资源简介

数学
第5练　椭圆（原卷版）
一、单项选择题
1．已知直线3x－2y－6＝0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋x2＝1
2．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
3．椭圆＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2，A为上顶点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
4．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9且k≠0)的(　　)
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
5．已知点M在椭圆＋＝1上运动，点N在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则|MN|的最大值为(　　)
A．1＋ B．1＋2
C．5 D．6
6．(2025·河北衡水中学模拟)已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上一动点，若A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．6－ B．6－
C．6－ D．6－
7．已知椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　)
A． B．
C． D．
8．设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2025·山西大同模拟)已知曲线C：＋＝1(λ＞0)，则(　　)
A．当λ＝3时，C是圆
B．当λ＝2时，C是椭圆且一焦点为(2，0)
C．当λ＝4时，C是椭圆且焦距为2
D．当0＜λ＜3时，C是焦点在y轴上的椭圆
10．(2024·湖南长沙一模)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则(　　)
A．轨道的焦距为d2＋d1
B．轨道的离心率为
C．轨道的短轴长为2
D．当越大时，轨道越扁
11．已知椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则下列说法正确的是(　　)
A．离心率e的取值范围为
B．存在点Q，使得＋＝0
C．当e＝时，|QF1|＋|QP|的最大值为4＋
D．＋的最小值为1
三、填空题
12．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为________，离心率为________．
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得＝，则椭圆离心率的取值范围是________．
14．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
四、解答题
15．已知F1，F2分别为椭圆W：＋y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．
(1)若点M的坐标为(1，m)(m>0)，求△F1MF2的面积；
(2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围．
16．已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.
(1)求点Q的轨迹C的方程；
(2)若点A是曲线C上的动点，求·的最大值(其中O为坐标原点)．
第5练　椭圆（解析版）
一、单项选择题
1．已知直线3x－2y－6＝0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋x2＝1
答案：C
解析：令x＝0，可得y＝－3；令y＝0，可得x＝2.则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为(0，－3)，(2，0)．因为|－3|>2，所以椭圆的焦点在y轴上．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2，所以椭圆的方程为＋＝1.故选C.
2．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A.
3．椭圆＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2，A为上顶点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
答案：C
解析：设椭圆＋＝1(a＞)的短半轴长为b，半焦距为c，则b＝，△AF1F2的面积S＝|F1F2|·b＝c.由题意知c＝，所以c＝1，a＝＝2，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，所以△AF1F2的周长为4＋2＝6.故选C.
4．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9且k≠0)的(　　)
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
答案：C
解析：曲线＋＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8的椭圆．曲线＋＝1(k<9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝8，离心率为的椭圆．故选C.
5．已知点M在椭圆＋＝1上运动，点N在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则|MN|的最大值为(　　)
A．1＋ B．1＋2
C．5 D．6
答案：B
解析：设圆x2＋(y－1)2＝1的圆心为C(0，1)，则|MN|≤|MC|＋r＝|MC|＋1，设M(x0，y0)，则＋＝1 x＝18－2y，所以|MC|＝＝＝＝＝≤2，当且仅当y0＝－1时取等号，所以|MN|≤|MC|＋1≤2＋1.故选B.
6．(2025·河北衡水中学模拟)已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上一动点，若A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．6－ B．6－
C．6－ D．6－
答案：C
解析：椭圆＋＝1，则a＝3，b＝，c＝＝2，如图，设椭圆的右焦点为F′(2，0)，
则|PF|＋|PF′|＝2a＝6，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋6－|PF′|＝6＋|PA|－|PF′|，由图可知，当P在直线AF′(与椭圆的交点)上时，||PA|－|PF′||＝|AF′|＝；当P不在直线AF′(与椭圆的交点)上时，根据三角形的两边之差小于第三边有||PA|－|PF′||＜|AF′|＝，∴当P在F′A的延长线(与椭圆的交点)上时，|PA|－|PF′|取得最小值－，∴|PA|＋|PF|的最小值为6－.故选C.
7．已知椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：解法一：设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜，所以S△PF1F2＝b2tan＝b2tanθ，由cos∠F1PF2＝cos2θ＝＝＝，解得tanθ＝.由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝|F1F2|·|yP|＝×2×|yP|＝6×，解得y＝3，所以x＝9×＝，因此|PO|＝＝＝.故选B.
解法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1|·|PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而＝(＋)，所以|PO|＝||＝|＋|，即|PO|＝|＋|
＝
＝＝.故选B.
解法三：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2，解得|PO|＝.故选B.
8．设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得x＝a2－y，则|PB|2＝x＋(y0－b)2＝x＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2＝－＋＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝∈.故选C.
二、多项选择题
9．(2025·山西大同模拟)已知曲线C：＋＝1(λ＞0)，则(　　)
A．当λ＝3时，C是圆
B．当λ＝2时，C是椭圆且一焦点为(2，0)
C．当λ＝4时，C是椭圆且焦距为2
D．当0＜λ＜3时，C是焦点在y轴上的椭圆
答案：AC
解析：对于A，当λ＝3时，曲线C：x2＋y2＝6，是圆，故A正确；对于B，当λ＝2时，曲线C：＋x2＝1，是焦点在y轴上的椭圆，故B错误；对于C，当λ＝4时，曲线C：＋＝1，是椭圆，且c2＝13－7＝6，所以2c＝2，故C正确；对于D，当λ＝1时，曲线C不是椭圆，故D错误．故选AC.
10．(2024·湖南长沙一模)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则(　　)
A．轨道的焦距为d2＋d1
B．轨道的离心率为
C．轨道的短轴长为2
D．当越大时，轨道越扁
答案：BC
解析：由题意知解得a＝，c＝.对于A，因为轨道的焦距为2c＝d2－d1所以A错误；对于B，因为离心率为＝，所以B正确；对于C，因为轨道的短轴长为2＝2＝2，所以C正确；对于D，因为＝＝－1＋，则越大时，离心率越小，则轨道越圆，所以D错误．故选BC.
11．已知椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则下列说法正确的是(　　)
A．离心率e的取值范围为
B．存在点Q，使得＋＝0
C．当e＝时，|QF1|＋|QP|的最大值为4＋
D．＋的最小值为1
答案：ACD
解析：对于A，∵点P(，1)在椭圆C：＋＝1(b>0)的内部，∴＋<1，∴b2>2，又椭圆焦点在x轴上，∴b2<4，∴2三、填空题
12．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为________，离心率为________．
答案：＋＝1或＋＝1　
解析：焦点与椭圆上的点的最短距离为a－c＝，又a＝2c，∴c＝，a＝2，b＝3，∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1，离心率e＝＝.
13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得＝，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案：(－1，1)
解析：由＝，得＝＝＝，得|PF1|＝，又|PF1|∈(a－c，a＋c)，则a－c<0，又e∈(0，1)，∴e∈(－1，1)．
14．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
答案：8
解析：由|PQ|＝|F1F2|，得|OP|＝|F1F2|(O为坐标原点)，所以PF1⊥PF2，又由椭圆的对称性，知四边形PF1QF2为平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.
四、解答题
15．已知F1，F2分别为椭圆W：＋y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．
(1)若点M的坐标为(1，m)(m>0)，求△F1MF2的面积；
(2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围．
解：(1)因为点M(1，m)在椭圆上，所以＋m2＝1，因为m>0，所以m＝，
因为a＝2，b＝1，所以c＝＝，
所以F1(－，0)，F2(，0)，
所以S△F1MF2＝|F1F2|m＝×2×＝.
(2)因为点M在椭圆上，所以－2≤x0≤2，
由余弦定理，得
cos∠F1MF2＝＝，
因为∠F1MF2是钝角，所以(x0＋)2＋y＋(x0－)2＋y－12<0，又因为y＝1－，所以x<，解得－16．已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.
(1)求点Q的轨迹C的方程；
(2)若点A是曲线C上的动点，求·的最大值(其中O为坐标原点)．
解：(1)圆M：x2＋(y－1)2＝8的圆心M(0，1)，半径r＝2，由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝2，且|PM|＝|QP|＋|QM|＝|QN|＋|QM|，
又|QN|＋|QM|＝2>2，
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝，c＝1，b＝1，
则点Q的轨迹C的方程为＋x2＝1.
(2)设A(x，y)，则＝(x，y)，＝(－x，－1－y)，
·＝－x2＋y(－1－y)＝－x2－y2－y，①
又＋x2＝1，所以x2＝1－y2，将其代入①得·＝－y2－y－1＝－(y＋1)2－，
由椭圆的有界性可知－≤y≤，
所以当y＝－1时，·取得最大值－.
7

展开更多......

收起↑