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2024-2025 学年天津市小站一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1 2 .设 为虚数单位，则复数 = 1+ 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = (1, )， = ( 2,3)，且 ⊥ ，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 33 2 D. 6
3.如图，已知等腰三角形 ′ ′ ′是一个平面图形的直观图， ′ ′ = ′ ′，斜边 ′ ′ = 2，则
这个平面图形的面积是( )
A. 2 2 B. 1
C. 2 D. 22
4.已知 、 表示两个不同的平面， 、 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A. ⊥ ， ， ⊥ B. ⊥ ， ⊥
C. // ， ， // D. ⊥ ， ⊥ ， //
5.已知棱长为 2 的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为( )
A. B. 2 C. 4 D. 12
6.一圆锥的侧面展开图是半径为 4 的半圆，则该圆锥表面积为( )
A. 12 B. 4 C. 8 2 D. 16 3 3
7.一个人骑自行车由 地出发向正东方向骑行了 2 到达 地，然后由 地向南偏东 30°方向骑行了 2 到
达 地，再从 地向北偏东 30°方向骑行了 8 到达 地，则 ， 两地的距离为( )
A. 2 19 B. 5 3 C. 2 83 D. 6
8.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 为 1 1的中点，那么直线 与 1 1所成角的余弦值是( )
A. 3 B. 10 3 42 10 C. 5 D. 5
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9.如图所示，在△ 1中， = ， = 3 ，若 = ， = ，则 2 =( )
A. 13 +
1 3
B. 12 +
1 4
C. 12 +
1 4
D. 1 + 1 3 3
10.庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，
如图(1)所示. 3现有如图(2)所示的庑殿顶式几何体 ，其中正方形 边长为 3， // , = 2，
且 到平面 的距离为 2，则几何体 的体积为( )
A. 27 9 5 154 B. 4 C. 2 D. 2
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11 1+3 .若 是虚数单位，复数2 3 = ______．
12.已知平面向量 , | | = 2, | | = 1 满足 ，且 与 的夹角为3，则| +
| =______．
13.一个底面积为 1 的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为 20 ，
则该四棱柱的高为______．
14.如图，在空间四边形 中， = = 4 且 与 所成的角为 60°， ，
分别是 ， 的中点，则 ______．
15.已知向量 ， 的夹角为 30°，| | = 2，| | = 3，则| 2 | = ______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
设复数 = 2 + 2 + ( 2 7 + 6) ，其中 为虚数单位， ∈ ．
(1)若 是纯虚数，求实数 的值；
(2)在复平面内表示复数 的点位于第四象限，求实数 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点．
(1)求证： 1//平面 ；
(2)求证： 1 ⊥ ．
18.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 3 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3， = 2 ，求 ， 的值．
19.(本小题 15 分)
3
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 = 5， = 11， = 5．
(1)求 的值；
(2)求△ 的面积；
(3)求 sin( )的值．
20.(本小题 15 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， = = = 1， 是 的中点．
(Ⅰ)求证： 1 //平面 1 ；
(Ⅱ)求证：平面 1 ⊥平面 1 1；
(Ⅲ)求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.1 +
12. 7
13.3 2
14.2 或 2 3
15.2
2
16.解：(1)若 是纯虚数，则 + 2 = 0 ，
2 7 + 6 ≠ 0
解得 = 2．
2
(2)由题意知 + 2 > 0
2
，解得 1 < < 6，
7 + 6 < 0
所以实数 的取值范围为(1,6)．
17.证明：(1)连接 与 交于点 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ 为 中点，又 为 1中点，
∴ // 1，又 平面 ， 1 平面 ，
∴ 1平面 ；
(2)在正方体 1 1 1 1中，
∵ 1平面 ，又 平面 ，
∴ 1 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ 1 = ，
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∴ ⊥平面 1，又 1 平面 1，
∴ 1 ⊥ ．
18.解：(1) ∵ = 3 ，
由正弦定理可得 = 3 ，
即得 = 3，
由于：0 < < ，
∴ = 3．
(2) ∵ = 2 ，
由正弦定理得 = 2 ，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
9 = 2 + 4 2 2 2 3，
解得 = 3，
∴ = 2 = 2 3．
19.解：(1)在△ 中，因为 = 5， = 11， = 35，
所以由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
得 = 52 + 112 2 × 5 × 11 × 35 = 4 5；
(2) 3在△ 中，因为 = 5， = 11， = 5，
则 ∈ (0, 2 )， = 1 cos
2 = 45，
1
所以△ 的面积 = 2 =
1
2 × 5 × 11 ×
4
5 = 22；
(3) △ 在 中，由正弦定理 = ，
可得 = =
5 4 5
4 5 × 5 = 5 ，
= 5 < 4 5 = ，所以 < ，
又 ∈ (0, )， = 1 sin22 =
2 5
5 ，
所以 sin( ) = = 5 35 × 5
2 5 × 4 = 55 5 5 ．
20.(Ⅰ)证明：连接 1 交 1于点 ，连接
在正三棱柱 1 1 1中， = 1，∴侧面 1 1 是正方形，
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则点 是 1的中点，
又点 是 的中点，故 是△ 1 的中位线，∴ // 1 ，
又 1 平面 1 ， 平面 1 ，∴ 1 //平面 1 ；
(Ⅱ)证明：∵ 1 ⊥平面 ，∴ 1 ⊥平面 ，可得 1 ⊥ ，
又 = ， 为 的中点，∴ ⊥ ，
而 1 ∩ = ，∴ ⊥平面 1 1，
∵ 平面 1 ，∴平面 1 ⊥平面 1 1；
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，平面 1 ⊥平面 1 1，
又 1 ∩平面 1 1 = 1 ，
在平面 1 1中，过 作 ⊥ 1 ，可得 ⊥平面 1 ，连接 ，
∴ ∠ 为直线 与平面 1 所成角，
设 = = = 1 = 2，在 △ 1 中，求得 =
2 5，
5
2 5
∴ sin∠ = = 5 = 5，即直线 与平面 1 所成角的正弦值为
5．
2 5 5
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