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第十章 三角形的有关证明
10.4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线（1）
1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理；
2. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力；
3.能够用尺规作已知线段的垂直平分线.
10.4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线（1）
用心想一想
如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
A
B
10.4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线（1）
我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗
已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C，
且AC=BC, P是MN上任意一点.
求证: PA=PB.
A
C
B
P
M
N
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
分析：要想证明PA=PB, 可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等. 也就是想办法证明△APC≌△BPC.
而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS). 故结论可证.
你能写出它的证明过程吗？
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∵AC=BC, PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
A
C
B
P
M
N
如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
几何语言描述
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
A
C
B
P
M
N
如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
深入思考：你能写出定理 “线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗
逆命题: 到线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗 如果是, 请你证明它.
思考分析
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
分析: 要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点), 然后证明另一个结论正确.
A
B
P
试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
方法一：
过点P作PC⊥AB,垂足为C，
∵PC⊥AB，
∴△APC和△BPC都是直角三角形.
∵PC=PC,PA=PB,
∴Rt△APC≌Rt△BPC (HL).
∴AC=BC.
∴ 点 P在AB的垂直平分线上.
A
C
B
P
方法二：
把线段AB的中点记为C,连接PC,
∵C为AB的中点,
∴AC=BC.
∵PA=PB,PC=PC
∴△APC≌△BPC(SSS).
∴∠PCA=∠PCB=90°.
∴PC⊥AB,即P在AB的垂直平分线上.
A
C
B
P
.
已知: 如图, PA=PB.
求证: 点P在AB的垂直平分线上.
逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)
这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
A
B
P
练一练
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点， 且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
B
C
O
A
你还有其他证明方法吗？
证明：
∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
B
C
O
A
尺规作图
已知:线段AB,如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
用尺规作线段的垂直平分线.
A
B
C
D
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，并与同伴进行交流.
做一做
1. 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= cm;
如果∠ECD=60 °, 那么∠EDC= ° .
E
D
A
B
C
7
60
2. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长.
B
A
E
D
C
分析提示：题目中出现了线段的垂直平分线，你首先应该想到我们刚刚学习的有关线段垂直平分线的性质，得出相关的结论，再结合已知的三角形的周长，将两个条件有机结合，进行转化，得出最后的结果.
试一试：你能独立完成这道题目吗？
解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
∵△BCE的周长等于50,
∴BE+EC+BC=50,
即AE+EC+BC=50.
∴AC+BC=50.
∵AC=27,
∴BC=23.
2. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长.
B
A
E
D
C
3. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.
求证：PB=PC.
P
B
D
C
A
证明：∵AB=AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
∵BD=CD，
∴ D在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD是线段BC的垂直平分线.
∵P是AD上一点,
∴PB=PC.
1.线段垂直平分线的定理
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2.线段垂直平分线的逆定理
逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
3.用尺规作已知线段的垂直平分线.
10.4 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线（1）

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