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数学
第4练　直线与圆、圆与圆的位置关系（原卷版）
一、单项选择题
1．(2024·安徽黄山三模)直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．1或2
2．(2025·山东潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－2x＝0，则过点P(3，0)的圆C的切线方程是(　　)
A．y＝±(x－3) B．y＝±2(x－3)
C．y＝±(x－3) D．y＝±(x－3)
3．(2025·湖北八校联考)若过点(－2，0)且与圆x2＋y2＝1相切的两条直线的夹角为α，则cosα＝(　　)
A． B．
C． D．－
4．(2024·广东广州二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　)
A．外切 B．相交
C．内切 D．没有公共点
5．(2024·浙江杭州三模)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋t与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0相交于A，B两点，若∠ACB＝，则t＝(　　)
A．－或－ B．－1或－6
C．－或－ D．－2或－7
6．若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1，＋∞) D．(1，3]
7．(2025·广东名校联考)已知圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋a2＝0(a>0)与曲线＝2有交点，则a的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
二、多项选择题
9．已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，则下列说法正确的是(　　)
A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交
B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离
C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m>
D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝
10．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝9，则下列四个命题表述正确的是(　　)
A．圆C上有且仅有3个点到直线l：x－y－1＝0的距离等于1
B．过点A(3，4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为4x＋4y－5＝0
C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有|＋|－||≥0，则∠PCQ的最大值为
D．若圆C与圆E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0外切，则m＝4
11．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
三、填空题
12．(2025·山东济南模拟)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0与圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是________．
13．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
14．在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝(m>0)，在圆上存在点P满足|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是________．
四、解答题
15．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知圆C：x2－mx＋y2＋2(2－m)y＋m－1＝0，m∈R.
(1)证明：圆C过定点；
(2)当m＝0时，点P为直线l：＋＝1上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB面积的最小值，并写出此时直线AB的方程．
16．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第4练　直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）
一、单项选择题
1．(2024·安徽黄山三模)直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．1或2
答案：C
解析：由直线l：ax＋y－2＝0，可得直线l过定点(0，2)，又由圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，可得点(0，2)在圆C上，因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选C.
2．(2025·山东潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－2x＝0，则过点P(3，0)的圆C的切线方程是(　　)
A．y＝±(x－3) B．y＝±2(x－3)
C．y＝±(x－3) D．y＝±(x－3)
答案：C
解析：将P(3，0)代入圆C的方程，得32＋02－2×3＝3>0，则该点在圆外，将圆C：x2＋y2－2x＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1，则其圆心为(1，0)，半径为1，当切线斜率不存在时，直线方程为x＝3，显然不符合题意，故舍去，则设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则有＝1，解得k＝±，此时圆C的切线方程为y＝±(x－3)．故选C.
3．(2025·湖北八校联考)若过点(－2，0)且与圆x2＋y2＝1相切的两条直线的夹角为α，则cosα＝(　　)
A． B．
C． D．－
答案：A
解析：如图，过点A(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于B，C两点，则∠BAC为两直线的夹角，即∠BAC＝α，又OB⊥AB，|AO|＝2，|OB|＝1，所以在Rt△AOB中，∠BAO＝，即∠BAC＝，cos∠BAC＝，即cosα＝.故选A.
4．(2024·广东广州二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　)
A．外切 B．相交
C．内切 D．没有公共点
答案：B
解析：直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1.圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径R＝1，圆(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心为C(a，b)，半径r＝，因为|CO|＝＝1，R－r<|CO|5．(2024·浙江杭州三模)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋t与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0相交于A，B两点，若∠ACB＝，则t＝(　　)
A．－或－ B．－1或－6
C．－或－ D．－2或－7
答案：C
解析：由题意可知，圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0，化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，因为∠ACB＝，过点C作CD⊥AB于点D，如图所示，|AC|＝|BC|＝，在Rt△ACD中，|CD|＝cos＝.所以圆心C到直线l的距离d＝＝，解得t1＝－，t2＝－.故选C.
6．若曲线y＝与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A． B．
C．(1，＋∞) D．(1，3]
答案：A
解析：根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过点B时，直线l的斜率k＝＝1，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.故选A.
7．(2025·广东名校联考)已知圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋a2＝0(a>0)与曲线＝2有交点，则a的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A
解析：由＝2，整理得(x－1)2＋y2＝4，圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋a2＝0(a>0)化为标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，由题意可得圆(x－1)2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)有交点，又因为(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为r＝2，圆C的圆心为(a，a)，半径为R＝a，所以|2－a|≤≤2＋a，解得1≤a≤3＋2，所以a的最小值为1.故选A.
8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案：D
解析：圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，则M(1，1)，点M到直线l的距离为d＝＝＞2，所以直线l与圆M相离．依圆的知识可知，点A，P，B，M四点共圆，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4×|PA|×|AM|＝4|PA|，而|PA|＝＝，当直线l⊥PM时，|PM|最小，|PM|min＝，则|PA|min＝1，此时|PM|·|AB|最小．直线PM的方程为y－1＝(x－1)，即y＝x＋，由解得所以P(－1，0)．所以以PM为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0.两圆的方程相减可得2x＋y＋1＝0，即为直线AB的方程．故选D.
二、多项选择题
9．已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，则下列说法正确的是(　　)
A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交
B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离
C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m>
D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝
答案：AC
解析：圆O1：(x－1)2＋y2＝4的圆心为O1(1，0)，半径r1＝2，若m＝4，则圆O2：(x－5)2＋y2＝16，则圆心为O2(5，0)，半径r2＝4，可得|O1O2|＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|，故C正确；圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d1＝＝，所以|MN|＝2＝2＝，故D错误．故选AC.
10．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝9，则下列四个命题表述正确的是(　　)
A．圆C上有且仅有3个点到直线l：x－y－1＝0的距离等于1
B．过点A(3，4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为4x＋4y－5＝0
C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有|＋|－||≥0，则∠PCQ的最大值为
D．若圆C与圆E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0外切，则m＝4
答案：BC
解析：圆心C(－1，0)，半径r＝3，圆心C到直线l：x－y－1＝0的距离d＝＝1，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A错误；过点A(3，4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则A，C，M，N四点共圆，且AC为直径，方程为x2＋y2－2x－4y－3＝0，与圆C的方程相减可得，直线MN的方程为4x＋4y－5＝0，故B正确；设PQ的中点为D，则CD⊥PQ.因为|＋|－||≥0，即·2||≥2||，可得≥＝tan∠DCP，则0<∠DCP≤，故∠PCQ的最大值为，故C正确；圆E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0的圆心为E(2，4)，半径R＝，根据题意可得R＋r＝|CE|，即＋3＝5，解得m＝±4，故D错误．故选BC.
11．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
答案：ACD
解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋<5＋＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4<－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D正确．故选ACD.
三、填空题
12．(2025·山东济南模拟)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0与圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是________．
答案：y＝－x＋1
解析：由题意得，圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝8，圆心C1(－4，1)，半径r1＝2，圆C2：(x＋3)2＋(y－2)2＝2，圆心C2(－3，2)，半径r2＝，因为|C1C2|＝＝r1－r2，所以两圆内切，公切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，kC1C2＝1，所以切线斜率为－1，由方程组解得故圆C1与圆C2的切点坐标为(－2，3)，故公切线方程为y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋1.
13．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
答案：－或－
解析：圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径为1，根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(－2，－3)关于y轴的对称点(2，－3)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，由反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，可得＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.
14．在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝(m>0)，在圆上存在点P满足|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是________．
答案：
解析：设点P(x，y)，由|PA|＝2|PB|可得(x＋1)2＋y2＝4[(x－2)2＋y2]，化简得(x－3)2＋y2＝4，即点P的轨迹是圆心为Q(3，0)，半径为r＝2的圆，因为点P在圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝(m>0)上，所以圆Q和圆C有公共点，所以≤|QC|≤，故≤≤，即≤m2≤，又m>0，所以≤m≤.
四、解答题
15．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知圆C：x2－mx＋y2＋2(2－m)y＋m－1＝0，m∈R.
(1)证明：圆C过定点；
(2)当m＝0时，点P为直线l：＋＝1上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB面积的最小值，并写出此时直线AB的方程．
解：(1)证明：依题意，将圆C的方程x2－mx＋y2＋2(2－m)y＋m－1＝0化为x2＋y2＋4y－1＋(1－x－2y)m＝0，
由解得
所以圆C过定点(1，0)．
(2)当m＝0时，圆C：x2＋(y＋2)2＝5，直线l：＋＝1，
设P(s，t)，依题意，四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝2×|PA|×，
当|PA|最小时，四边形PACB的面积最小，
又|PA|＝，即当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，
圆心C(0，－2)到直线l：＋＝1的距离即为|PC|的最小值，
即|PC|min＝＝2，
|PA|min＝＝，
Smin＝×＝5，即四边形PACB面积的最小值为5，
此时直线PC与直线l垂直，
所以直线PC的方程为y＝2x－2，
与直线l联立，解得P(2，2)，
设以PC为直径的圆Q上任意一点D(x，y)，
·＝x(x－2)＋(y＋2)(y－2)＝0，
故圆Q的方程为x(x－2)＋(y＋2)(y－2)＝0，
即x2＋y2－2x－4＝0，
又圆C：x2＋y2＋4y－1＝0，
两式作差可得直线AB的方程为2x＋4y＋3＝0.
16．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C(a，0)，
则＝2 a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB的斜率不存在时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN ＋＝0 ＋＝0 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 －＋2t＝0 t＝4，
所以当点N的坐标为(4，0)时，使得x轴平分∠ANB.
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