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2024-2025 学年山东省青岛第二中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是虚数单位，复数 1在复平面内对应的点坐标为(1,3)， 2 = 1i，则 2的虚部为( )
A. B. i C. 1 D. 1
2.已知向量 与 是两个不平行的向量，若 // 且 // ，则 等于( )
A. 0 B. C. D.不存在这样的向量
3.在 3 1中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，已知 = 3， = 2 ，sin = 4，则角 =( )
A. π B. 2π C. π 2π π 5π3 3 3或 3 D. 6或 6
4.下列说法正确的是( )
A. 若 ， 是两条相交直线，且/平面 ，则 与 相交
B. 若 ， 是两条平行直线，且/平面 ，则 //
C.若 ， 是两条异面直线，与 ， 都相交的两条直线是异面直线
D.若 ， 是两条平行直线， ， 是两个不同的平面， ∩ = ， ， ，则 // ， //
5.已知点 为 的外心，且向量 = + (1 ) ， ∈ ，若向量 1在向量 上的投影向量为 4 ，
则 cos 的值为( )
A. 3 5 2 52 B. 5 C. 5 D.
1
2
6.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是( )
A. B. C. D.
7.若水平放置的平面四边形 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 ′ ′// ′ ′，
， ′ ′ = 1， ′ ′ = 2，则以原四边形 的边 为轴旋转一周得到的几何体的体积为( )
A. 14 2 + 8 B. 14 23 C.
32 40
3 D. 3
8 π 5π.已知函数 ( ) = sin ( > 0)，其图象相邻对称轴间的距离为2，若将其图象向左平移12个单位得到函数
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= ( ) π 2 4的图象.在钝角 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ( 2 ) = ( 2 6 )，则 + cos 的
取值范围是( )
A. [4 2, + ∞) B. [4 2, 6) C. (4 2, 6) D. (4 2, 6]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( ) = sin( + )( 其中 > 0， > 0，| | < 2 )的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.函数 ( ) π的最小正周期是 2π B. 6 = 1
C. ( ) [ π , π π函数 在 4 4 ]的值域是[ 2, 3] D.函数 ( )的图象关于直线 = 3对称
10 +1.已知 是复数，且 1为纯虚数，则( )
A. = 1

B. | |2 = | 2|
C. 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为 1 的圆
D. | 2 2 |的最小值为 2 2
11.在直平行六面体 1 1 1 1中， = = = 1 = 2， 为棱 1上的动点， , , , 1四点
均在球 的球面上，则( )
A.存在点 ，使 1 //平面 1
B.无论 的位置如何，三棱锥 1 1的体积为定值
C.存在点 ，使 1 的周长为 5 2
D. 28 球 的表面积为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知单位向量 ， 满足 = 13，且 = + 3
，则 tan , = ．
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13.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，
若被截正方体的棱长是 50 ，则石凳的表面积为 2．
14.已知 中， = 2， = 1，|(1 ) + 2 |( ∈ R)的最小值是 3，若 为边 上任意一点，
为边 的中点，则 的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = ( + i)2( ∈ R)， 2 = 4 3i，其中 是复数单位．
(1) 若 1 = i，求实数 的值；2
(2) 1 1 +
2 3 2025
若 是纯虚数， 是正实数，求 1 + 1 + 1 2
的值．
2 2 2 2
16.(本小题 15 分)
在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，2 cos + cos( + ) = cos ．
(1)求 ；
(2)若 = 2 39 sin ， 3
= 6，求 、 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， // ， = 1.点 在 上，且 = 1， = 2．
(1)求证： //平面 ；
(2)若点 在线段 上，且 //平面 ，求证： 为线段 的中点．
18.(本小题 17 分)
在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 2 sin sin = 1 cos2 ，1 + 3 2 = 2 3 sin ．
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(1)求 ；
(2)求 的面积；
(3)以 为坐标原点， 所在直线为 轴，且 在 轴上方建立平面直角坐标系，在 所在的平面内有一动
点 ( , ) 11，满足 = 3，求 3 的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知 是全体复数集 的一个非空子集，如果 , ∈ ，总有 + ， ， ∈ ，则称 是数环.设 是数

环，如果① 内含有一个非零复数；② , ∈ 且 ≠ 0，有 ∈ ，则称 是数域.由定义知有理数集 是数域．
(1)求元素个数最小的数环 ；
(2)记 2 = + 2 , ∈ ，证明： 2 是数域；
(3)若 1， 2是数域，判断 1 ∪ 2是否是数域，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.(7500 + 2500 3)
14.1564
15.(1) 因为 = ( + i)2， 11 2 = 4 3i， = i，2
所以 1 = i 2，即( + i)2 = 2 1 + 2 i = 3 + 4i，
2
所以 1 = 3，解得实数 的值为 2．
2 = 4
(2) 1 = ( +i)
2
= (
2+2 i 1)(4+3i) = (4
2 6 4)+(3 2+8 3)i
由题意得 2 4 3i 25 25
，

因为 1
2
是纯虚数，所以 4 6 4 = 0 1 2 3 2
，解得 = 2 或 =
+ 8 3 ≠ 0 2
，

又因为 是正实数，所以 = 2，所以 1 = i，2
2 3 2025
所以 1 +
1 + 1 1 2 3 + = i + i + i + + i
2025
2 2 2 2
= i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8 + + i2021 + i2022 + i2023 + i2024 + i2025
= (i 1 i + 1) + (i 1 i + 1) + + (i 1 i + 1) + i = i
16.(1)因为 2 cos + cos( + ) = cos ，
即 2 cos cos = cos ，
即 cos + cos = 2 cos ，
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由正弦定理可得 sin cos + sin cos = 2sin cos ，
∴ sin( + ) = 2sin cos ，∴ sin = 2sin cos ，
∵ ∈ (0, π)，sin ≠ 0 ∴ cos = 1， 2，
∵ ∈ (0, π)，∴ = π3；
(2) (1) 2 39 2 39 3由 可得 = 3 sin = 3 × 2 = 13．
∵ = = 6，∴ = cos = 12 = 6，
2∴ = 12 cos = +
2 2 1
，又 2 = 2，
2+ 2 13 = ( + )
2 2 13 = ( + )
2 13
即 2 2 24 1 =
1
2，
∴ + = 7 + = 7 = 3 = 4，由 = 12，解得 = 4或 = 3．
17.(1)连接 ，因为 // ，即 // ，
又因为 = = 1，所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)连接 ，过点 作 // 交 于点 ，连接 ，
因为 // ，所以 // ，所以 ， ， ， 四点共面，
因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，所以四边形 是平行四边形，
1
所以 = = 1，所以 = 2 = 1，所以 为线段 的中点．
18.(1)根据题意，2 sin sin = 1 cos2 = 2sin2 ，
因为 sin ≠ 0，所以 sin = sin ，
由正弦定理得 sin = sin ，所以 = 1；
(2)由余弦定理，1 = 2 = 2 + 2 2 cos ，
代入 1 + 3 2 = 2 3 sin ，得 2 + 4 2 = 2 3 sin + 2 cos ，
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2 2 两边同除以 ，2 + = 3sin + cos = 2sin +
π
6 ，
2 π
由于2 + ≥ 2，当且仅当 = 2 时等号成立，而 2sin + 6 ≤ 2，
当且仅当 = π + 2 3时等号成立，即2 = 3sin + cos = 2，
由余弦定理 1 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 = 3 2，即 2 = 13，
1的面积 = sin = 22 sin =
3
6 ；
(3)由(1)(2) 3 2 3可知 = 1， = 3 ， = 3 ，所以 =
π
2，
以 为坐标原点， ， 所在直线为 ， 轴建立平面直角坐标系，
则 0, 3 ， (1,0)，3
= , 33 ，
= (1 , )，
2 2
= 2 + 2 33 =
1
2 +
3 1 11
6 3 = 3，
2 2
∴ 12 +
3
6 = 4，
= 12 + 2cos
故可设 3 ( 为变量)， = 6 + 2sin
3 = 2cos 2 3sin = 4cos + π 2π3 ≥ 4，当且仅当 = 3 + 2 π( ∈ Z)
所以 3 的最小值为 4．
19.(1)因为 为数环，可知 不是空集，即 中至少有一个元素 ∈ ，
若 = 0，则 0 + 0 = 0 0 = 0 × 0 = 0 ∈ ，可知{0}为数环；
若 ≠ 0，则 = 0，可知 中不止一个元素，不是元素个数最少的数环；
综上所述：元素个数最少的数环为 = {0}．
(2)设 = + 2 ， = + 2 ， , , , ∈ ，可知 , ∈ 2 ，
则有： + = + 2 + + 2 = ( + ) + 2( + )，
= + 2 + 2 = ( ) + 2( )，
= + 2 + 2 = ( + 2 ) + 2( + )，
因为 , , , ∈ Q，则 + ， + ， ， ， + 2 ， + ∈ ，
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可知 + ， ， ∈ ( 2)，所以 ( 2)是数环；
因 , ∈ Q，则必存在 , ∈ Q 使 2 + 2 ≠ 0，此时 ≠ 0，满足①；
≠ 0 = + 2 = + 2 2 2 若 ，则 + 2 + 2 2 = 2 2 2 + 2

2 2 2，
因为 , , , ∈ Q 2 ，则 2 2 2， 2 2 2 ∈ ，

可知 ∈ 2 ，满足②；综上所述： 2 是数域．
(3)不一定是数域，理由如下：
①若 1 = ， 2 = ，显然 1， 2均为数域，且 1 ∪ 2 = 是数域；
②设 1 = 3 = + 3 , ∈ ， 2 = 2 = + 2 , ∈ ，
设 = + 3 ， = + 3 ， , , , ∈ ，可知 , ∈ 3 ，则有：
+ = + 3 + + 3 = ( + ) + 3( + )，
= + 3 + 3 = ( ) + 3( )，
= + 3 + 3 = ( + 3 ) + 3( + )，
因为 , , , ∈ ，则 + ， + ， ， ， + 3 ， + ∈ ，
可知 + ， ， ∈ 3 ，所以 3 是数环；
因 , ∈ Q，则必存在 , ∈ Q 使 2 + 2 ≠ 0，此时 ≠ 0，满足①；
若 ≠ 0 ，则 =
+ 3 + 3 3 3
+ 3 = + 3 3 = 2 3 2 + 3 2 3 2，
因为 , , , ∈ Q 3 ，则 2 3 2， 2 3 2 ∈ ，

可知 ∈ 3 ，满足②；
综上所述： ( 3)是数域．
因 1 + 3 ∈ 3 ，1 + 2 ∈ 2 ，但 1 + 3 + 1 + 2 = 2 + 3 + 2 1 ∪ 2，
所以 1 ∪ 2不是数域；
综上所述： 1 ∪ 2不一定是数域．
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