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2025届湖南省邵阳市武冈市初中学业水平检测第三次模拟考试
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（　　）
2．据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程与时间的关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）．
A．是的平方根 B．2是的算术平方根
C．的平方根是2 D．8的立方根是
6．如图是某兰花爱好者随机抽取了5种蝴蝶兰，想从单枝上花朵的数量来描述其观赏性，每种兰花单枝上的花朵数标记在图中，问这组数据的中位数和众数是（ ）
A．4，4 B．4，9 C．5，9 D．9，9
7．如果(x＋m)(x－5)＝x2－3x＋k，那么k，m的值分别是(　　)
A． k＝10，m＝2 B． k＝10，m＝－2
C． k＝－10，m＝2 D． k＝－10，m＝－2
8．下列说法中错误的是( )
A．若a＝b，则3﹣2a＝3﹣2b B．若a＝b，则ac＝bc
C．若ac＝bc，则a＝b D．若，则a＝b
9．在中，的角平分线交于点，点分为4和5两部分，则的周长为(　　)
A．24 B．26 C．28 D．26或28
10．抛物线的函数表达式为y=(x-2)2-9,则下列结论中,正确的序号为 (　　)
①当x=2时,y取得最小值-9;②若点(3,y1),(4,y2)在其图象上,则y2>y1;③将其函数图象向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y=(x-5)2-5;④函数图象与x轴有两个交点,且两交点的距离为6.
A．②③④ B．①②④
C．①③ D．①②③④
二、填空题：本题共8小题，每题3分，共24分。
11．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
12．若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为________________（写出一个即可）.
13．把5×5×5写成乘方的形式
14．若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是 ．
15．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 ．
16．已知反比例函数的图象经过点，则k的值是 ．
17．如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则 °．
18．如图，已知抛物线y＝－(x－1)(x－9)与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为1，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为________．
三、解答题： 本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图,直线l与☉O相切于点D,AB为☉O的直径,过点A作AE⊥l于点E,延长AB交直线l于点C．
(1)求证:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半径.
22．如图,△ABC是等边三角形,点D在AC上,点E在BC的延长线上,且BD=DE.
(1)如图(1),若点D是AC的中点,求证:AD=CE;
(2)如图(2),若点D不是AC的中点,AD=CE是否成立 证明你的结论;
(3)如图(3),若点D在线段AC的延长线上,试判断AD与CE的大小关系,并说明理由.
23．中国新能源汽车市场异常火爆，销量持续攀升．某汽车销售公司以每辆18万元的价格购入一批新能源汽车进行销售．当定价为26万元每辆时，平均每周能卖出10辆．现公司计划开展让利销售，市场调研表明：售价每降低1万元，平均每周能多卖出2辆．若要每周的销售利润达到84万元，且尽可能给顾客更多优惠，则每辆汽车的售价应定为多少？
24．2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
比赛项目
关注人数 42 30
（1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
25．新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若，请直接写出的解集；
(3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标．
26．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，，
又，，，即
(1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；
(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
参考答案
1．C
2．D
3．B
4．A
5．B
6．D
7．C　
8．C
9．D
10．B　
11．240
12．3、4、5、6、7（任意一个即可）
13．
14．2026
15．3
16．.6
17．
18．3　
19．3
20．；2026
21．(1)证明：连接OD,如图.
∵直线l与☉O相切于点D,∴OD⊥CE.
∵AE⊥CE,∴OD∥AE,∴∠ODA=∠EAD.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠OAD=∠EAD,
∴AD平分∠CAE.
(2)设☉O的半径为r,则OB=OD=r.
在Rt△OCD中,∵OD=r,CD=3,OC=r+1,∴r2+32=(r+1)2,解得r=4,即☉O的半径为4.
22．(1)【证明】∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC.
∵D为AC的中点,∴∠DBC=30°,AD=DC.
∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°.
∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=30°=∠E,∴CD=CE.∵AD=DC,∴AD=CE.
(2)成立.证明:如图(1),过D作DF∥BC,交AB于F,则∠ADF=∠ACB=60°.
∵∠A=60°,∴△AFD是等边三角形,
∴AD=DF=AF,∠AFD=60°,
∴∠BFD=∠DCE=180°-60°=120°.
∵DF∥BC,BD=DE,∴∠FDB=∠DBE=∠E.
在△BFD和△DCE中,
∴△BFD≌△DCE(AAS),∴CE=DF=AD,即AD=CE.
(3)AD=CE.理由如下:
如图(2),过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P.
∵△ABC是等边三角形,∴易得△APD是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°.
∵∠ACB=60°,∴∠DCE=60°.
∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.
在△BPD和△DCE中,
∴△BPD≌△DCE(AAS),∴PD=CE.
∵PD=AD,∴AD=CE.
23．每辆汽车的售价应定为24万元
解：设每辆汽车售价降低万元，则多卖辆，
由题意得：，
化简得：，
解得：，，
要尽可能给顾客更多优惠，
取，
，
∴每辆汽车的售价应定为24万元．
24.（1），，；
（2）4000人
（3）
（1）解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人），
∴（人），
∴（人），
∴D所在扇形圆心角的度数为：，
（2）解：依题意，（人）
答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人．
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，
其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：．
25．(1)
(2)或
(3)或
（1）解：反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式为．
设反比例函数上的“和六点”为．
．
解得，
经检验，都是原方程的解，
反比例函数图象上的“和六点”为．
二次函数的图象经过，．
解得
二次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或．
（3）解：由（1）可知，抛物线解析式为．
抛物线对称轴为．
点在抛物线对称轴上，
∴可设．
点的横坐标小于点的横坐标，
．
是以为顶点的等腰三角形，
．
，
，
．
解得．
点的坐标为或．
26.(1)3
(2)，证明见解析；
(3)或．
（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可知，长为或．
∵点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，
∴，
∵，
∴
∴
∴
（3）解：∵，，
∴
解得：或（舍去）
当时，
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴
过点作交于点
∴
设
∵
∴
解得：或（舍去），
∴
∴,
∴
∴是直角三角形，
∴
∴
∵抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点．
当时，，
解得：
∴，
当时，，则
∴
如图所示，在轴上取点，连接，使得，
∵
设，则
∴
∵
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
在中，
∵，平分
∴
过点作交的延长线于点，交于点，连接交于点，连接，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
在中
∴
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴是的中点，
∵，
∴，
∵，
设直线的解析式为
代入，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或（舍去）
∴
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