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第十章 三角形的有关证明
10.1 全等三角形
第1课时 全等三角形（1）
我们曾经探索过等腰三角形和直角三角形的一些性质，如等腰三角形“三线合一”的性质、勾股定理等.你还记得获得这些结论的过程吗？你能根据已有基本事实和定理证明这些结论吗？
10.1 全等三角形
第1课时 全等三角形（1）
在《平行线的有关证明》一章中，我们给出了八条基本事实，并从其中几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明与三角形有关的一些结论.
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知)和结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”);
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路过程中的具体做法.
判定公理:
三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
A
B
C
A′
B′
C′
在△ABC和△A′B′C′中
∵ AB=A′B′,
　 BC=B′C′,
　 AC=A′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
10.1 全等三角形
第1课时 全等三角形（1）
判定公理:
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
在△ABC和△A′B′C′中
∵ AB=A′B′,
　 ∠A=∠A′,
　 AC=A′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
判定公理:
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
在△ABC和△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′,
　 AB=A′B′,
∠B=∠B′ ,
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
● ●
● ●
性质公理:
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
∵ △ABC≌△A′B′C′，
∴ AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′
（全等三角形的对应边相等）;
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′
（全等三角形的对应角相等）.
●
●
● ●
● ●
A
B
C
A′
B′
C′
● ● ●
● ● ●
1．了解作为证明基础的几条公理的内容；
2．掌握证明的基本步骤和书写格式．
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经证明过的定理证明它吗？
做一做
推论　
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
用心想一想，马到功成
已知：如图,∠B=∠B′,∠C=∠C′,AB=A′B′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
C
B
A
A′
B′
C′
推论　
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
证明：
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠A′+∠B′+∠C′=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠A=180°－(∠B+∠C)，
∠A′=180°－(∠B′+∠C′).
∵ ∠B=∠B′,∠C=∠C′（已知）,
∴∠A=∠A′（等量代换）.
∵∠A=∠A′，AB=A′B′，∠B=∠B′,
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
C
B
A
A′
B′
C′
几何的三种语言
推论:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
在△ABC和△A′B′C′中，
∵ ∠A=∠A′，
　 ∠C=∠C′，
　 AB=A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.
证明后的结论,以后可以直接运用.
A
B
C
A′
B′
C′
●
●
● ●
● ●
证明：在△OAC和△ODB中，
∵ OA=OD,
∠AOC= ∠DOB，
OC=OB，
∴△OAC≌△ODB （SAS）.
∴ AC=BD，∠A=∠D（全等三角形的定义）.
例1 已知：如图，线段AB和CD相交于点O，线段OA=OD,OC=OB.
求证：AC=BD，∠A=∠D.
O
D
A
C
B
根据全等三角形的定义，我们可以得到全等三角形的对应边相等、对应角相等.
小试牛刀
1.完成课本随堂练习第1题，直接做到课本上.
2.已知：如图，M是线段AB的中点，∠C=∠D， ∠1= ∠2.
求证：△AMC ≌△BMD.
A
B
C
D
M
1
2
1.有关全等三角形的基本事实：
SAS,ASA,SSS.
2.判定全等三角形的推论：AAS
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
10.1 全等三角形
第1课时 全等三角形（1）

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