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2024-2025学年北京交通大学附属中学第二分校高二下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
3.二项式的展开式中常数项是( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
5.从名男同学、名女同学中选名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.甲、乙等名志愿者参加年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加项工作，每项工作至少安排人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.设，，则是的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
9.已知，如果过点可作曲线的三条切线则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
10.若对函数的任意一条切线，均存在唯一一条切线使得，则称该函数为正交函数给出下列四个函数：
，，，．
其中正交函数的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 用数字表示．
12.已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则 ．
13.写出“使函数在上存在最值”的实数的一个值为 ．
14.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中单位：是球的半径已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为 ．
15.已知函数，下列命题：的增区间是和；有三个零点；不等式的解集为；关于的不等式恒成立，则的最大值为其中正确的命题是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，，若的展开式中，所有二项式系数的和为．
求的值；
求的系数；
求的值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若对恒成立求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，已知直线分别交曲线和于点，，当时，设的面积为，其中是坐标原点．
写出的函数解析式；
求的最大值．
19.本小题分
已知函数，其中．
Ⅰ若，求的单调区间
Ⅱ若的最小值为，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数
求曲线在点处的切线方程；
设，求证：是上的单调递减函数；
设实数使得对恒成立，求的最小值．
21.本小题分
设为正整数，集合对于集合中的任意元素和，定义，，以及．
若，，，，求；
若，均为中的元素，且，，求的最大值；
若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.由题意可得．
，
所以的系数为．
令，可得，
令，可得，
两式相减可得．
17.因为，则，
令，可得或，
所以当或时，当时，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
由可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故当时，，
因为对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是．
18.由题意可知，，，
因为，所以，，
所以，
所以，；
由可知，，
则，
令得，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，为，
即的最大值为．
19.定义域为．．
Ⅰ若，则，令，得舍
所以时，的单调增区间为，减区间为．
Ⅱ，
当时，在区间在单调递增，所以
．
当时，由解得，由解得
的单调递减区间为，单调递增区间为所以在处取得最小值，注意到，所以不满足
综上可知，若得最小值为，则的取值范围是
20.由，则，
又，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
由知，，，
所以，
令，，
则，
设，，
则
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以存在，使得，
则当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增，
又，，
所以恒成立，则，
即，所以是上的单调递减函数．
令，
则，
由知，在上单调递减，且，．
当时，若，则，此时函数在上单调递减，
所以满足题意；
若，则，，则，
所以，满足题意；
当时，若，则存在，使得，
则时，，函数单调递增，
此时，不满足题意，即对于，不满足题意；
当时，若，则，此时函数在上单调递增，
则，不满足题意，即对于，不满足题意．
综上所述，，则的最小值为．
21.解：设 ，
则由 ， ，
知 ．
所以 ，得 ．
而 ，故 ，从而 ．
所以 ．
由已知有 ， ，
这些条件的含义是， 都恰有 个分量等于 ，
且任意两个不同元素没有同时为 的分量．
由于 ，故一共只有 个分量，
这表明全体 的所有分量中，至多有 个 ．
而显然一共有 个 ，故 ，得 ．
显然 ， ，
满足条件，此时 ．
这就说明 的最大值是 ．
由 ， ，知 ， ．
而条件 的含义是，
在序列 中，
任意一对相邻的向量 都恰有 个分量不相等．
根据题目内容，已有 ．
若 ，则 ， ，
且 恰有 个分量不相等， 恰有 个分量不相等．
换言之， 恰有 个分量相等， 恰有 个分量相等．
而 ，故一定存在 ，使得 的第 个分量不相等，
的第 个分量也不相等，这就表明 的第 个分量相等，
但 ， ，它们没有相等的分量，矛盾；
这就表明 ．
注意到 ， ，
， 满足全部条件，此时 ．
所以 的最小值是 ．

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