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2024-2025 学年河南省周口市部分学校高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线 2 4 2 = 4 的离心率为( )
A. 52 B.
3
2 C. 4 3 D. 5
2.( 1 3 6 2 ) 的展开式的第 4 项为( )
A. 20 3 B. 20 3 C. 15 8 D. 15 8
3 +( 1)

.若随机变量 的分布列为 ( = ) = ( = 2,3,4)，则 =( )
A. 12 B. 10 C. 9 D. 8
4.已知圆心在 轴上的圆过点( 1, 3)且与 轴相切，则该圆的标准方程为( )
A. ( + 1)2 + 2 = 4 B. 2 + ( 2)2 = 4
C. ( + 2)2 + 2 = 4 D. ( 2)2 + 2 = 4
5 3.若随机变量 的所有可能取值为 2，4，且 ( = 2) = 4，则 ( ) =( )
A. 34 B.
3 5
2 C. 1 D. 2
6.已知等差数列{ }的公差 ≠ 0

，前 项和为 ，若 9 94 + 8 = 3，则 =( )9
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
7.2025 年 2 月深圳福田区推出基于 开发的 数智员工，并上线福田区政务大模型 2.0 版，该模型
能进一步驱动政务效能全面跃升.某地也准备推出 20 名 数智员工(假定这 20 名 数智员工没有区别)，分
别从事 ， ， 三个服务项目，若每个项目至少需要 5 名 数智员工，则不同的分配方法种数为( )
A. 21 B. 18 C. 15 D. 12
8.已知盒中装有 9 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 3 个白球，6 个红球，每次从盒中随机抽取 1
个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰
好多 2 个时停止取球，则停止取球时取球的次数为 6 的概率为( )
A. 20 B. 40729 243 C.
100
243 D.
140
729
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系 中，已知点 (2,1, 1)， ( , , )(与点 不重合)，则下列结论正确的是( )
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A.若点 ， 关于 平面对称，则 + + = 2
B.若点 ， 关于 轴对称，则 + + = 2
C.若 ⊥ ，则 2 + = 0
D.若 = = 1，则 2 + = 3
10.已知函数 ( ) = 3 + + 1( ∈ )的导函数为 ′( )，则( )
A. ′( )一定是偶函数
B. ( )一定有极值
C. ( )一定存在递增区间
D.对任意确定的 ，恒存在 > 0，使得| ( )| ≤
11.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，点
从点 处出发，每次向上或向右移动 1 个单位长度，直至到达点 时停止移动，
则下列结论正确的是( )
A.移动的方法共有 252 种
B.仅有 4 次连续向上移动的方法有 30 种
C.经过点 的移动方法有 70 种
D. ( +1) ( +1)( +2)若对任意 ∈ {1,2,3}，从第 2 次到第 2 1 次的移动方向相同，则移动的方法有 2 种
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某地高中生的肺活量 (单位： )服从正态分布 (3800, 5002)，若该地有 12000 名高中生，则其中肺
活量低于 2800 的高中生的人数约为______．
参考数据： ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.95．
13.若函数 ( ) = 的图象在 = 1处的切线与在 = 2处的切线互相垂直，则 1 2的一个值为
______．
14.甲、乙、丙三人进行篮球传球训练，第 1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另
外两个人中的任何一人，则第 4 次传球传给乙的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)
2
经过点 (2,1)，且 的离心率 = 2 ．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 且与 相切，求 的方程．
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16.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， = 1， = 2， 1 = 2， ⊥ 1D.
(1)求证： ⊥平面 1 1 ；
(2)求直线 1 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
1
河南省是我国小麦产量第一大省，约占全国小麦产量的4 .小麦品种 是在河南省广泛种植的一个品种，某科
研基地在实验田种植的 品种小麦收获时，随机取 10 个该小麦的种子样本，每个样本均为 1000 粒，测得
每个样本的质量(称为千粒重，单位： )分别为 40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，记这 10 个

数据的平均数为 ．

(1)从这 10 个数据中随机选取 3 个，记这 3 个数据中大于 的个数为 ，求 的分布列；

(2)用这 10 个样本中千粒重大于 的频率作为每个样本千粒重大于 的概率，从 品种小麦种子中随机抽

取 20 个样本，千粒重大于 的样本最有可能是几个？
18.(本小题 17 分)
+1 2
已知数列{ }满足 1 = 1, = 1． +1
(1) 求证：{ + 1}是等比数列；
2(2)若 = ，求数列{ }的前 项和 ；
(3)判断是否存在 ∈ ，使得 ， +1， +2成等差数列，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
若函数 ( )在区间 上有意义，且存在 0 ∈ ，使得对任意的 ∈ ，当 < 0时， ( )单调递增，当 > 0
时， ( )单调递减，则称 ( )为 上的“抛物线型函数”，其中 ( 0)为 ( )在 上的峰值．
(1)若函数 1( ) = ln( + 1) ( ≥ 1)，试判断 1( )是否是区间(1, + ∞)上的“抛物线型函数”；
(2)若 2( ) = 3 3 2是区间( 1, )上的“抛物线型函数”，求实数 的取值范围；
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(3)若函数 3( ) = (1 +1) + ，求证： 3( )是区间(0, + ∞)上的“抛物线型函数”，并求 3( )在区
间(0, + ∞)上的峰值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.300
13. 2 (答案不唯一)
14. 516
2 2
15.解：(1) 2由椭圆 ： 2 + 2 = 1 经过点 (2,1)，且 的离心率 = 2 ，
4 1
2 + 2 = 1
可得 2 ，且
2 = 2 2，解得 2 = 3， 2 = 6，
= 2

2 2
所以椭圆 的方程为 6 + 3 = 1；
(2)解：若 斜率不存在，则 ： = 2， 与椭圆相交，不符合题意，故 斜率存在，
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 1 = ( 2)，即 = 2 + 1，
= 2 + 1
联立方程组 2 2 ，整理得(2 2 + 1) 2 (8 2 4 ) + 8 2 8 4 = 0，
6 + 3 = 1
= (8 2 4 )2 4(2 2 + 1)(8 2 8 4)，
因为直线 与椭圆 相切，所以 = 0，
整理得 2 + 2 + 1 = ( + 1)2 = 0，解得 = 1，
所以 的方程为 1 = ( 2)，即 + 3 = 0．
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16.(1)证明：因为 1 1 ⊥平面 1 1 ， 平面 1 1 ，所以 ⊥ 1 1，
又 ⊥ 1 ， 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1， 1 平面 1 1 ，
所以 ⊥平面 1 1 ；
(2)解：由长方体可知 ， ， 1两两垂直，以 为坐标原点，
向量 ， ， 1分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 = 1， = 2， 1 = 2，
则 1(0,0,2)， (0,0,0)， (0, 2, 0)， (1, 2, 0)， 1(1,0,2)，
设 (0, 2, )，
= (1, 2, 0)， = (0, 2, )， 1 = (0, 2, 2)， 1 = ( 1, 2, 2)，
因为 ⊥ 1 ，可得 1 = 0，
即 0 × 0 + 2 × 2 2 = 0，
解得 = 1，所以 = (0, 2, 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
有 ， = 2 + = 0
令 = 1，可得 = ( 2, 1, 2)，
1 = 1 × 2 + 2 × ( 1) + ( 2) × 2 = 4 2，| 21 | = ( 1) + ( 2)2 + ( 2)2 = 7，
| | = ( 2)2 + ( 1)2 + ( 2)2 = 5，
设直线 1 与平面 所成角为 ，

cos < >= 1
= 4 2 4 70所以 1 ， | 1 | | | 7 5
= 35 ，
所以 = |cos < 1
4 70
， > | = 35 ，
所以直线 4 701 与平面 所成角的正弦值为 35 ．
17.解：(1)根据题意，样本数据为 40，48，42，46，50，46，52，43，48，45，

= 40+48+42+46+50+46+52+43+48+45则其平均数 10 = 46，
易知样本数据中有 6 个小于等于平均数，4 个大于平均数，
所以 的所有可能取值为：0，1，2，3；
3
( = 0) = 6 = 1，
310 6
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2 1
( = 1) = 6 4 1
3
= ，
10 2
1 2
( = 2) = 6 43 =
3
10 10
，
3
( = 3) = 4 = 1，
310 30
所以 的分布列为：
0 1 2 3
1 1 3 1
6 2 10 30

(2) 4 2由(1)知：每个样本千粒重大于 的概率为10 = 5，

设 20 个样本中千粒重大于 的样本个数为 ，
由题意可知： (20,0.4)，
所以 ( = ) = 20 × (0.4) × (0.6)20 ，

设千粒重大于 的样本最有可能是 ，
则 × (0.4) × (0.6)20 +120 ≥ 20 × (0.4) +1 × (0.6)19 ，①，
20 × (0.4) × (0.6)20 ≥ 1 × (0.4) 120 × (0.6)21 ，②，
≥ 7.4
联立①②可得 ≤ 8.4，
故 = 8，

所以千粒重大于 的样本最有可能是 8 个．
18. +1 2 解：数列{ }满足 1 = 1, = 1． +1
+1 +1 1+2 +1
(1) 1证明：因为 +1 = = 2，且 + 1 = 2 +1 +1
，
1

所以{ + 1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列．
(2) 由(1)得： + 1 = 2
= 2
1，

2
所以 =

= (2 1) = 2 ．
设 = 1 21 + 2 22 + 3 23 + + 2 ，
则 2 2 3 = 1 2 + 2 2 + + ( 1) 2 + 2 +1，
= 21 + 22 + 23 + + 2 2 +1 = 2(1 2
)
两式相减得： 1 2 2
+1 = (1 ) 2 +1 2．
所以 = ( 1) 2 +1 + 2．
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所以 = ( 1) 2 +1 + 2 (1 + 2 + … + ) = ( 1) 2 +1 + 2
( +1)
2 ．
(3)由(1) 知： = 2 1，
2( +1) +2
若存在 ∈ ，使得 ， +1， +2成等差数列，则 2 +1 = + +2，即2 +1 1 = 2 1+ 2 +2 1．
2( + 1)(2 1)(2 +2 1) = (2 +1 1)(2 +2 1) + ( + 2)(2 +1 1)(2 1)．
2( + 1)(2 1)(4 2 1) = (2 2 1)(4 2 1) + ( + 2)(2 2 1)(2 1)
(4 2 ) (2 )2 ( + 4) 2 = 0．
因为2 > 0，所以(4 2 ) 2 = + 4．
若 = 2，则 0 = 6 不成立；
若 ≠ 2 +4，则2 = 4 2 ，由2
> 0 4 2 > 0 < 2，又因为 ∈ 5，得 = 1，此时 2 = 2不成立．
所以方程(4 2 ) (2 )2 ( + 4) 2 = 0， ∈ 无解．
即不存在 ．
19.解：(1)因为 1( ) = ln( + 1) ( ≥ 1)，
2
所以 1′( ) =
1 +1
+1 2 = 2 ，
( ) = 2 设 +1 ，
则 ′( ) = 1 ( +1)2 ，
当 > 1 时，可得 ′( ) < 0，
则函数 ( )在区间(1, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) < (1) = 1 ，
又因为 ≥ 1，所以 1 ≤ 0，
所以 1′( ) < 0，
所以 1( )在区间(1, + ∞)上单调递减，
不满足“抛物线型函数”的定义，
故 1( )不是是区间(1, + ∞)上的“抛物线型函数”；
(2)因为 2( ) = 3 3 2，所以 ′2( ) = 3 2 6 ，
当 = 0 时， 2( ) = 3 2，
所以函数 2( )在区间( ∞,0)上单调递增，在区间(0, + ∞)上单调递减，
但区间( 1, )为( 1,0)，
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所以 2( )在区间( 1,0)上单调递增，不满足题意；
当 ≠ 0 时，令 ′2( ) = 0，
即 3 2 6 = 3 ( 2) = 0，
= 0 = 2得 或 ，
若 > 0，当 ∈ ( ∞,0)时， ′2( ) > 0，
函数 2( )在区间( ∞,0)上单调递增，
当 ∈ (0, 2 )时， ′2( ) < 0，
2
函数 2( )在区间(0, )上单调递减，
当 ∈ ( 2 , + ∞)时， ′2( ) > 0，
函数 2( )
2
在区间( , + ∞)上单调递增，
若 2( ) = 3 3 2是区间( 1, )上的“抛物线型函数”，
则 ≤
2
，即 0 < ≤ 2，解得 0 < < 1；
1 < 0 < 1
若 < 0，当 ∈ ( ∞, 2 )时， ′2( ) < 0，函数
2
2( )在区间( ∞, )上单调递减，
∈ ( 2当 , 0)
2
时， ′2( ) > 0，函数 2( )在区间( , 0)上单调递增，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′2( ) < 0，函数 2( )在区间(0, + ∞)上单调递减，不存在( 1, )，
使得 2( )在区间( 1, )上先增后减，故不满足题意．
综上，实数 的取值范围为(0,1)；
(3)证明：因为 +13( ) = (1 ) + ，
所以 ′3( ) = 1 +
1
( + 1)
+1 = ( + 1)( 1 +1 )，
设 ( ) = 1 +1 ，
1
则 ( ) = +1 在区间(0, + ∞)单调递减，
1 1
且 ( 2 ) =
2 2+1 > 0, (1) = 1 2 < 0，
所以存在 0 ∈ (
1
2 , 1)，使得 ( 0) = 0，
当 ∈ (0, 0)时， ( ) > 0， ′3( ) > 0， 3( )单调递增，
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ( ) < 0， ′3( ) < 0， 3( )单调递减，
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所以 3( )是区间(0, + ∞)上的“抛物线型函数”，
由 ( 10) =
0+1 = 0 1，得 0+1
0
= ，
0
两边取以 为底的对数，得 0 = 0 1，
1
所以 +13( 0) = 0(1 0 ) + 0 = 0(1 ) 0 1 = 2，0
即 3( )在区间(0, + ∞)上的峰值为 2．
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