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2024-2025 学年北京市东城区第五十五中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知函数 = 2 + 2 ，当自变量 由 0 变到 1 时函数的平均变化率为( )
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
2.从 4 名女同学和 3 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为( )
A. 12 种 B. 7 种 C. 4 种 D. 3 种
3.一物体做直线运动，其位移 (单位： )与时间 (单位： )之间的关系为 = 2 + 2 ，则 = 0 时，其
速度(单位： / )为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 2
4.在某次考试中，要安排第一天五门学科的考试顺序，这五门学科分别是语文、物理、政治、地理、化学，
在已知第一门考语文的条件下，安排第二门考物理的概率是( )
A. 25 B.
1 1
4 C. 5 D.
1
9
5.我校高二年级 4 名学生参加东城区组织的“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，现有“唐
诗”、“宋词”、“元曲”三个竞赛项目，每人限报其中的一个项目，则不同的报名方法总数为( )
A. 24 B. 36 C. 81 D. 256
6.函数 = 3 12 在区间 3,3 上的最小值是( )
A. 9 B. 9 C. 20 D. 16
7 3.已知函数 = 2 + 在区间 1, + ∞ 上单调递增，则 的取值范围是( )
A. 6, + ∞ B. 3, + ∞ C. 3 , + ∞ D. 32 4 , + ∞
8.已知 1 7 = 0 + + 21 2 + + 77 ，则 0 + 2 + 4 + 6等于( )
A. 32 B. 32 C. 64 D. 64
9.学校有 ， 两家餐厅，王同学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第 1 天去 餐厅，那么第 2
天去 餐厅的概率为 ；如果第 1 天去 餐厅，那么第 2 天去 餐厅的概率为 0.4.已知王同学第 2 天去 餐厅
用餐的概率为 0.5，则 的值为( )
A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3
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10 .设 的定义域为 ，若对任意实数 ，存在实数 1， 2 1 ≠ 2 ，使得 1 2 = ′ 成立，则称 1 2
满足“性质 ”，下列函数满足“性质 ”的有( )
A. = 3 B. = 1 C. = sin2 D. = 2+1
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.已知函数 = cos ，则 ′ 0 = ．
12.在 1 2 5的展开式中， 2的系数是 . (用数字作答)
13.志愿服务小组共 8 人，其中男生 5 人、女生 3 人，现从中选出 3 名男生和 2 名女生参加某项志愿服务
工作，则不同的选法总数为 . (用数字作答)
14.现有高中数学人教 版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修
第三册教材各 1 本．若把这 5 本教材从左到右放置书架的某一层内(该层无其他书籍)，如果必修第一册与
必修第二册相邻，则不同的放法共有 种；如果必修第一册与必修第二册相邻且必修第一册与选择性必
修第三册不相邻，则不同的放法共有 种．(用数字作答)
15.已知关于 的不等式 ≥ + 恒成立，给出下列四个结论：
①当 = 时， 的最大值为 0；
②当 = 1 时， 的最小值为 ；
③在所有符合题意的 ， 中， + 的最大值为 ；
1
④在所有符合题意的 ， 中， 的最小值为 ．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
1
已知函数 = 3 2 23 + 3 ( 为常数)，曲线 = 在点 1, 1 处的切线平行于直线 8
7 = 0．
(1)求函数 的解析表达式；
(2)求函数 的极值．
17.(本小题 12 分)
、 两个三口之家进行游戏活动，从 6 人中随机选出 2 人．
(1)求选出的 2 人来自不同家庭的概率；
(2)在选出的第 1 个人来自 家庭的条件下，求第 2 个人也来自 家庭的概率；
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(3)若选出的 2 人来自同一个家庭，游戏成功的概率为 0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为 0.3，求
最终游戏成功的概率．
18.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 2的正方形， = ， ， 分别为 和 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)若已知点 到平面 的距离 2.从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角
的正弦值．
条件①：平面 ⊥平面 ；
条件②： = ．
19.(本小题 12 分)
2 2
已知点 2,0 为椭圆 ： 2 + 2 = 1 > > 0
3
的右端点，椭圆 的离心率为 2 ，不经过点 的直线 ： = +
与椭圆交于 、 两点，直线 、 分别与 轴交于 、 两点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 1如果线段 的中点的纵坐标等于2，那么直线 是否经过定点？如果是，求出该定点的坐标，如果不是，
请说明理由．
20.(本小题 13 分)
设函数 = ln ln +1 ．
(1)求曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程；
(2)证明： 在区间 0, + ∞ 内单调递增；
(3)若关于 的不等式 > 1 在区间 1, + ∞ 内恰有一个整数解，直接写出 的取值范围．
21.(本小题 14 分)
悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲

余弦函数 = + 2 的图象．现定义双曲正弦函数 = 2 ，回答以下问题：
(1)分别求 和 的导函数；
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(2)分别求 和 的单调区间；
(3)如果对任意 > 0， > 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.1
12.40
13.30
14.48；36
15.①③④
16.(1)根据题意， ′ = 2 4 + 3，则 ′ 1 = 4 + 4 = 8，
解得 = 1，
∴ = 13
3 2 2 + 3 ．
(2)由(1) ′ = 2 4 + 3 = 1 3 ，
令 ′ > 0，解得 < 1 或 > 3，
令 ′ < 0，解得 1 < < 3，
所以当 < 1 或 > 3 时， 单调递增，当 1 < < 3 时， 单调递减，
4
所以当 = 1 时， 取得极大值，极大值为 1 = 3，
当 = 3 时， 取得极小值，极小值为 3 = 0．
1 1
17.(1) 3设“选出的 2 人来自不同家庭”为事件 ，则 = 3 3 = ；
26 5
1
(2) 2设“选出的第 1 个人来自 家的条件下，第 2 个人也来自 家”为事件 ，则 = 21 = ； 5 5
(3)由(1)知，选出的 2 人来自不同家庭的概率为 0.6，所以选出的 2 人来自同一家庭的概率为 0.4，
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所以由全概率公式得最终游戏成功的概率为 0.4 × 0.6 + 0.6 × 0.3 = 0.42．
18.(1)取 中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 中点，
所以 // ， = 12 ，
因为底面 是正方形， 为 中点，
所以 // ， = 12 ，
所以 // ， = ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 // ，又 在 外， 在平面 内，
所以 //平面 ；
(2)连接 与 交于点 ，连接 ，因为 是正方形，所以 是 ， 的中点，
选条件①：因为 = ， 是 的中点，所以 ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，交线是 ，所以 ⊥平面 ，
所以 = 2，且 ⊥ ，
又 ⊥ ，所以，分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
由已知可得 2,0,0 ， 0, 2,0 ， 2,0,0 ， 0,2,0 ， 0,0,2 ， 1,0,1 ，
所以 = 0,2,2 ， = 2, 2,0 ， = 3,0, 1 ，
设平面 的一个法向量为 = , , ，
= 2 2 = 0
则 ，取 = = 1， = 3，所以 = 1,1,3 ，
= 3 = 0

设直线 与平面 所成的角为 0 ≤ < 2 ，
2 22
所以 sin = cos = =
11
．
选条件②：因为 = ， = ， 是 ， 的中点，所以 ⊥ ， ⊥ ，
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又 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，所以 = 2，又 ⊥ ，所以，分别以 ， ， 为 ， ，
轴建立空间直角坐标系，以下同条件①．
19.(1) 3由已知得 = 2，离心率 = = 2 ，
所以 = 3， = 2 2 = 4 3 = 1，

2
所以椭圆 的方程为 4 +
2 = 1；
(2) 设 , ， , ，所直线 的方程为 = 11 1 2 2 2 2 ，令 = 0 =
2
得 1 ，
1 1 2
2 同理可得 2 + 1 = 2，所以 2 = 2，即 + = 1，2
2 2
所以 1 2 2 + 2 = 1， 1 2 2 2 + 2 1 2 2 + 2 2 1 2 = 0，1 2
所以 1 2 2 2 + 2 1 + 2 2 + 2 2 + 1 2 = 0，
化简得 2 4 2 1 + 2 + 4 + 1 1 2 + 4 8 = 0，( )
= +
由 2 2 2 + 4 2 4 = 0，得 4 + 1 + 8 + 4
2 4 = 0，
由 > 0，得 64 2 2 16(4 2 + 1)( 2 1) > 0，即 2 < 4 2 + 1，
+ = 8 4
2 4
所以 1 2 4 2+1， 1 2 = 4 2+1，
代入等式( )化简得 4 2 + 4 + 2 4 2 = 0， 2 + 2 2 2 + = 0，
所以 2 + 2 + 2 = 0，所以 = 2 或 = 2 2 ，
当 = 2 时，直线 的方程为 = 2 ，经过点 2,0 ，不合题意，
当 = 2 2 时，直线 的方程为 2 = 2 ，经过定点 2,2 ，
所以直线 经过定点 2,2 ．
20.(1) +1 ln +1 ln 因为 ′ = 2 ， > 0 ， +1 ln +1
所以 1′ 1 = ln2，又 1 = 0，所以切线方程为 =
1
ln2 1 =
1 1
ln2 ln2；
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(2) = +1 ln +1 ln ′
+1 ln +1 2
， > 0 ，
当 0 < < 1 时，ln < 0，ln + 1 > 0，所以 + 1 ln + 1 ln > 0，
当 ≥ 1 时，ln + 1 > ln ≥ 0，又 + 1 > > 0，所以 + 1 ln + 1 ln > 0，
所以 ′ > 0，所以 在区间 0, + ∞ 内单调递增；
1
(3) ln +1 1由洛必达法则可知， lim ln +1 = lim

→∞ →∞ 1
= lim = lim = 1，
+1 →∞
→∞1
由(2)可知， 在区间 0, + ∞ 内单调递增，因为 = 1 恒过 0,1 点，画出 的草图，如图所示，
= ln 设 ln +1 1 ， ∈ 1, + ∞ ，
2 = ln2ln3 ， 3 =
ln3
ln4 2 ，
要使得 > 1 在区间 1, + ∞ 内恰有一个整数解．
2 = ln2ln3 > 0只需满足
3 = ln3ln4 2 ≤ 0
ln2 ln2 ln3
由ln3 > 0 得 < ln3；由ln4 2 ≤ 0 ≥
ln3 ln3
得 2ln4 = 4ln2．
ln3 ln2
所以 的取值范围是 4ln2 , ln3 ．

21. ′ ′(1) = 2 ， =
+
2 ；
2
(2)
′
= = 12 2 ，
′ ′
所以当 < 0 时， < 0，当 > 0 时， > 0，
所以 的增区间为 0, + ∞ ，减区间为 ∞,0 ；
′
当 ∈ ∞, + ∞ 时， > 0，
所以 的增区间为 ∞, + ∞ ，无减区间；
(3) > 0， > > 0，

令 = ， > 0 ，则 ′ = + 2 ，
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由(2)知 = + 2 在 0, + ∞ 上递增，所以 ′ =
+
2 在 0, + ∞ 上递增，
所以 ′ > ′ 0 = 1 ，
当 1 ≥ 0 即 ≤ 1 时， ′ ≥ 0， 在 0, + ∞ 上递增，所以 > 0 = 0，
即 > 0， > ；
当 1 < 0 > 1 0 < 0 ln2 = 1即 时， ′ ， ′ 4 > 0，所以存在唯一的 0 ∈ 0, ln2 ，
使得 ′ 0 = 0，且当 ∈ 0, 0 时， ′ < 0， 在 0, 0 上递减，所以 0 < 0 = 0，
即 0 < 0，不合题意，
综上所述， 的取值范围是 ∞,1 ．
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