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2024-2025 学年甘肃省酒泉市四校联考高二下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = e ，则 ′(3) =( )
A. 3e3 B. 4e3 C. 2e3 D. 4e2
2.已知点 (3,2,4)， (4,5,7)，则 =( )
A. 19 B. 10 C. 19 D. 10
3.已知空间向量 = ( , 1,1)， = (2,2, 1)，若 ⊥ ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 1 12 D. 2
4 .已知函数 ( ) = 1，则曲线 = ( )在点 2, (2) 处的切线方程为( )
A. 4 = 0 B. + 4 = 0 C. + + 4 = 0 D. + 4 = 0
5.已知平面 的一个法向量为 = (1,1,1)，点 在 外，点 在 内，且 = (1, 2, 2)，则点 到平面
的距离为( )
A. 33 B. 3 C.
6
2 D. 6
6.在空间直角坐标系 中， = ( 1,2,1)， = (1,1,2)， = (2,1,1)，点 在直线 上运动，则
的最小值为( )
A. 32 B.
2 C. 3 D. 23 2 3
7.已知函数 ( ) = ( + )2在 = 2 处有极大值，则 =( )
A. 6 B. 2 C. 2 D. 6
8 ( ) = ln , > 0,.设函数 e ( + 1), ≤ 0,若函数 ( )的图象与直线 = 有两个交点，则实数 的取值范围是( )
A. (1, + ∞) B. 1e2 , 0
C. 1e2 , 0 ∪ (1, + ∞) D. (0,1]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平行六面体 1 1 1 1中， = = 1 = 2，∠ 1 = ∠
π
1 = ∠ = 3， 1 1与 1 1
交于点 .设 = ， = ， 1 = ，则下列说法正确的有( )
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A. 1 = + + B. =
1 1 2 2 +
C. 1 = 8 D. 与
π
1的夹角为2
10.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且函数 ′( )的图象如图，则以下结论正确的有( )
A.函数 ( )在区间(2,4)上单调递减 B.函数 ( )在区间(1,3)上单调递减
C.当 = 12时，函数
′( )有极大值 D.当 = 2 时，函数 ( )有极小值
11.已知函数 = 2 2 1，则下列说法正确的是( )
A.若曲线 = 在点 0, 0 处的切线方程为 = 2 ，则 = 1
B.若 = 1，则函数 在 0, + ∞ 上单调递增
C.若 > 2，则函数 在 1, + ∞ 上的最小值为 ln 1
D.若 ≥ 0，则 = 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = ′ π8 cos2 sin2 ，则
′ π
8 = ．
13.已知函数 ( ) = 2 2 + ln 在区间(0,2]上单调递增，则实数 的取值范围为 ．
14.已知空间三点 (0,2,3)， ( 2,1,6)， (1, 1,5)，则以 ， 为边的平行四边形的面积是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)如图，已知 , , , 分别为四面体 的棱 , , , 的中点，用空间向量法证明 , , , 四点共面．
(2)在平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为 的正方形，侧棱长为 ，∠ 1 = ∠ 1 =
120°.求异面直线 1与 所成角的余弦值．
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16.(本小题 15 分)
2
已知 ( ) = ln + 2 3 2e +4，曲线 = ( )在点 e, e 处的切线方程为 = e e
2 + 1．
(1)求实数 , 的值；
(2)若 ( ) = 312 4 ，求曲线 = ( )过点(2,4)的切线方程．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥平面 ， = = 2， 、 分别为 、
的中点．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求平面 和平面 的夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 + ．
(1)当 = 3 时，求 ( )的极值；
(2)若 > 0，求 ( )在区间[0,1]上的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)已知 ( )在[1,4]上的最小值为 2，求 的值；
(3)若 = 1，且 ( ) ≤ e 2 ，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 2 或 2 + 2
13.( ∞,4]
14.7 3
15.解：(1)证明：以 , , 为空间的一组基．
∵ , , , 分别为棱 , , , 的中点，
∴ = = 1 1 = 1 2 2 2 ，
= 1 2 +
， = 1 + 2 ．
∴ = = 1 + 2
1 + 2
= 1 ，∴ = 2 ．
∵ 平面 ， 平面 ，∴ /\ !/ ，∴ , , , 四点共面．
(2)解：以 , , 1 为空间的一组基，
= + ， 1 = + 1 = + 1．
∵ = = ， 1 = ，∠ = 90°，∠ 1 = ∠ 1 = 120°，
∴ = 0， 1 = 1 = cos120° =

2．
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∴ = + = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 = 2 ，
1 = + = 21 + 2 + 21 2 2 1+ 2 1 = 2 2 + 2．
∵ 1 = + + 1
= 2+ + 21 + 1
= 2 + 2 2 2 = ，

∴ cos , = 1 = 1 =

．
1 2 2 2+ 2 4 2+2 2
4
2+2 2
设异面直线 1与 所成角为 ，则 cos = cos , 1 = 4 2+2 2 ．
16.(1)解：由函数 ( ) = ln + 2 3 ，其中 > 0，可得 ′( ) = + 2 , > 0，
2e2+4
因为曲线 = ( )在点 e, e 处的切线方程为 = e e
2 + 1，
+ e22 3 = e2 + 5
可得 e = e2 + 5 ′ e = 2e +4，且 e ，即 2 ,
e + 2e =
2e +4
e
解得 = 4, = 13．
3
(2) 4解：由(1)知， ( ) = 3 + 3 , ∈ R，可得
′( ) = 2，
3
设切点为 0, 0 ，则切线的斜率 = 2

，故切线方程为 0 40 3 3 =
2
0 0 ，
3
因为切线过点(2,4)，所以 4 0 43 3 =
2
0 2 0 ，整理得 + 1 2 20 0 = 0，
解得 0 = 2 或 0 = 1，所以切点为(2,4)或( 1,1)，
此时，曲线 = ( )过点(2,4)的切线方程为 4 4 = 0 或 + 2 = 0．
17.解：(1)因为四棱锥 的底面 为正方形， ⊥平面 ，
所以 、 、 两两相互垂直．
以点 为坐标原点，分别以直线 、 、 为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则 (0,2,0)， (0,0,2)， (2,2,0)， (1,0,0)， (1,1,1)，
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所以 = (0,1,1)， = (2,0,0)， = (0, 2,2)， = ( 1, 2,0)．
因为 = 0 × 0 + 1 × ( 2) + 1 × 2 = 0，所以 ⊥ ，即 ⊥ ，
因为 = 0 × 2 + 1 × 0 + 1 × 0 = 0，所以 ⊥ ，即 ⊥ ．
又因为 、 平面 ， ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
(2)易知平面 的一个法向量为 = (0,0,1)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= + = 0
则 ,
= 2 = 0
令 = 1，得 = 2， = 1，
所以 = (2, 1,1)为平面 的一个法向量，
cos , = 因为 =
1 = 61× 6 6 ，
6
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 6 ．
18.解：(1) ∵当 = 3 时， ( ) = 2 3 3 2 + ，
′( ) = 6 2 6 = 6 ( 1)，
∴当 < 0 或 > 1 时， ′( ) > 0，当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，
∴ ( )在 = 0 处取得极大值，在 = 1 处取得极小值，
即 ( )极大值 = (0) = ， ( )极小值 = (1) = 1 + ；
(2) ∵ ( ) = 2 3 2 + ， ′( ) = 6 2 2 = 2 (3 )，
令 ′( ) = 0 ，解得 = 0 或 = 3，
当 > 0 时，则当 < 0 或 > 3时， ′( ) > 0，
当 0 < < 3时， ′( ) < 0，
∴ ( ) 的单调增区间为( ∞,0)，( 3 , + ∞)，单调减区间为(0, 3 )；

若3 ≥ 1，即 ≥ 3 时 ( )在[0,1]上单调递减，
∴ ( )在[0,1]上的最小值为 ( ) = (1) = 2 + ，
0 < 若 3 < 1，即 0 < < 3 时， ( ) (0,

在 3 )单调递减，在( 3 , 1)单调递增，
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3
∴ ( )在[0,1] 的最小值为 ( )min = ( 3 ) = 27 + ，
2 + , ≥ 3
∴ ( ) = 3 ． 27 + , 0 < < 3
19.解：(1)因为 ( ) = ln ， ∈ (0, + ∞)，所以 ′( ) = 1 ．
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0 恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递减．
当 > 0 1时，解 ′( ) = 0，得 = ，
当 ∈ 0, 1 ′( ) < 0 1 时， ，所以 ( )在 0, 上单调递减；
当 ∈ 1 , + ∞
1
时， ′( ) > 0，所以 ( )在 , + ∞ 上单调递增．
综上，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 0 1 1时， ( )在 0, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增．
(2)由(1)可知，
1
当 ≤ 4时， ( )在[1,4]上单调递减，所以 ( )在[1,4]上的最小值为 (4)．
由题意，得 (4) = 4 ln4 = 2 1+ln2 1，解得 = 2 > 4，则 ∈ ．
1
当4 < < 1
1
，即 ∈ [1,4]
1 1
时， ( )在 1, 上单调递减，在 , 4 上单调递增，
所以 ( )在[1,4] 1上的最小值为 ．
1 1
由题意，得 = 1 ln = 2，解得 = e > 1，则 ∈ ．
当 ≥ 1 时， ( )在[1,4]上单调递增，所以 ( )在[1,4]上的最小值为 (1)．
由题意，得 (1) = ln1 = 2，解得 = 2 > 1，则 = 2．
综上， 的值为 2．
(3)由已知，得 ≤ e ln ．
设 ( ) = e ln ， > 0，

则 ′( ) = (1 + )e 1 1 (1+ ) e 1 = ．
因为 > 0 1+ ，所以 > 0，所以
′( )的零点即函数 ( ) = e 1 在(0, + ∞)上的零点．
因为 ′( ) = ( + 1)e > 0 在(0, + ∞)上恒成立，所以函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
因为 (0) = 1， (1) = e 1 > 0，所以存在 0 ∈ (0,1)，使得 0 = 0，
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即 0e 0 1 = 0，则e 0 =
1
，所以 0 = ln 0．0
当 ∈ 0, 0 时， ( ) < 0， ′( ) < 0，所以 ( )在 0, 0 上单调递减，
当 ∈ 0, + ∞ 时， ( ) > 0， ′( ) > 0，所以 ( )在 0, + ∞ 上单调递增．
所以 ( )min = 0 =
1
0e 0 0 ln 0 = 0 0 + 0 = 1．0
由 ≤ e ln 恒成立，得 ≤ ( )min，
所以 ≤ 1，即 的取值范围是( ∞,1]．
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