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重庆市辅仁中学校2024-2025学年七年级下学期期中质量监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图中和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算的结果，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．两条线段可以组成一个三角形 B．a为实数，
C．早上的太阳从西方升起 D．打开电视机，正在播放兴义市天气预报
4．如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的数学根据是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
5．在中，，则为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
6．如图，，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）

A． B． C． D．
8．从边长为的大正方形纸板挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，与的平分线交于点，且，，则与的数量关系可表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．如图，，是边长为的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中恰好能形成，则使得是等腰三角形的概率是 ．
二、填空题
12．“华为”已经实现14纳米中国芯的量产，14纳米等于0.000014毫米，则数据0.000014用科学记数法表示为 ．
13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若，则∠1的度数为 ．
14．若一个三角形的两边长分别是2和3，第三边的长为奇数．则第三边的长为 ．
15．已知2x+1＝16，则x的值是 .
16．如图，在三角形ABC中，点D是AC边上一点，且BD⊥AB，若∠A=25°，∠C=42°，则∠DBC的度数为 ．
17．已知，，则的值为 ．
18．一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“凤鸣数”．若一个“凤鸣数”为，则这个数为 ；将“凤鸣数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除，且为整数，则满足条件的M的最大值为 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．先化简，再求值：
，其中．
21．如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．
(1)如图1，转到数字5是__________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”）
(2)求小明转出的数字小于7的概率．
(3)小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？
22．如图，在中，，，过点C作，连接．
(1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图疯迹）；
(2)求证：．
解：∵，
∴________
∵
∴
在和中
∴，
∴（_______）
23．如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E．
(1)求的度数；
(2)过点D作，交的延长线于点F，求的度数．
24．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个。

(1)用两个这样的小长方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式________；
(2)用四个相同的小长方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式、、之间的等量关系式：________；
(3)根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
①若，，求；
②若，，求．
25．如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点，．

(1)求证：；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，已知，则______（直接写出结果）．
26．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索：

(1)如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线上，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图2，在中，，，过点作直线，于点，于点，若，，请直接写出的面积 ；
(3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并证明你的结论．
重庆市辅仁中学校2024-2025学年七年级下学期期中质量监测数学试题参考答案
1．A
【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项A中的和是对顶角，
故选A．
2．A
【详解】解：=．
故选A．
3．B
【详解】解：A、两条线段可以组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意；
B、a为实数，，是必然事件，符合题意；
C、早上的太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；
D、打开电视机，正在播放兴义市天气预报，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
4．D
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故选：D．
5．A
【详解】解：∵，
∴，
∴为锐角三角形．
故选：A．
6．A
【详解】解：，，
，
．
故选：A．
7．C
【详解】解：∵，点D，E分别是，的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：C．
8．D
【详解】图甲中阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，
∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，
∴可以验证成立的公式为．
故选：D．
9．A
【详解】解：与的平分线交于点，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得，
故选：A．
10．C
【详解】解：和都是等边三角形，
，，，
，
即：，
，
，故结论正确，
，
，
即：，
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，故结论正确，
又，
是等边三角形，
，
，
，故结论正确，
，
，故结论正确，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，故结论不正确，
综上，正确的结论有，共个，
故选：．
11．
【详解】解：在的网格中共有个格点，除开和共线的2个点与自身两个点，构成三角形的有个，
如图，使得是等腰三角形的格点有个，
故使得三角形面积为的概率为，
故答案为：．
12．
【详解】．
故答案为：．
13．48°
【详解】解：如图，过点作，
，
长方形纸片ABCD，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．3
【详解】解：由题意知，第三边x的范围是：，即，
∵第三边长是奇数，
∴第三边是3，
故答案为：3．
15．3
【详解】解：∵＝16，
∴＝，
∴，
∴．
故答案为3．
16．
【详解】解：在三角形ABC中，
∠A=25°，∠C=42°，
，
，
，
，
故答案为：．
17．
【详解】解：
，
∵，，
∴原式，
故答案为：．
18． 3254 8631
【详解】解：∵是一个“凤鸣数”，
∴，
解得：，
∴这个数为3254；
由题意知，，，
根据“凤鸣数”的定义， 则，
∴．
∵N能被9整除，
∴能被9整除，
∵互不相等且均不为0，
∴．
由以上可知，
∵能被13整除，
∴能被13整除，
∵，
∴能被13整除， 则．
∵取最大值， 则．
即．
故答案为： 3254，8631．
19．(1)3
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）
．
20．，
【详解】解：原式
∵，且，
∴，
∴，
∴，
将，代入上式得
原式
．
21．(1)随机
(2)
(3)她的看法对，理由见解析
【详解】（1）解：如图1，转到数字5是随机事件，
故答案为：随机；
（2）解：图1被平均分成9等份，分别标有9个数字．即共有9种等可能的情况，
其中转出的数字小于7的情况有6种，
则小明转出的数字小于7的概率是；
（3）解：她的看法对，理由如下：
图2绿色部分的扇形圆心角是，
则图2红色部分的扇形圆心角是，
所以转出的颜色是红色的概率是，
所以小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．
22．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图：即为所求；
（2）解：∵
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵
∴
在和中
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
23．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又平分，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又，
∴．
24．(1)
(2)
(3)①33；②40
【详解】（1）解：图1中，由图可知，，
由题意得，，
即，
故答案为：；
（2）图2中，由图可知 ，
由题图可知，，
即，
故答案为：；
（3）①，，
；
②，，
．
25．(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：如图所示，过B点作，

∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过B点作，过F点作，

则，
∴，，
∵，是的角平分线，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
即的度数为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，，
∴，
∴．
故答案为：．
26．(1)
(2)30
(3)
【详解】（1）解：，
证明：∵、和都是直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∴．
（3）解：，
证明：过作交的延长线于点，如图：
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
即．

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