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2024-2025 学年福建省福州市台江区九校高一下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 1 = 2 + ， 2 = 1 2 ，则复数 = 2 1对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图所示，在三棱台 ′ ′ ′ 中，截去三棱锥 ′ ，则剩余部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体
3.已知复数 对应的向量如图所示，则复数 + 1 所对应的向量表示正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在正方体 1 1 1 1的八个顶点中，有四个顶点 ， 1， ， 1恰好是正四面体的顶点，则
此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为( )
A. 3: 1 B. 1: 2 C. 6: 2 D. 3: 3
5.“勾 3 股 4 弦 5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾 3
股 4 弦 5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了 500 多年．如图，在矩形 中，△ 满足“勾 3
股 4 弦 5”，且 = 3， 为 上一点， ⊥ .若 = + ，则 + 的值为( )
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A. 107 B.
9 25 29
8 C. 16 D. 18
6.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底 在同一平面内的两个观测点 与 ，现测得
∠ = 37 ，∠ = 68 ， = 40 米，在点 处测得塔顶 的仰角为64 ，则该铁塔的高度约为( )(参考
数据： 2 ≈ 1.4， 6 ≈ 2.4，tan64 ≈ 2.0，cos37 ≈ 0.8)
A. 40 米 B. 42 米 C. 51 米 D. 60 米
7.已知在 内有一点 ，满足 + + = 0，过点 作直线 分别交 、 于 、 ，若 = ，
= ( > 0, > 0)，则 + 的最小值为
A. 4 53 B. 3 C. 2 D. 3
8
2
.已知 的三个内角 、 、 满足 2 = 3 2 2 2 ，当 sin 的值最大时， 2 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 12 D.
1
4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.长方体 1 1 1 1的长、宽、高分别为 3，2，1，则( )
A.长方体的表面积为 20
B.长方体的体积为 6

C.沿长方体的表面从 到 1的最短距离为 3 2
D.沿长方体的表面从 到 1的最短距离为 2 5
10.下列结论中，正确的是( )
A.若向量 = ( 2,3)， = (3, )，且 ⊥ ，则 = 2
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B.若 = 4， = 8， 与 的夹角为120 ，则 + = 4 3
C.已知向量 = 1, 3 π， = 3, 1 ，则 与 的夹角为3
D.若向量 = ( , 2)， = (1,1 )，且 // ，则 = 0
11.下列结论中，正确的是( )
A. i3 1 + i 2的运算结果为纯虚数；
B. 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 = 30°, = 3, = 4，则 有两解；
C.已知向量 = cos , sin ， = 1, 3 ，则 + 的取值范围是[1,3]；
D.已知 0 = 2 + 2i, 0 = 2，则| |的最小值和最大值分别是 2和 3 2．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.棱台的上 下底面面积分别是 2，4，高为 3，则棱台的体积等于 ．
13 π.已知平面向量 、 的夹角为 ，且 = 2， 6 = 1, 3 ，则 在
方向上的投影向量为 . (用向量坐
标表示)
14.已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面上，且 = = = 1， = = = 2，
则球的表面积为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 1 2i．
(1)若 = 1 3+4i，求 1；
(2)若| 2| = 5，且 2是纯虚数，求 2
16.(本小题 15 分)
已知向量 = ( ,1)， = (2, + 1)， ∈ ．
(1)若向量 ， 能构成一组基底，求实数 的范围；
(2)若 = 1,3 ，且 ⊥ ，求向量 与 的夹角大小．
17.(本小题 15 分)
如图， ′ ′ ′ ′为四边形 的斜二测直观图，其中 ′ ′ = 3， ′ ′ = 1， ′ ′ = 2．
(1)求平面四边形 的面积及周长；
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(2)若四边形 以 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
18.(本小题 17 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 1， sin sin = ( )sin( + )
(1)求 的外接圆半径；
(2) 周长的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，我们把由平面内夹角成60 的两条数轴 ， 构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设 1， 2分别为 ，
正方向上的单位向量，若向量 = 1 + 2，则把实数对[ , ]叫做向量 的“完美坐标”．
(1)若向量 的“完美坐标”为[3,4]，求| |;
(2)已知[ 1, 1]，[ 2, 2]分别为向量 ， 的“完美坐标”，证明： = 1 2 + 1 2 +
1
2 ( 1 2 + 2 1);
(3)若向量 ， 的“完美坐标”分别为[sin , 1]，[cos , 1]，设函数 ( ) = ， ∈ ，求 ( )的值域．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6 + 2 2
13. 3 32 , 2
14.3π
15.(1)
∵复数 = 1 2i，
∴ = = 1 2i = 1 2i 3 4i = 5 10i 1 21 3+4i 3+4i 3+4i 3 4i 25 = 5 5 i；
(2)设 2 = + i，
∵ = 2 + 22 = 5，
∴ 2 + 2 = 5①，
又∵ 2 = 1 2i + i = ( + 2 ) + ( 2 )i，
∴ + 2 = 0， 2 ≠ 0②，
= 2 = 2
由①②联立，解得 = 1或 = 1 ,
∴ 2 = 2 i 或 2 = 2 + i．
16.解：(1)若向量 ， 能构成一组基底，
则向量 ， 不共线，
则 + 1 2 ≠ 0，解得 ≠ 2 且 ≠ 1；
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(2)因为 ⊥ ，所以 ( ) = = 0，
即 + 3 2 3 + 1 = 0，解得 = 1，
所以 = 1,1 ， = 2,0 ，

则 cos , = 2 2
| ||
=
| 2 2
= 2 ，
又因为 0 ≤ , ≤ ，所以 , = 3 4，
3
即向量 与 的夹角为 4．
17.(1)把直观图还原为原平面图形，则四边形 是直角梯形，其中 = ′ ′ = 3， = 2 ′ ′ = 2，
= ′ ′ = 2， ⊥ ，如图所示：
1
所以平面四边形 的面积为 = 2 × (2 + 3) × 2 = 5，
周长为 = + + + = 3 + (3 2)2 + 22 + 2 + 2 = 7 + 5；
(2)四边形 以 为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，
则旋转体的体积 等于圆柱的体积 1与圆锥的体积 2之和，
1 28π
即 = 1 + 2 = π × 22 × 2 + 3π × 2
2 × 1 = 3 ，
表面积为 = π × 22 + 2π × 2 × 2 + π × 2 × 22 + 12 = 12π + 2 5π = 12 + 2 5 π．
18.(1)在 中，由 sin sin = ( )sin( + )，得 sin sin = ( )sin ，
由正弦定理得 2 2 = ( ) ，即 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2
由余弦定理得 cos = 2 =
1
2，而 0 < < π，则 =
π
3，
所以 1 3的外接圆半径 = 2sin = 3 = 3 ．
(2)由(1)知 2 + 2 2 = ，
则( + )2 = 1 + 3 ≤ 1 + 3( + )22 ，当且仅当 = 时取等号，
1
因此4 ( + )
2 ≤ 1，0 < + ≤ 2 解得，而 + > = 1，即 1 < + ≤ 2，
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则 2 < + + ≤ 3，所以 周长的取值范围是(2,3]．
19.解：(1)因为 的“完美坐标”为[3,4]，则 = 3 1 + 4 2，
又因为 ， 分别为 ， 正方向上的单位向量，且夹角为60 1 2 ，
所以 1 2 = | 1|| 2|cos60 =
1
2，
所以| | = (3 1 + 4 2)2
= 9 1
2 + 24 1 2 + 16 2
2
= 9 + 24 × 12+ 16 = 37．
(2)证明：由(1)知 11 2 = 2，
所以 = ( 1 1 + 1 2) ( 2 1 + 2 2)
= 1 2
2
1 + 1 2 1 2 + 2 1 1 2 +
2
1 2 2
= + + 11 2 1 2 2 ( 1 2 + 2 1)，
= + + 1即 1 2 1 2 2 ( 1 2 + 2 1).
(3)解：因为向量 ， 的“完美坐标”分别为[sin , 1]，[cos , 1]，
由(2)得 ( ) = = sin cos + 1 + 12 (sin + cos )．
令 = sin + cos = 2sin( + 4 )，
则 sin cos = 1 22 ( 1)，
因为 ∈ ，所以 2 ≤ 2sin( + 4 ) ≤ 2，即 2 ≤ ≤ 2，
令 ( ) = 12 (
2 1) + 1 + 12 =
1 2
2 ( + + 1)( 2 ≤ ≤ 2)，
1
因为 ( )的图象是对称轴为 = 2，开口向上的抛物线的一部分，
1 1 1 1 1 3
所以当 = 2时， ( )取得最小值 ( 2 ) = 2 × ( 4 2 + 1) = 8，
当 = 2时， ( ) 1取得最大值 ( 2) = 2 × (2 + 2 + 1) =
3+ 2
2 ，
所以 ( ) 3 3+ 2的值域为[ 8 , 2 ].
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