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第八章 平行线的有关证明
8.6 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理（1）
小明在探究三角形内角和时，是这样做的：
A
B
C
3
4
1
2
D
E
实验法得出：
三角形三个内角的和等于180°。
8.6 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理（1）
Ⅰ、求证：三角形三个内角的和等于180°。
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。
A
B
C
D
E
辅助线
辅助线有什么意义呢？
虚线
1
2
当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新的关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况。
8.6 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理（1）
Ⅰ、求证：三角形三个内角的和等于180°。
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。
证明：
∴∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
延长BC至D，过点
C作CE∥BA。
∵∠1+∠2+ ∠ACB=180°
(平角的定义)
∴∠A+∠B +∠ACB=180°
(等量代换)
A
B
C
∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)
D
E
1
2
新知归纳
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°。
Ⅱ、在证明三角形三个内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作PQ∥BC，
他的想法可行吗？
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。
证明：
∴∠C=∠1
(两直线平行，内错角相等)
过点A作PQ∥BC。
∵∠1+∠2+ ∠CAB=180°
(平角的定义)
∴∠A+∠B +∠CAB=180°
(等量代换)
A
B
C
∠B=∠2
(两直线平行，内错角相等)
P
Q
2
1
Ⅲ、你还有其他方法证明三角形内角和定理吗？
已知：如图，△ABC。
求证：∠A+∠B +∠C=180° 。
A
B
C
D
1、已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C
=70° ，点D和E分别在AB和AC上，且DE∥BC。
求证：∠ADE=50°。
ⅰ、直角三角形的两锐角和是多少度？请证明你
的结论。
A
B
C
已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°。
求证：∠A+∠B =90° 。
证明：
∵∠A+∠B+ ∠C=180°
(三角形三个内角的和等于180°)
且∠C=90°
(已知)
∴∠A+∠B+ 90°=180°
(等量代换)
∴∠A+∠B=90°
(等式性质)
直角三角形两锐角互余
2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB，垂足为D。求证：∠A=∠DCB。
ⅱ、正三角形的一个内角是多少度？证明你的结论。
A
B
C
已知：如图，正△ABC。
求证：∠A=∠B=∠C =60° 。
证明：
∵∠A+∠B+ ∠C=180°
(三角形三个内角和等于180°)
∵△ABC是正三角形
(已知)
∴∠A=∠B=∠C
(正三角形性质)
∴∠A=∠B=∠C =60°
(等式性质)
正三角形的三个内角都相等，并且都等于60°
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD。
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360° 。
证明：
∵∠BAC+∠B+ ∠ACB=180°
(三角形三个内角和等于180°)
连接AC
且∠DAC+∠D+ ∠ACD=180°
(三角形三个内角和等于180°)
∴∠DAB+∠B+∠BCD+∠D =360°
(等式性质)
四边形的内角和等于360°
定理：
(1)直角三角形的两锐角互余；
(2)正三角形的三个内角都相等，且都等于60°；
(3)四边形的内角和等于360°。
3、已知：如图，AB∥CD。求证：∠CAB=
∠CED+∠CDE 。
巩固练习
合作交流
ⅳ、如图(1)，在△ABC中，如果BC不动，把点A“压”向BC，那么当点A越来接近BC时，∠A就越来越大(越来越接近180°)，而∠B和∠C则越来越小(越来越接近0°)。由此你能想到什么？
A
B
C
A
B
C
(1)
(2)
如果BC不动，把点A“拉离”BC，那么当点A越来远离BC时，∠A就越来越小(越来越接近0°)，而∠B和∠C则越来越大，它们的和越来越接近180°。当点A拉到无穷远时，便有AB∥AC，而∠B和∠C是同旁内角，此时它们的和等于180°。由此你能想到什么？
4、已知：如图，在△ABC中，∠A=75°，∠B
=50°，将∠C折起，点C落在△ABC内部，已知∠1=20°，求∠2的大小。
巩固练习
1
2
A
B
C
D
E
1、辅助线的意义：
当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新的关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况。
2、三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°。
3、定理：
(1)直角三角形的两锐角互余；
(2)正三角形的三个内角都相等，且都等于60°；
(3)四边形的内角和等于360°。
8.6 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理（1）

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