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2024-2025学年新疆吐鲁番市高一下学期期中测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知，是它的共轭复数，则的是( )
A. B. C. D.
3.已知的内角所对的边分别为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知复数，则( )
A. B. C. D.
6.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为( )
A. B. C. D.
7.“景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”大碗高，底部直径，口部直径若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积单位：是( )
A. B. C. D.
8.在中，若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选下列选项中，正确的是( )
A. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C. 以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
10.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.若是复数，其在复平面内对应的点为，下列说法正确的是( )
A. 为纯虚数
B. 若，则
C. 若，则的轨迹是以为圆心，半径为的圆
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则在复平面内对应的点的坐标为 ．
13.已知向量，满足，，且，则，夹角为 ．
14.随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体如图，已知该圆锥的高为米，圆柱的高为米，底面直径为米，该蒙古包的表面积是 不含底面，体积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简下列各式：
；
．
．
16.本小题分
已知复平面内表示复数的点为．
若复数是实数，求实数的值；
若复数是纯虚数，求实数的值；
若点位于上，求实数的值．
17.本小题分
已知．
求点的坐标和；
求夹角的余弦值．
18.本小题分
已知为三个内角的对边，且．
求；
若，的面积为，求．
19.本小题分
如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为，，两点在半圆弧上，且，设；
当时，求四边形的面积．
若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求出的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
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13.
14.

15.．
．
．
16.复数是实数，则，
所以或．
复数是纯虚数，则
所以．
复数对应的点在直线上，则，
所以．
17.设，而点，则，
由，得，解得，点的坐标为；
，，，所以．
由知，而，
所以．
18.解：在中，，
利用正弦定理可得，，，代入上式并约去得：
，
而，
，
，
为三角形内角，，，
，即，
，
为三角形内角，，
．
若，的面积为，
则，
，
又由余弦定理可得，
，
由解得．
19.解：连结 ，则
四边形 的面积为 ．
由题意，在 中， ，由正弦定理
，
同理在 中， ，由正弦定理
，
．
令 ，
，
时，即 ， 的最大值为．

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