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数学
　第1练　随机抽样（原卷版）
一、单项选择题
1．①一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；②运动会的工作人员从参加4×100 m接力赛的6支队伍中抽取1支接受采访．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为(　　)
A．分层随机抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，简单随机抽样
C．简单随机抽样，分层随机抽样
D．分层随机抽样，分层随机抽样
2．某植物种植商购进了一批花的球根，从中随机选取了200个球根种植，调查这批花的球根发芽情况，最后有4个不发芽．则下列说法正确的是(　　)
A．调查方式是普查
B．样本是200个球根
C．这批花的球根中只有196个球根发芽
D．这批花的球根中约有2%的球根不发芽
3．(2025·河南郑州模拟)国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个．质检人员采用比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为(　　)
A．325个 B．300个
C．225个 D．175个
4．(2024·陕西西安一模)某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号001，002，…，649，650，从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是(　　)
32 21 18 34 29　78 64 54 07 32　52 42 06 44 38　12 23 43 56 77　35 78 90 56 42
84 42 12 53 31　34 57 86 07 36　25 30 07 32 86　23 45 78 89 07　23 68 96 08 04
32 56 78 08 43　67 89 53 55 77　34 89 94 83 75　22 53 55 78 32　45 77 89 23 45
A．623 B．328
C．072 D．457
5．(2025·陕西榆林模拟)某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用比例分配的分层随机抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中医生比护士少(　　)
A．19人 B．18人
C．17人 D．16人
6．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1000，800，按年级进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为30的样本，调查全校学生的睡眠时间．高一年级抽取的学生的平均睡眠时间为8.5小时，高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为7.8小时，三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时，则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为(　　)
A．7.2小时 B．7.3小时
C．7.5小时 D．7.6小时
7．(2025·山东青岛模拟)用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中无放回地抽取一个容量为3的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
8．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为(　　)
A．4000只 B．3000只
C．1500只 D．750只
二、多项选择题
9．在世界无烟日，小华所在的学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了50个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是(　　)
A．调查的方式是抽样调查
B．获得的数据属于一手数据
C．本地区只有35个成年人不吸烟
D．样本是15个吸烟的成年人
10．某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是(　　)
A．这次抽样可能采用的是抽签法
B．这次抽样不可能是按性别比例分配的分层随机抽样
C．这次抽样中，每名男生被抽到的概率一定小于每名女生被抽到的概率
D．这次抽样中，每名男生被抽到的概率不可能等于每名女生被抽到的概率
11．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1～1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置(内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个)中摸出一个小球(摸完放回)：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是(　　)
A．估计被调查者中约有15人吸烟
B．估计约有15人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有3%的中学生吸烟
D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟
三、填空题
12．(2025·江苏常州模拟)某中学为了了解学生是否规范佩戴胸卡，随机抽取了部分学生，抽取结果发现150名学生中有60名学生规范佩戴胸卡．若学校调查了该校所有学生，发现有500名学生规范佩戴胸卡，则估计该中学共有________名学生．
13．某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三年级抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为________．
14．(2025·浙江杭州模拟)二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大依次为x1，x2，…，xn，即最大编号为xn，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号x1，x2，…，xn，相当于从[0，N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0，N]分成(n＋1)个小区间，由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的．由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度估计所有(n＋1)个区间的平均长度，进而得到N的估计值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为________．
四、解答题
15．某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的.为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为多少？
　第1练　随机抽样（解析版）
一、单项选择题
1．①一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；②运动会的工作人员从参加4×100 m接力赛的6支队伍中抽取1支接受采访．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为(　　)
A．分层随机抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，简单随机抽样
C．简单随机抽样，分层随机抽样
D．分层随机抽样，分层随机抽样
答案：A
解析：对于①，为更加了解各层次的学生成绩，应选择分层随机抽样；对于②，可采用简单随机抽样．故选A.
2．某植物种植商购进了一批花的球根，从中随机选取了200个球根种植，调查这批花的球根发芽情况，最后有4个不发芽．则下列说法正确的是(　　)
A．调查方式是普查
B．样本是200个球根
C．这批花的球根中只有196个球根发芽
D．这批花的球根中约有2%的球根不发芽
答案：D
解析：调查方式是抽样调查，故A错误；样本是200个球根的发芽情况，故B错误；200个球根中有196个球根发芽，故C错误；200个球根中有4个球根不发芽，不发芽率为＝0.02，即为2%，再由样本估计总体，故D正确．故选D.
3．(2025·河南郑州模拟)国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个．质检人员采用比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为(　　)
A．325个 B．300个
C．225个 D．175个
答案：C
解析：根据比例分配的分层随机抽样可知，低能量密度锂电池的产量为400×＝225(个)．故选C.
4．(2024·陕西西安一模)某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号001，002，…，649，650，从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是(　　)
32 21 18 34 29　78 64 54 07 32　52 42 06 44 38　12 23 43 56 77　35 78 90 56 42
84 42 12 53 31　34 57 86 07 36　25 30 07 32 86　23 45 78 89 07　23 68 96 08 04
32 56 78 08 43　67 89 53 55 77　34 89 94 83 75　22 53 55 78 32　45 77 89 23 45
A．623 B．328
C．072 D．457
答案：A
解析：从第5行第6列开始向右读取数据，第1个数为253，第2个数是313，第3个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个数是253，重复，第4个数是007，第5个数是328，第6个数是623.故选A.
5．(2025·陕西榆林模拟)某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用比例分配的分层随机抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中医生比护士少(　　)
A．19人 B．18人
C．17人 D．16人
答案：C
解析：由题意知，医生抽取×50＝15(人)，护士抽取×50＝32(人)，故医生比护士少17人．故选C.
6．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1000，800，按年级进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为30的样本，调查全校学生的睡眠时间．高一年级抽取的学生的平均睡眠时间为8.5小时，高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为7.8小时，三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时，则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为(　　)
A．7.2小时 B．7.3小时
C．7.5小时 D．7.6小时
答案：C
解析：由题意，得抽样比为＝，则高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为1200×＝12，1000×＝10，800×＝8，设高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为x小时，由8x＋10×7.8＋12×8.5＝30×8，得x＝7.5.故选C.
7．(2025·山东青岛模拟)用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中无放回地抽取一个容量为3的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
答案：A
解析：第一次被抽到，可能性显然为；第二次被抽到，则第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性为×＝.故选A.
8．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为(　　)
A．4000只 B．3000只
C．1500只 D．750只
答案：C
解析：设该自然保护区中天鹅的数量为n只，则≈，解得n≈1500.故选C.
二、多项选择题
9．在世界无烟日，小华所在的学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了50个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是(　　)
A．调查的方式是抽样调查
B．获得的数据属于一手数据
C．本地区只有35个成年人不吸烟
D．样本是15个吸烟的成年人
答案：AB
解析：对于A，B，从该地众多成年人中随机调查了50个成年人，调查的方式是抽样调查，获得的数据属于一手数据，A，B正确；对于C，抽取的样本中有35个成年人不吸烟，而总体中不吸烟的成年人不会少于35人，C错误；对于D，样本是50个成年人的吸烟情况，D错误．故选AB.
10．某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是(　　)
A．这次抽样可能采用的是抽签法
B．这次抽样不可能是按性别比例分配的分层随机抽样
C．这次抽样中，每名男生被抽到的概率一定小于每名女生被抽到的概率
D．这次抽样中，每名男生被抽到的概率不可能等于每名女生被抽到的概率
答案：AB
解析：根据抽样结果，此次抽样可能采用的是抽签法，故A正确；若按性别比例分配的分层随机抽样，则抽得的男、女生人数应为4，3，所以这次抽样不可能是按性别比例分配的分层随机抽样，故B正确；若按抽签法，则每名男生被抽到的概率和每名女生被抽到的概率均相等，故C，D错误．故选AB.
11．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1～1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置(内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个)中摸出一个小球(摸完放回)：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是(　　)
A．估计被调查者中约有15人吸烟
B．估计约有15人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有3%的中学生吸烟
D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟
答案：BC
解析：随机抽出的1000名学生中，回答问题1的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答“是”的学生人数为1000××＝250，回答问题2且回答“是”的人数为265－250＝15，从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为＝3%，估计被调查者中吸烟的人数为1000×3%＝30.故选BC.
三、填空题
12．(2025·江苏常州模拟)某中学为了了解学生是否规范佩戴胸卡，随机抽取了部分学生，抽取结果发现150名学生中有60名学生规范佩戴胸卡．若学校调查了该校所有学生，发现有500名学生规范佩戴胸卡，则估计该中学共有________名学生．
答案：1250
解析：设该中学共有n名学生，依题意，得＝，解得n＝1250，所以估计该中学共有1250名学生．
13．某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三年级抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为________．
答案：1500
解析：因为从高一、高二、高三年级抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，故可设样本中高一、高二、高三年级的人数依次为x－8，x－4，x，则3x－12＝48，解得x＝20，故该学校高三年级的学生人数为3600×＝1500.
14．(2025·浙江杭州模拟)二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大依次为x1，x2，…，xn，即最大编号为xn，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号x1，x2，…，xn，相当于从[0，N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0，N]分成(n＋1)个小区间，由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的．由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度估计所有(n＋1)个区间的平均长度，进而得到N的估计值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为________．
答案：24
解析：由于用前n个区间的平均长度估计所有(n＋1)个区间的平均长度，而缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，即n＝5，x5＝20，故≈，所以N≈24，即统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为24.
四、解答题
15．某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的.为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为多少？
解：因为“泥塑”社团的人数占总人数的，
故“剪纸”社团的人数占总人数的，
所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20.
又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，
所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×＝6.
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