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2024-2025学年四川省成都市第七中学高一下学期期中检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知的内角，，的对边分别为，，，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量满足，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，质点从点出发，沿，，运动至点，已知，，则质点位移的大小是( )
A. B. C. D.
6.在中，为的中点，与交于点，则( )
A. B. C. D.
7.定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是( )
A. 该运算满足交换律，即
B. 若向量，共线，则
C. 的值等于以，为邻边的平行四边形的面积
D. 对任意向量，有
8.已知，，，，满足，用表示的面积，当最大时，的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B. 若，满足，且，同向，则
C. 若四边形满足，则四边形是平行四边形
D. 两个非零向量和，若，则与垂直
10.设三个内角，，的对边分别为，，，且，，则下列条件能使解出的有且仅有一个的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，满足，且函数在区间上单调，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则函数的最小正周期为
C. 关于的方程在上可以有个不等实数解
D. 若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为 ．
14.已知的外心为，，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中．
设，若是纯虚数，求实数的值；
设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角的余弦值以及在上的投影向量的坐标．
16.本小题分
已知向量，．
若，求；
若，求．
17.本小题分
已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
求的最小值．
将函数的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标缩小为原来的倍横坐标不变，得到函数的图象，若方程在区间内的解为，求
18.本小题分
如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，．
求角；
若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积．
19.本小题分
一般地，任何一个复数，可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，．
若复数，求复数的实部和虚部；
试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；
设复平面上单位圆内接正二十四边形的个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数．
参考答案
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15.解：由题意，复数，则，
因为为纯虚数，所以，，
故．
因为，
所以，
所以，
故，
设向量夹角为，
所以，
在上的投影向量为．
16.解：因为，所以，所以，
所以．
，所以，
．
17.解：由题意得
因为图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，可得，
又因为为奇函数，可得，
所以，，
因为，所以，所以函数，
所以，
令，
则，，
其对称轴为，在上单调递增，在单调递减，
因为当时，，
当时，，
所以当时，取到最小值，
即的最小值为．
因为，
将函数的图象向右平移个单位长度可得，
再把纵坐标缩小为原来的倍横坐标不变，得到函数，
因为，故，
由题意得，得，
所以，所以，
所以，
因为，，
所以，即，
所以．
18.解：由，联立方程组，解得，
不妨设，可得
由余弦定理得，
因为，所以．
解：由，由知，可得，
因为过作的垂线并延长到点，使四点共圆，
在直角中，可得，则，
因为，可得，
在直角中，可得，即，
所以，
所以，
所以四边形的面积为．
19.解：，
则，
所以复数的实部为，虚部为．
设模为的复数为，
则
，
由复数乘方公式得，
所以，．
正二十四边形每边所对的中心角为，设为常数，
则，
所以
，
由周期性知，共有个不同的值，
所以复数所对应不同点的个数为．

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