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2024－2025学年九年级第三次质量检测试卷
数学
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1.的倒数是（ ）
A. B. C. D.2025
2.据统计，2024年河南全省实现地区生产总值（GDP）超过6.3万亿元.数据“6.3万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4.将含有角的直角三角板如图放置，其中，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A.调查“天鹅之城”三门峡黄河岸边浅滩湿地的水质情况
B.对欲“搭乘”实践十九号卫星“上天”的药材种子的活性进行调查
C.对搭乘郑州7，8号地铁线的乘客进行满意度调查
D.对郑州市民春运期间返乡的交通方式进行调查
6.计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
7.若关于的方程有实数根，则实数的值不可能是（ ）
A. B.3 C.4 D.5
8.如图，在中，，将沿直线平移，得到，连接，，若添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，正方形的边长为10，分别以，为直径画半圆，过点的直线分别交两半圆于点，.已知，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图（1），在中，点是边上一点，点从点出发，沿运动到点，设点运动的路程为，点到点的距离为，在点运动过程中，随变化的关系图象如图（2）所示，其中点为第一段函数图象的最低点，则的周长为（ ）
A. B.18 C. D.12
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______.
12.如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛（其中），其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则______（填“＞”“＜”或“＝”）.
13.一个不透明的口袋中装有5个小球（这些小球除所标数字外，其他完全相同），小球上分别标有数字1，，，，.现从中随机摸取一个，不放回，再摸取一个，先后摸到的小球上的数字分别作为一个两位数的十位数字和个位数字，则组成的两位数恰好是3的倍数的概率为______.
14.如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中转角为.若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为______.
15.如图，，点是平面内一动点，且，连接.将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为______，最大值为______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（10分）（1）计算：
（2）化简：
17.（9分）【项目背景】
随着先进科技、教育环境以及社会动态的变化，存量风险逐渐显现，新型风险因势而生，纷至沓来的风险挑战使得校园安全事件也层出不穷.为了解学生对校园安全的认识和掌握情况，某地对甲、乙两校的部分学生进行了调查统计，为校园安全质量的提升提供一些参考.
【数据收集与整理】
从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行测试（满分100分），测试后对学生的成绩（单位：分）进行了整理和分析.部分信息如下：
信息一：绘制成了如下两幅均不完整的统计图.
（数据分组：组，；组，；组，；组，）
信息二：甲校学生的测试成绩在组的是：，，，，，，，，.
信息三：甲、乙两校成绩的平均数、中位数、众数如下表.
学校 平均数 中位数 众数
甲 84.2 82.5
乙 80.6 81 80
任务1补全顺数分布直方图.
【数据分析与运用】
任务2乙校学生的测试成绩位于组的人数为______人，表格中______.
任务3在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82.5分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前？请说明理由
18.（9分）如图，在中，，平分交于点
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明.
19.（9分）如图（1），在中，，，将含角的直角三角板的锐角顶点放至点处，斜边交于点，直角边交于点，.小华进行了如下探究.
（1）他发现，且通过推理验证是正确的，请写出你的证明过程.
（2）他设，.
（1）请你直接写出与的函数关系式.
（2）请在图（2）中画出该函数的大致图象，并写出该图象的一条性质.
20.（9分）新年前夕，国家主席习近平通过中央广播电视总台和互联网，发表二〇二五年新年贺词，其中提到：“我们因地制宜培育新质生产力，新产业新业态新模式竞相涌现，新能源汽车年产量首次突破1000万辆，集成电路、人工智能、量子通信等领域取得新成果.”随着新能源汽车的发展，某市计划引进一批新能源公交车投入运营.新能源公交车有，两种车型，若购买型公交车30辆，型公交车10辆，共需2600万元；若购买型公交车20辆，型公交车30辆，共需3600万元.
（1）求购买型和型新能源公交车每辆分别需要多少万元.
（2）交通管理部门调研发现：型新能源公交车适合支线道路运营，型新能源公交车适合主干道运营.若本批次计划购买，两种新能源公交车共80辆，且支线道路运营车辆不超过主干道运营车辆为，请问分别购买多少辆，两种新能源公交车可使得政府投入的费用最少？并求出最少费用.
21（10分）小明利用曲柄连杆结构制作了一个挖掘机模型，如图（1）所示，图（2）是其主要构件的简化示意图，其中，且是固定结构，点为上一点，且，.半径为的与相切于点，，的长度固定，且，.随着的左右滚动，的一端绕着运动，点为延长线上一点，且，，的长度均为.
（1）当时，四边形的形状是______.
（2）如图（3），连接，当时，与相切于点，求此时的长度.
（3）将从图（3）中所示的位置向左滚动至与相切，如图（4）所示，此时与相切于点，求的度数.（结果精确到，参考数据：，）
22.（10分）如图，是一个可以在水平地面上左右移动的机械杆，水平地面，在点处有一个抛射装置，抛出的木球的运动路径是抛物线的一部分.斜坡与地面的夹角是，米，斜坡上有个球洞，米.某次投射，木球恰好落在点处，木球运动到与的水平距离为6米处时达到最高位置.已知米.请建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
（1）求出木球飞行的最大高度；
（2）若把向右平移米，木球恰好能落入球洞，求的值.（结果精确到1米，，）
23.（10分）【新知引入】定义：如图（1），点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点.
（1）已知点，是线段的勾股分割点，若，，则______.
【探究证明】
（2）如图（2），在中，，，，在线段上，且.求证：点，是线段的勾股分割点.
【拓展应用】
（3）如图（3），在中，圆心角，是上一动点，连接，，，分别作，的垂直平分线，分别交直线于点，，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长.
图1 图2 图3
2024－2025学年九年级第三次质量检测试卷（数学）答案
一、选择题
1.答案：A
解析：乘积为1的两个数互为倒数，，所以的倒数是.
2.答案：D
解析：1万，亿，所以6.3万亿.
3.答案：需结合具体俯视图及选项图形判断，文档未给出足够信息确定答案.
4.答案：B
解析：在含角的直角三角板中，，因为，所以，又，则，所以.
5.答案：B
解析：全面调查是对调查对象的所有单位进行调查的调查方式.对欲“搭乘”实践十九号卫星“上天”的药材种子的活性进行调查，因为种子数量相对较少且对结果准确性要求极高，适宜采用全面调查；A选项调查三门峡黄河岸边浅滩湿地的水质情况，范围广，适合抽样调查；C选项对搭乘郑州7、8号地铁线的乘客进行满意度调查，人数众多，适合抽样调查；D选项对郑州市民春运期间返乡的交通方式进行调查，人数众多，适合抽样调查.
6.答案：C
解析：.
7.答案：A
解析：对于一元二次方程，其中，，，判别式.因为方程有实数根，所以，即，，解得，所以实数的值不可能是5.
8.答案：B
解析：由平移可知，，因为四边形是平行四边形，所以，，又沿直线平移得到，所以，，，则四边形是平行四边形.若，因为，，平移后，可证，所以平行四边形是菱形.
9.答案：B
解析：连接，，因为，是半圆直径，所以.设，，在中，根据勾股定理.由，，可求出相关线段长度，进而求出阴影部分面积.
10.答案：B
解析：由图象可知，当点运动到点时，有最小值，此时.当点从运动到再到时，逐渐增大，且，所以的周长为.
二、填空题
11.答案：
解析：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以，解得.
12.答案：＜
解析：矩形花坛面积，健身休闲区面积，因为，所以，即.
13.答案：
解析：第一次摸球有5种情况，第二次摸球有4种情况，所以组成两位数的情况共有种.一个数是3的倍数，其各位数字之和是3的倍数，满足条件的有，，，，，，，共8种，所以概率为.
14.答案：
解析：连接，，因为，是切线，所以，又，所以.在中，，，则，，，所以阴影部分面积.
15.答案：最小值为3，最大值为7
解析：将绕点顺时针旋转得到，则，，.因为，所以是等腰直角三角形.根据三角形三边关系，，已知，，可得的取值范围，进而得到的最小值为3，最大值为7.
16.（1）6 （2）
17.任务1：根据甲校学生测试成绩在组的数据补全直方图.组有9人，结合其他组信息补全即可.
任务2：乙校学生的测试成绩位于组的人数为人.甲校20名学生成绩从小到大排列，第、个数都在组，且组数据为，，，，，，，，，所以中位数.
任务3：甲校中位数为85，乙校中位数为81，小明成绩82.5分小于甲校中位数，小华成绩82.5分大于乙校中位数，所以小华在乙校测试成绩中的排名更靠前.
18.（1）：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，再以这两点为圆心，适当长为半径画弧，两弧相交于一点，过与该点作射线，在左侧与相交于，则.
（2）：.
证明：因为，所以，
又平分，所以，
因为，所以，所以.
又，，，
可证，所以.
19.（1）：因为，，
所以，又，，
所以，又，所以.
（2）①因为，
所以，，
，，
则，整理得.
②图象略.性质：函数图象在上，随的增大而增大.
20.（1）：设购买型新能源公交车每辆需要万元，购买型新能源公交车每辆需要万元.则，解方程组得，
即购买型新能源公交车每辆需要60万元，购买型新能源公交车每辆需要80万元.
（2）：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆.
由题意得，解得.
设政府投入费用为万元，
则，
因为，所以随的增大而减小，当时，最小，最小万元，此时辆.所以购买型公交车16辆，型公交车64辆时，政府投入费用最少，最少费用为6080万元.
21.（1）：当时，，
因为，，，，
所以四边形是正方形.
（2）：过作于，在中，求出长度，进而得到的长度.
（3）：根据圆的切线性质及三角函数求出的度数.
22.（1）：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.设抛物线解析式为，把，代入求出的值，即木球飞行的最大高度.
（2）：求出球洞的坐标，把点坐标代入平移后的抛物线解析式，求出的值.
23.（1）：若为斜边，则；
若为斜边，则，所以或.
（2）：将绕点逆时针旋转得到，连接.
可证，则，
又，，根据勾股定理可得，
即，所以点，是线段的勾股分割点.
（3）或

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