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四川省自贡市富顺县第二中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，以数轴的数1表示的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点P，则点P对应的实数为（ ）
A． B． C． D．
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
4．在中，，，，则正方形的面积为（ ）
A．81 B．144 C．225 D．169
5．设、为实数，且，则的值是（ ）
A．3 B． C．9 D．
6．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ）
A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等
C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角
7．如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则　　
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作 EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中， EFGH的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．不变 D．先增大，再减小
9．已知，在中，，平分交所在直线于点E，，则的长为（ ）
A．6或7或8 B．7或8 C．6或7 D．6或8
10．如图，在菱形ABCD中，，，点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
11．如图，在菱形中，对角线交于点O，于点H，连接，若，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．
12．如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①②③ D．②③④
13．若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为 ．
二、填空题
14．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后测出，的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约 ．
15．如图，在四边形中，，，，则 °．
16．计算： ．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB＝90°，且BC＝2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2＝48，S3＝9，则S1的值为 .
18．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点A，E，F，G按顺时针排列）．当正方形中的某一顶点落在直线．上时（不与点D重合），则正方形的面积为 ．
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
20．已知，，．求值：
(1)；
(2)．
21．如图，在中，、分别是边、的一点，且，连接、.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：.
22．如图在正方形网格中，每个小方格的边长为单位1，且每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．

(1)在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形；
(2)在图②中，画一个面积为10的正方形．
(3)在图③中，D是中点，在边上找到点E，连接，使．
23．（1）如图1，在中，，，，，求的面积；
（2）如图2，在中，，，，求的面积．
24．如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与重合），点在边上移动（不与重合），在移动的过程中保持．

(1)连接，____________________°；
(2)求周长的最小值及此时点的坐标；
(3)在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
26．综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】：
如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部．
【问题探究】：
探究一：
根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？
探究二：
如图，延长，交边于点，连接，
①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗 请说明理由．
②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长．
《四川省自贡市富顺县第二中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题》参考答案
1．A
解：A. ，故正确；
B. 与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
C. ，故不正确；
D.3与 不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
故选A.
2．D
解：∵正方形的边长为1，
∴AQ=，
∴AP=，
∵点A表示1，
∴点P到0的距离为：-1，
∴点P表示1-，
故选D．
3．C
解：矩形的对角线互相平分且相等，而菱形的对角线互相平分，不一定相等．
故选：C．
4．C
解：因为，所以正方形的面积为，
故选C．
5．A
解：根据题意可得:，解得：
当时，
故选A.
6．A
解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．
故选：A.
7．D
解：为斜边上的中线，
，
，
，
，
，
是中点，是中点，
是的中位线，
．
故选：D．
8．C
解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2(S△BEF+S△AEH)
＝ab﹣2[cx+(a﹣c)(b﹣x)]
＝ab﹣(cx+ab﹣ax﹣bc+cx)
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝(a﹣2c)x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
故选：C．
9．D
解：分为两种情况：
①E点在线段上，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当E在延长线时，
∵，，
∴；
即或8，
故选：D．
10．C
解：如图1，连接PA，
∵菱形ABCD，
∴AB=AD=DC，，
∴，，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，即．
∵M是BC上的动点，
∴当时，AM有最小值．
如图2，过A作于点M，
∵，，，
∴，
故的最小值是，
故选：C．
11．D
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，即，
∴，
故选：D．
12．C
解：过E作，过E作于N，如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
故①正确；
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故③正确；
∴，
故②正确；
当时，点C与点F重合，则，，
∴不一定等于，
故④错误．
综上，正确的有①②③．
故选：C．
13．4
解：能与最简二次根式合并同类项，，
，
解得：．
故答案为：4．
14．36
解：点D，E是，的中点，
是的中位线，，
．
故答案为：36．
15．/130度
解：连接，如下图
在和中
，
，
，，
，
．
，
．
．
故答案为：．
16．
解：，
．
故答案为：．
17．3
∵S2=48，S3＝9，
∴，CD =3，
过A作AH∥CD交BC于H，

则∠AHB=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴四边形AHCD是平行四边形，
∴，AH=CD=3，
∵∠ABC+∠DCB=90°，
∴∠AHB+∠ABC=90°，
∴∠BAH=90°，
∴AB2=BH2-AH2=3，
∴S1=3，
∴故答案为3.
18．20或80
当点F在直线上时，过点F作，交的延长线于M，
则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴正方形的面积为20．
当点G在直线上时，过点G作，交的延长线于M，如图，
同理可得：，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴正方形的面积为80．
19．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)
(2)3
（1）解：∵，
∴
；
（2）解：由题意知，
．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析
（1）∵四边形是平行四边形.
∴， .
又∵.
∴，.
∴四边形是平行四边形.
（2）∵四边形是平行四边形.
∴.
又∵在中，有.
∴.
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：如图所示，斜边长为为的等腰直角三角形即为所求：

（2）解：如图所示，面积为10的正方形即为所求：

（3）解：如图所示，点E即为所求：

23．（1）；（2）
解：（1），，，
，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
．
（2）如图，过点作，交的延长线于点．设，则，
在和中，由勾股定理得，，
，
，
解得，即，
，
．
24．(1)证明见解析；
(2)．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（）得：四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．(1)
(2)
(3)或或．
（1）解：连接，

∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，
∴，与为等边三角形，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴为等边三角形；
∴，
当时，周长有最小值，
∵为等边三角形，
∴，，
∴的周长最小值为，，
∴，
∴为的中点，
∴．
（3）设，而，，；
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，解得：，
∴，
综上：或或．
26．探究一：当时,四边形为菱形，理由见解析；探究二：的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，理由见解析，长为
探究一：
当时,四边形为菱形，
理由如下：
，
，
∵翻折，
，
，
，
，
∴，
∴ ，
，
∴四边形为菱形；
探究二：
①的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变，
理由如下：
延长交边于点，
，
∴在和中，
，
，
∵翻折，
∴，
∴，
的度数大小不会随着点的位置变化而发生改变.
②正方形纸片的边长为，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
解得，
∴长为．

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