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第八章 平行线的有关证明
8.5 平行线的性质定理
复习一下:平行线的判定
公理 同位角相等，两直线平行
定理 内错角相等，两直线平行
定理 同旁内角互补，两直线平行
角之间的关系 两直线平行
8.5 平行线的性质定理
平行线的性质
公理 两直线平行，同位角相等
定理 两直线平行，同旁内角互补
定理 两直线平行，内错角相等
两直线平行 角之间的关系
两直线平行，同位角相等.
A
B
C
D
E
F
M
N
G
H
1
2
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
↓
已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
文字语言
↓
符号语言
如果∠1 ≠ ∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
8.5 平行线的性质定理
A
B
C
D
E
F
M
N
G
H
1
2
证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.
又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.
两直线平行，同位角相等.
根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？
你能说说证明的思路吗？
你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
平行线的性质
已知两直线平行，同位角相等，证明内错角相等
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
↓
已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
文字语言
↓
符号语言
已知两直线平行，同位角相等，证明内错角相等
已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
你能说说证明的思路吗？
证明：∵a∥b（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠2（等量代换）
反思：通过证明证实了这个命题是真命题，我们可以把它称为定理.即平行线的性质定理.这样就可以把它作为今后证明的依据.
做一做：证明两直线平行，同旁内角互补
1
作出相关的图形
2
证明的思路
3
根据所作的图形写出已知、求证
已知两直线平行，同位角相等，证明同旁内角互补
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
↓
已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°
文字语言
↓
符号语言
已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角.
求证：∠1+∠2=180°
证明：∵a∥b（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）
∴∠1+∠2=180°（等量代换）
反思：通过推理的过程得证这个命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题.我们把它称为定理，即直线平行的性质定理，以后可以直接应用它来证明其他的结论.
已知两直线平行，同位角相等，证明同旁内角互补
例1
已知：如图，b∥a，c ∥a， ∠1 ，∠2， ∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角.
求证： b∥c.
a
b
c
1
2
3
d
证明： ∵b ∥a（已知）
∴ ∠2= ∠1（两直线平行，同位角相等）
∵c ∥a（已知）
∴ ∠3= ∠1（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠2= ∠3（等量代换）
∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）
定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
归纳总结：证明的一般步骤
根据题意
画出图形
根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，以便于叙述或推理过程的表达.
分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了
把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.
第一步
第二步
第三步
补充练习
1.证明邻补角的平分线互相垂直.
活动与探究
1.已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
证法一：
∵AB∥DC（已知）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠D+∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
活动与探究
1.已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
证法二：
如图，延长BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
活动与探究
1.已知，如图，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，求证：AD∥BC.
证法三：
如图，连接BD（构造一组内错角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABC=∠ADC（已知）
∴∠ABC－∠1=∠ADC－∠4（等式的性质）
∴∠2=∠3
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
小结
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
（1）根据题意，画出图形.
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
这节课我们主要研究了平行线的性质定理的证明，总结归纳了证明的一般步骤.
1.平行线的性质：
公理：两直线平行，同位角相等
定理：两直线平行，内错角相等
定理：两直线平行，同旁内角互补
证明的一般步骤：
8.5 平行线的性质定理

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