|＝5，则下列结论正确的是(　　)
A．点P的横坐标的取值范围是[－，]
B．|OP|的取值范围是[1，3]
C．△PMN面积的最大值为
D．|PM|＋|PN|的取值范围是[2，5]
三、填空题
12．已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足 ·＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是________．(写出一个符合题意的整数值)
13．(2024·浙江杭州期中)已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC内一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________．
14．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．
(1)若定点为A(－1，0)，B(1，0)，写出k＝的一个阿波罗尼斯圆的标准方程为________；
(2)△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝k|BC|(k>1)，则当△ABC面积的最大值为2时，k＝________．
四、解答题
15．(2025·浙江温州中学阶段测试)已知圆满足：
①截y轴所得的弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；
③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为.
求该圆的方程．
16．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
第3练　圆的方程（解析版）
一、单项选择题
1．(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　)
A．2 B．2
C．3 D．
答案：C
解析：由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝3.故选C.
2．(2024·辽宁大连一模)过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝10
答案：D
解析：令该圆的圆心为(a，0)，半径为r，则该圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，则有解得故该圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.故选D.
3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0)
C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0)
答案：A
解析：设点M(x，y)，P(x，y0)，则P′(x，0)，因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x，2y)，又P在曲线x2＋y2＝16(y>0)上，所以x2＋4y2＝16(y>0)，即＋＝1(y>0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y>0)．故选A.
4．已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P的圆C的切线有两条，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．
C． D．
答案：C
解析：圆C：＋(y＋1)2＝1－k2，因为过点P有两条切线，所以点P在圆外，从而解得－5．(2025·广东广州模拟)过A(－1，0)，B(0，3)，C(9，0)三点的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|＝(　　)
A．3 B．4
C．8 D．6
答案：D
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，代入点A(－1，0)，B(0，3)，C(9，0)，则解得可得圆的方程为x2＋y2－8x－9＝0，令x＝0，可得y2－9＝0，解得y＝±3，所以|MN|＝6.故选D.
6．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
答案：C
解析：解法一：令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式，化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y的最大值是1＋3.故选C.
解法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cosθ＋2，y＝3sinθ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x－y＝3cosθ－3sinθ＋1＝3cos＋1，因为θ∈[0，2π]，所以θ＋∈，当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值1＋3.故选C.
解法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3.故选C.
7．一束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是(　　)
A．4 B．5
C．5－1 D．2－1
答案：C
解析：设A′与A关于x轴对称，因为A(－3，2)，所以A′(－3，－2)，又|A′C|＝＝5，所以A′到圆C上的点的最短距离为5－1.故这束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是5－1.故选C.
8．在平面直角坐标系内，已知A(－3，4)，B(－3，1)，动点P(x，y)满足|PA|＝2|PB|，则(x－1)2＋(y－t)2(t∈R)的最小值是(　　)
A. B．2
C．4 D．16
答案：C
解析：因为A(－3，4)，B(－3，1)，动点P(x，y)满足|PA|＝2|PB|，则(x＋3)2＋(y－4)2＝4(x＋3)2＋4(y－1)2，整理得(x＋3)2＋y2＝4，可以看成圆(x＋3)2＋y2＝4上的动点P(x，y)与定直线x＝1上的动点Q(1，t)的距离，其最小值为圆心M(－3，0)到直线x＝1的距离减去圆的半径2，即|PQ|≥4－2＝2，因此(x－1)2＋(y－t)2的最小值是22＝4.故选C.
二、多项选择题
9．已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是(　　)
A．圆M的圆心坐标为(1，3)
B．圆M的半径为
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点(2，3)在圆M内
答案：ABD
解析：设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，半径为，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M内．故选ABD.
10．(2025·江苏南京模拟)已知A，B为定点，且|AB|＝4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的是(　　)
A．|PA|·|PB|＝10
B．＝3
C．|PA|2＋|PB|2＝10
D．|PA|2－|PB|2＝10
答案：BC
解析：如图所示，以线段AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(－2，0)，B(2，0)．对于A，若|PA|·|PB|＝10，则·＝10，整理得(x2＋y2＋4)2－(4x)2＝100，以－x 代x，以－y代y，方程不变，故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点，令x＝0，得y＝±，令y＝0，得x＝±.所以该轨迹不是圆，故A不符合题意；对于B，由|PA|＝3|PB|，得|PA|2＝9|PB|2，即(x＋2)2＋y2＝9[(x－2)2＋y2]，整理得x2＋y2－5x＋4＝0，即＋y2＝，所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故B符合题意；对于C，若|PA|2＋|PB|2＝10，则(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝10，即x2＋y2＝1，所以点P的轨迹为圆，故C符合题意；对于D，因为|PA|2－|PB|2＝10，所以(x＋2)2＋y2－(x－2)2－y2＝10，即x＝，所以点P的轨迹为直线，故D不符合题意．故选BC.
11．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系xOy中，M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足|PM|·|PN|＝5，则下列结论正确的是(　　)
A．点P的横坐标的取值范围是[－，]
B．|OP|的取值范围是[1，3]
C．△PMN面积的最大值为
D．|PM|＋|PN|的取值范围是[2，5]
答案：BC
解析：设点P(x，y)，依题意得[(x＋2)2＋y2][(x－2)2＋y2]＝25.对于A，25＝[(x＋2)2＋y2][(x－2)2＋y2]≥(x＋2)2(x－2)2＝(x2－4)2，当且仅当y＝0时取等号，解不等式(x2－4)2≤25，得－3≤x≤3，即点P的横坐标的取值范围是[－3，3]，故A错误；对于B，[(x2＋y2＋4)＋4x][(x2＋y2＋4)－4x]＝25，则x2＋y2＋4＝，因为0≤x2≤9，所以|OP|＝＝∈[1，3]，故B正确；对于C，△PMN的面积S＝|PM|·|PN|sin∠MPN≤|PM|·|PN|＝，当且仅当∠MPN＝90°时取等号，当∠MPN＝90°时，点P在以线段MN为直径的圆x2＋y2＝4上，由解得所以△PMN面积的最大值为，故C正确；对于D，点(3，0)在动点P的轨迹上，当点P为此点时，|PM|＋|PN|＝5＋1＝6，故D错误．故选BC.
三、填空题
12．已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足 ·＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是________．(写出一个符合题意的整数值)
答案：0或1(只写一个即可)
解析：由题设知⊥，即点M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为，所以点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，而直线y＝x＋2过圆心(－1，1)，所以点M到直线y＝x＋2的距离的取值范围为[0，]，所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1.
13．(2024·浙江杭州期中)已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC内一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________．
答案：
解析：以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，设P(x，y)，由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5，整理，得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝，因此点P的轨迹是以M为圆心，r＝为半径的圆，所以|PA|的最大值为|MA|＋r＝＋＝.
14．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．
(1)若定点为A(－1，0)，B(1，0)，写出k＝的一个阿波罗尼斯圆的标准方程为________；
(2)△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝k|BC|(k>1)，则当△ABC面积的最大值为2时，k＝________．
答案：(1)＋y2＝(填一个即可)　(2)
解析：(1)设动点为P(x，y)，则＝或＝，所以＝或＝，化简得＋y2＝.所以k＝的阿波罗尼斯圆的标准方程为＋y2＝.
(2)设A(－1，0)，B(1，0)，C(x，y)，
因为|AC|＝k|BC|，所以(x＋1)2＋y2＝k2[(x－1)2＋y2]，所以x2＋y2－2·x＋1＝0(y≠0)，点C的轨迹是图中的圆D.当△ABC面积的最大值为2时，CD⊥x轴，此时CD就是圆的半径，所以圆D的半径为2.所以＝2，所以k＝.
四、解答题
15．(2025·浙江温州中学阶段测试)已知圆满足：
①截y轴所得的弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；
③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为.
求该圆的方程．
解：设所求圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则圆心到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|，
∵圆P截y轴所得的弦长为2，
∴由勾股定理，得r2＝a2＋1，
∵圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3∶1，
∴劣弧所对的圆心角为90°，
故r＝b，即r2＝2b2，
∴2b2－a2＝1，　　　　　　　　　　　①
又P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为，
即＝，即a－2b＝±1. ②
解①②组成的方程组得或于是r2＝2b2＝2，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.
16．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设点A(x1，0)，B(x2，0)，
则Δ＝m2－8m>0，
即m<0或m>8，
x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，故点C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径且过点C的圆，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，解得m＝0或m＝－.
因为m<0或m>8，所以m＝－，
此时点C(0，－1)，所求圆的圆心为线段AB的中点M，半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为＋y2＝.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0，2m)的坐标代入，
可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理，得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令解得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.
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