资源简介

2024-2025 学年福建省福州市八县市联盟校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若C2 = C3 520 20 ，则实数 的值为( )
A. 5 B. 3 C. 10 D. 5 或 3
2.2025 年福清市元宵晚会共有 3 个语言类节目，2 个杂技魔术类节目，5 个歌舞类节目，假设从中依次不
放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言
类节目的概率为( )
A. 2 3 1 13 B. 5 C. 5 D. 3
3.函数 ( ) +3 在 = 0处可导，若 lim 0 0 = 1，则
′( 0) =( ) →0
A. 1 B. 13 C. 3 D. 1
4 1.离散型随机变量 的概率分布规律为 ( = ) = ( +1) ( = 1,2,3)，其中 是常数，则 3 < < 3 等于( )
A. 2 B. 89 9 C. 1 D.
4
9
5.近几年，网购已逐渐成为透视消费市场和经济发展的一扇窗户.小米直播间共有 8 位主播(3 男 5 女)，现
需安排两人分别担任“主推官”和“推荐官”，要求：主推官和推荐官必须由不同性别的主播担任，且小
李(男)和小红(女)至少有一人被选中，则不同的安排方案有( )
A. 18 B. 24 C. 14 D. 30
6.定义 ( ) = ′( )的实数根 叫函数 ( )的“躺平点”.若函数 ( ) = e 2 ， ( ) = 2024 + 2024，
( ) = ln 的“躺平点”分别为 , , ，则 , , 大小为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.已知函数 ( ) = 4 3 2 + 3 在[0,2]上的最大值为 3，则实数 的范围是( )
A. (0,8) B. [12, + ∞) C. [8,12) D. [8, + ∞)
8.随着互联网的发展， 的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、
1 1 1 1的概率均为3，而使用文心一言、豆包、 出错的概率分别为4、5、6，结果今天他的报告
有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为( )
A. 3 B. 125 37 C.
15
37 D.
4
5
第 1页，共 9页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 2

.已知二项式 展开式的二项式系数的和为 64，则( )
A. = 6 B. = 8

C. 2 2 展开式常数项为 160 D. 展开式中各项系数和为 1
10.随机变量 分布列如下表，下列说法正确的是( )


A. ( ) ≥ 12 B. + = 1 C. ( ) ≤
1
16 D. ( ) ≤ ( )
11.函数 ( ) = 3 + 3 + 2 存在 3 个零点，则实数 的取值可以是( )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = 3sin + cos ， ∈ [0,2π)，若 ′( ) = 1，则 = ．
13.某校“星火”与“冲锋”两支排球队采用五局三胜制比赛，“星火”队获胜的概率为 0.4，且每轮比赛
都分出胜负，则“星火”队不超过四局获胜的概率为 ．
14.某市青少年机器人编程大赛进入决赛阶段，共有 10 支队伍参赛，其中 4 支队伍由女生主导(记为 组)，
6 支队伍由男生主导(记为 组).组委会通过随机抽签决定决赛展示顺序．设事件 为“第 1 个进行展示的队
伍来自 组”，事件 为“第 2 个进行展示的队伍来自 组”.则 ( ) = ， ( ∪ ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
在( + 2 )
6的展开式中，求．
(1)含 2项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项．
16.(本小题 15 分)
某社区随机调查了 100 名居民的每日睡眠时长(小时)，得到如图所示的频率分布直方图．
第 2页，共 9页
(1)求该 100 名居民的每日睡眠时长的第 50 百分位数(保留两位小数)；
(2)为进一步调查睡眠质量，采用分层抽样从每日睡眠时长在[2,4), [4,6), [8,10)内的居民中抽取 10 人，再从
中任选 3 人进行调查，求抽到每日睡眠时长在[4,6)内的调查人数 的分布列和数学期望．
17.(本小题 15 分)
设 ( ) = ( 7)2 + 12ln ( ∈ ),曲线在(1, (1))处的切线与 轴交于点(0,12)．
(1)求 的值；
(2)求函数 ( )的极值．
18.(本小题 17 分)
甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答
正确的概率为 (0 < < 1)，回答错误的概率为 1 ，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确
的概率不受其他轮次结果的影响．
(1) = 1当 3时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得 5 分，失败者得 2 分；
方案二：最终获胜者得 3 分，失败者得 0 分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
19.(本小题 17 分)
在计算机图形学中，若某曲线在 ∈ (0, + ∞)内具有“单侧光反射”特性(即存在一条基准线，曲线在该区间
内始终上升，并且与基准线在某一点处相切)，则称该曲线为“光洁曲线”.曲线对应的函数 ( )为“光洁函
数”，即函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，此时称 ( ) = ( )为“超光洁函数”．
(1)若 ( ) = 2 ln + 4是“超光洁函数”，求 的取值范围；
(2)已知光洁曲线 = e 1 的一条基准线 与曲线 = ln + 1 相切，求 的方程；
(3)若 ( ) = 2e 2ln 2， > 0， > 0， > 0.证明： ( ) + ( ) + ( ) < ( + + ). (可用结论：
当 → 0+时， 2ln → 0)
第 3页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3π2
13.0.1792
14.25或 0.4
2
； 3
5
15. 6 2解：(1)由题知展开式的通项为 3 +1 = C6 2 = C6 2 2 ， = 0,1,2, , 6，
5
令 3 2 = 2，解得 = 2，
所以展开式中含 2项为 = C2 23 6 2 2 = 60 2，
所以展开式中含 2项的系数为 60．
(2) 5令 3 2 ∈ Z， = 0,1,2, , 6
∴ = 0,2,4,6
当 = 0 时， 31 = ,
当 = 2 时， 2 2 2 23 = C6 2 = 60 ,
当 = 4 时， = C4 45 6 2 7 = 240 7,
当 = 6 时， 7 = C66 26 12 = 64 12.
综上所述，展开式中所有的有理项分别为 3, 60 2, 240 7, 64 12.
16.解：(1)由题意得(0.015 + 0.030 + + 0.030 + 0.005) × 2 = 1
所以 = 0.42.
第 4页，共 9页
所以该 100 名居民的每日睡眠时长的第 50 百分位数：
法 1：因为：(0.015 + 0.03) × 2 < 0.5, (0.015 + 0.03 + 0.42) × 2 > 0.5
所以 50%分位数一定位于[6,8)内，
0.5 0.09
由 6 + 2 × 0.42×2 ≈ 6.98(小时)，
法 2：由题意得(0.015 + 0.030 + + 0.030 + 0.005) × 2 = 1
所以 = 0.42.
所以该 100 名居民的每日睡眠时长的第 50 百分位数：
设第 50 百分位数为 ，则 0.09 + ( 6) × 0.42 = 0.5，
解得 ≈ 6.98
(2)每日睡眠时长在[2,4), [4,6), [8,10)内居民人数的频率分别为 0.03,0.06,0.06，
所以采用分层抽样从每日睡眠时长在[2,4), [4,6), [8,10)内的居民中抽取 10 人中每日睡眠时长在
[2,4), [4,6), [8,10) 3内居民人数分别为15 × 10,
6
15 × 10,
6
15 × 10，即人数分别为 2，4，4，
所以 可取 0，1，2，3
0 3 1 2
( = 0) = C4C6 = 13 6， ( = 1) =
C4C6
3 =
1
，
C10 C10 2
2 1 3 0
( = 2) = C4C6 = 3， ( = 3) = C4C6 = 1，
C310 10 C
3
10 30
所以 的分布列为
0 1 2 3
1 1 3 1
6 2 10 30
数学期望 ( ) = 0 × 1 1 3 16+ 1 × 2 + 2 × 10 + 3 × 30 =
6
5 .
17.解：(1)由 ( ) = ( 7)2 + 12ln ( ∈ ) 12，得 ′( ) = 2 ( 7) + .
令 = 1，则 (1) = 36 , ′(1) = 12 12 .
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 36 = (12 12 )( 1).
∵点(0,12)在切线上，可得 12 36 = 12 12.解得 = 12．
(2)由(1)知 ( ) = 12 ( 7)
2 + 12ln ,且 ( )的定义域为(0, + ∞)，
2
则 ′( ) = ( 7) + 12 = 7 +12 = ( 3)( 4) .
令 ′( ) = 0 解得 1 = 3, 2 = 4.
第 5页，共 9页
则 、 ′( )、 ( )的变化情况如下：
(0,3) 3 (3,4) 4 (4, + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 8 + 12ln3 9+ 12ln4
单调递增 单调递减 2 单调递增
所以 ( )在(0,3)和(4, + ∞)上单调递增， ( )在(3,4)上单调递减；
所以 ( ) 9的极大值为 (3) = 8 + 12ln3， ( )的极小值为 (4) = 2 + 12ln4．
18.解：(1)记“甲最终以 2: 1 获胜”为事件 ，记“甲最终以 2: 0 获胜”为事件 ，“甲最终获胜”为事件
于是 = ∪ ， 与 为互斥事件，
由于 ( ) = C12 (1 ) =
4
27，
2 1 ( ) = = 9
7 7
则 ( ) = ( ) + ( ) = 27，即甲最终获胜的概率为27．
(2)由(1)可知， ( ) = ( ) + ( ) = 3 2 2 3
若选用方案一，记甲最终获得积分为 分，则 可取 5,2
( = 5) = ( ) = 3 2 2 3, ( = 2) = 1 3 2 + 2 3
则 的分布列为：
2
5
3 2 2 3 1 3 2 + 2 3
则 ( ) = 15 2 10 3 + 2 6 2 + 4 3 = 6 3 + 9 2 + 2
若选用方案二，记甲最终获得积分为 分，则 可取 3，0
( = 3) = ( ) = 3 2 2 3, ( = 0) = 1 3 2 + 2 3
则 的分布列为：

3 0
3 2 2 3 1 3 2 + 2 3
第 6页，共 9页
则 ( ) = 9 2 6 3
所以 ( ) ( ) = 2
答：方案一始终更优
19. ( )解：(1)方法一：设 ( ) = = ln +

4 ，

1 24
1
则 ′( ) = 1 4 2 = 2 ，
由题意可知 ′( ) ≥ 0 恒成立，
故 2 14 ≥ 0 在 ∈ (0, + ∞)上恒成立，
2
即 1 1 12 4 4 ≥ 0 在 ∈ (0, + ∞)上恒成立，
1 1
故 4 4 ≥ 0，解得 ≤ 1，
( ) = ( )方法二：设 = ln +

4 ，
2
则 ′( ) = 1 1 4 2 =
4 4
4 2 ，
由题意可知 ′( ) ≥ 0 恒成立，
故 4 2 4 ≥ 0 在 ∈ (0, + ∞)上恒成立，
即 ≤ 4 2 4 = 4( 1 )22 1，在 ∈ (0, + ∞)上恒成立，
≤ (4 2 4 )min = 1，
(2)方法一：设直线 与曲线 = e 1 相切于点 , e 1 ，直线 的斜率为 ，
因为 ′ = e ，则 = e ，
设直线 与曲线 = ln + 1 相切于点 , ln + 1 ，
1 1
因为 ′ = ，则 = ，

e = 1 = ln e +2因此有 ，
整理得( 1) e 1 = 0，解得 = 1 或 = 0，
当 = 1 时， 的方程为 = e 1，
当 = 0 时， 的方程为 = ，
方法二：设直线 与曲线 = e 1 相切于点 , e 1 ，
则 = e ， : = e + e e 1，
第 7页，共 9页
设直线 与曲线 = ln + 1 相切于点 , ln + 1 ，
则 = 1 1 ， : = + ln ，
e = 1
所以 ,
e e 1 = ln
整理得( 1) e 1 = 0，解得 = 1 或 = 0，
当 = 1 时， 的方程为 = e 1，
当 = 0 时， 的方程为 = ，
(3) ( ) = ( ) = 2e
2ln 2
方法一：设 ，

′( ) = 2e 2 ln 2e
2ln 2 2( 1)e 2ln 2+2
则 2 = 2 ，
令 ( ) = 2( 1)e 2ln 2 + 2，
则 ′( ) = 2 e 2 ln 3 = 2 e ln 32 ，
( ) = ln + 1 ′( ) = 1 1 = 1 设 ，则 ，
当 > 1 时， ′( ) < 0，函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) = ln + 1 ≤ (1) = 0，
故 ln ≤ 1，当且仅当 = 1 时取等号，
设 ( ) = e 1，则 ′( ) = e 1，
当 > 0 时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 < 0 时， ′( ) < 0，函数 ( )在( ∞,0)上单调递减，
所以 ( ) = e 1 ≥ (0) = 0，
故e ≥ + 1，当且仅当 = 0 时取等号，
3 3 1
所以e ln 2 ≥ + 1 ( 1) 2 = 2 > 0，即
′( ) > 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，又 → 0+时， 2ln → 0，
所以 → 0+时， ( ) → 0，所以 ( ) > (0) = 0，
( )所以 ′( ) > 0,即 ( ) = 在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ( + + ) > ( ) ( + + ) ( )，即 + + > ，
第 8页，共 9页
( ) < ( + + ) ( ) < ( + + )所以 + + ，同理 + + ， ( ) <
( + + )
+ + ，
累加可得 ( ) + ( ) + ( ) < ( + + )，
即 ( ) + ( ) + ( ) < ( + + )，
方法二： ′( ) = 2e 2 ln ，
令 ( ) = 2e 2 ln ，则 ′( ) = 2e 2ln 3 = 2 e ln 32 ，
设 ( ) = ln + 1 1 1 ，则 ′( ) = 1 = ，
当 > 1 时， ′( ) < 0，函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) = ln + 1 ≤ (1) = 0，
故 ln ≤ 1，当且仅当 = 1 时取等号，
设 ( ) = e 1，则 ′( ) = e 1，
当 > 0 时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 < 0 时， ′( ) < 0，函数 ( )在( ∞,0)上单调递减，
所以 ( ) = e 1 ≥ (0) = 0，
故e ≥ + 1，当且仅当 = 0 时取等号，
所以e ln 32 ≥ + 1 ( 1)
3
2 =
1 ′
2 > 0，即 ( ) > 0，
所以 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
令 ( ) = ( + ) ( ) ( )， > 0，
则 ′( ) = ′( + ) ′( )，又 ′( )单调递增，
所以 ( ) > 0，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
又当 → 0+， 2ln → 0，
所以 → 0+时， ( ) → 0， ( ) → 0，
所以 ( ) > 0，即 ( + ) > ( ) + ( )，
所以 ( + ) > ( ) + ( )，
所以 ( + + ) > ( ) + ( + ) > ( ) + ( ) + ( )，
即 ( ) + ( ) + ( ) < ( + + )．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑