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2024-2025学年第二学期苏科版数学八年级期末数学模拟练习试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题恰有一项是符合题目要求的）
1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 以下问题中，适合采用普查方式的有（ ）
①中考体育女子800米测试
②调查某批次汽车的抗撞击能力
③检测长征系列运载火箭的零部件质量
④了解全校七年级1100名学生21天内平均每天的睡眠时间
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 若分式的值为零，则的值是（　　 ）
A． B． C． D．
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
如图，已知中，是上一点，，，，垂足是，
点是的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，
则图中的面积为（ ）
A． B．6 C． D．5
如图，边长为的正方形，对角线，交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），
交于F，G为中点．给出如下四个结论：
①； ②点E在运动过程中，面积不变化；
③周长的最小值为； ④点E在运动过程中，与始终相等
其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④
二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
10. 比较大小：________ （填“＞”或“＜”＝）．
11. 已知，那么的值是 ．
12. 如图，若反比例函数与一次函数交于A、B两点，
当时，x的取值范围是 ．
如图，点A，B，C的坐标分别是，，，
在第三象限内有一点D使四边形为平行四边形，那么点D的坐标是 ．

14．若关于x的分式方程有增根，则 ．
15. 正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，
那么的长是 ．
如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，
则原四边形ABCD需满足的条件是_______．（只需写出一个符合要求的条件）
如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，
过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．
若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 ．
如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，
且于点，于点．由以下结论：
①为等边三角形；②；③；④．
其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题（本大题共有10个小题，满分共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.. 计算：
(1)
(2)
20．解分式方程：
(1)；
(2)．
21. 先化简，再求值：，其中．
某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，
即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．
下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
______；
(2) 上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，
请估计b的值是______（填写一个值）；
落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
23. 为了迎接端午节，某中学准备为孩子们准备五种口味的粽子，
分别有：蜜枣粽、蛋黄粽、鲜肉粽、豆沙粽、白粽，学校调查了学生对五种口味粽子的喜爱程度．
随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的粽子口味），
并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，
请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了多少名学生？
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，喜爱蛋黄粽的人数所在的扇形的圆心角是多少度？
(4)若该校共有3200名学生，请估计喜爱鲜肉粽的学生有多少人？
24.如图，是菱形对角线与的交点，，；
过点作，过点作，与相交于点．
（1）求的长；
（2）求证：四边形为矩形；
（3）求矩形的面积．
为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某县计划新建一批智能充电桩．
经调研，市场上有A型、B型两种充电桩比较合适，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少，
用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个．
(1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？
(2)该市决定购买A型、B型充电桩共150个，且花费不超过100万元，则至少购买A型充电桩多少个？
26. 在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．小华是这样解答的：
∵，
∴．
请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
（1）填空：＝________ ；＝_______；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
如图，A、B分别是轴正半轴上和轴正半轴上的点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，
反比例函数的图象经过点C．
(1)若点C坐标为（2，3），则的值为______；
(2)若A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）；
① 则的值为______；
② 此时点D______（填“在”、“ 不在”或者“不一定在”）该反比例函数的图象上；
(3)若C、D两点都在函数的图象上，直接写出点C的坐标为______．
28. 综合与实践
问题情境：
如图1，在正方形中，点是对角线上一点，将直角三角形的直角顶点放在点处，
使直角边经过点，另一条直角边与交于点
问题解决：
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，交于点，当时，连接．求证：四边形是菱形；
(3)如图3，当与的延长线交于点时，若正方形边长4，，请直接写出的长
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2024-2025学年第二学期苏科版数学八年级期末数学模拟练习试卷解析
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题恰有一项是符合题目要求的）
1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
2. 以下问题中，适合采用普查方式的有（ ）
①中考体育女子800米测试
②调查某批次汽车的抗撞击能力
③检测长征系列运载火箭的零部件质量
④了解全校七年级1100名学生21天内平均每天的睡眠时间
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是全面调查与抽样调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知．
【详解】①中考体育女子800米测试，人员不多，且这个调查很重要不可漏掉任何人，适合普查，故①符合题意；
②调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故②不符合题意，
③检测长征系列运载火箭的零部件质量，每个零件都重要，适合普查，故③符合题意，
④了解全校七年级1100名学生21天内平均每天的睡眠时间，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故④不合题意；
故选：B．
3. 若分式的值为零，则的值是（　　 ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为的条件是分子为且分母不为．
先根据分式的值为的条件，列出关于的不等式组，求出的值即可．
【详解】解：∵分式的值为，
，
解得，
故选：C．
4. 下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的加减运算及乘除运算，分别利用二次根式加减运算法则以及乘除运算法则化简判断得出即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、无法计算，故此选项错误，故不符合题意；
B、，故此选项错误，故不符合题意；
C、，故此选项正确，故符合题意；
D、，故此选项错误，故不符合题意；
故选：C．
5. 若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解．
【详解】解：
方程两边同乘得：，
∵方程有增根，
∴满足
解得：
故选：D．
如图，已知中，是上一点，，，，垂足是，
点是的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，根据等腰三角形的性质可得为的中点，由是的中点，可得为的中位线，从而由三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，，，
∴，
即点为的中点，
又∵是的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选：．
如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，与相交于点P，
则图中的面积为（ ）
A． B．6 C． D．5
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，难度适中．通过平行线的性质利用面积法找出面积相等的三角形是关键．根据等边三角形的性质可得，从而得到，进而得到，过点B作于点E，则，由反比例函数系数k的几何意义，可得，即可求解．
【详解】解：∵和均为正三角形，
∴，
∴，
∴，
过点B作于点E，则，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故选B．
如图，边长为的正方形，对角线，相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），
交于F，G为中点．给出如下四个结论：
①； ②点E在运动过程中，面积不变化；
③周长的最小值为； ④点E在运动过程中，与始终相等
其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④
【答案】A
【分析】①证明，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，先变小，后变大，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③根据，得到，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确．
【详解】解：①∵四边形是正方形，相交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故①正确；
②∵的值随着点E在上由B向C运动过程中，先变小，后变大，
∴面积也先变小，后变大；
故②错误；
③∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∵，
∴周长的最小值为；
故③正确；
④∵，G为中点，
∴，
∴点E在运动过程中，与始终相等，
故④正确；
综上，①③④正确．
故选：A．
二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
10. 比较大小：________ （填“＞”或“＜”＝）．
【答案】>
【解析】
【分析】先将两个数平方，再比大小即可．
【详解】∵，，
又∵18>12，
∴．
故答案为：>．
11. 已知，那么的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由，可设，，再代入化简即可解答．
【详解】解：，
设，，
．
故答案为：．
12. 如图，若反比例函数与一次函数交于A、B两点，当时，x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，写出在x轴的上方，且一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可．
【详解】解：观察图象可知，当时，x的取值范围是．
故答案为：．
如图，点A，B，C的坐标分别是，，，
在第三象限内有一点D使四边形为平行四边形，那么点D的坐标是 ．

【答案】
【分析】根据平行四边形的性质得到，据此即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
14．若关于x的分式方程有增根，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，
解得：，
把代入，可得：，
解得：．
故答案为：．
故答案为：．
15. 正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据正方形性质求出，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，由直角三角形的性质可求解．解题的关键是能正确作出辅助线构造直角三角形．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形和正方形中，，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，，
∵H是的中点，
∴，
故答案为：．
16. 如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是_______．（只需写出一个符合要求的条件）
【答案】AC⊥BD
【解析】
【分析】根据平行公理的推论求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四边形EFGH，证出∠E=90°即可．
【详解】解：添加的条件是AC⊥BD，
∵BD∥EF，BD∥GH，
∴EF∥GH，
同理EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠E=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD．
如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，
过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．
若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质．依据题意，作轴于，设，又由四边形为正方形，进而证明，可得，，故，，从而，则，结合四边形为正方形，对角线与互相平分，可得为的中点，故，又在反比例函数，则，即，又正方形的面积为，且，最后列出，进而建立，计算即可得解．
【详解】解：作轴于，设，
又由四边形为正方形，
，．
．
又，
，
．
又，
．
，．
又，，
．
．
四边形为正方形，
对角线与互相平分．
为的中点，
为的中点．
，
又在反比例函数，
．
．
又正方形的面积为，
且，
．
．
．
．
故答案为：16．
如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，
且于点，于点．由以下结论：
①为等边三角形；②；③；④．
其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴为等边三角形，，则，
故①②正确；
∵，，
∴，
∴，，，
∴，，
故③④正确，
综上，正确的有4个，
故选：D．
三、解答题（本大题共有10个小题，满分共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.. 计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简和混合运算以及零指数幂；
（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂和平方差公式进行化简，再合并同类二次根式即可．
（2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
20．解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去分母，然后求解检验即可；
（2）将分式方程去分母，然后求解检验即可．
【详解】解：（1）方程两边同时乘，得，
化简，得
解得： ，
经检验，是原分式方程的解，
所以．
（2）解：去分母得，
整理得，，
移项、合并同类项得，，
解得，
检验：当时，，，
∴是原分式方程的解，
所以．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先算除法，再算减法，最后把a的值代入计算即可．
【详解】原式＝.
＝
＝
当a＝ 时，
原式＝
＝
22.某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．
转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）：
转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000
落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800
落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400
请根据表格完成以下问题：
______；
(2) 上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，
请估计b的值是______（填写一个值）；
落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？
请估计落在“减免20元券”区域的概率是______．
【答案】(1)
(2)
(3)频率的变化稳定在附近
(4)
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据频率频数总数，计算即可得出答案；
（2）由频数乘以频率即可得到答案；
（3）利用频率估计概率求解即可．
（4）由稳定的频率可得概率
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近；
（4）解：估计落在“减免20元券”区域的概率是
23. 为了迎接端午节，某中学准备为孩子们准备五种口味的粽子，
分别有：蜜枣粽、蛋黄粽、鲜肉粽、豆沙粽、白粽，学校调查了学生对五种口味粽子的喜爱程度．
随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的粽子口味），
并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了多少名学生？
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，喜爱蛋黄粽的人数所在的扇形的圆心角是多少度？
(4)若该校共有3200名学生，请估计喜爱鲜肉粽的学生有多少人？
【答案】(1)200
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】此题考查了条形统计图与扇形统计图的关联，用样本估计总体等知识．注意掌握条形统计图与扇形统计图各量的对应关系，从中找出解题所需要的信息，是解此题的关键．
（1）根据题意，由喜爱白粽的人数除以其所占的百分比列式计算即可；
（2）求得喜爱鲜肉粽的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）用喜爱蛋黄粽的人数占参与调查人数的比例即可得到结论；
（4）直接利用样本估计总体的方法求解即可求得答案．
【详解】（1）解：由统计图可知本次调查共抽取的学生数为：人，
答：本次调查共抽取了200名学生；
（2）由统计图可知喜欢鲜肉粽的人数为：人，
补全条形统计图如图所示：
（3）喜爱蛋黄粽的人数所在的扇形图的圆心角度数为：
，
答：在扇形统计图中，喜爱蛋黄粽的人数所在的扇形的圆心角是108度；
（4）该校1200名学生中喜爱鲜肉粽的学生约有：
人，
答：若该校有1200名学生，则喜爱鲜肉粽的学生约有人．
24.如图，是菱形对角线与的交点，，；
过点作，过点作，与相交于点．
（1）求的长；
（2）求证：四边形为矩形；
（3）求矩形的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用菱形的性质得到，在直角中，利用勾股定理即可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形；
（3）利用矩形的面积公式即可直接求解．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，
，
直角中，；
【小问2详解】
证明：，，
四边形为平行四边形，
又，即，
平行四边形为矩形；
【小问3详解】
解：，
．
25为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某县计划新建一批智能充电桩．
经调研，市场上有A型、B型两种充电桩比较合适，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少，
用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个．
(1)求A型、B型充电桩的单价各是多少？
(2)该市决定购买A型、B型充电桩共150个，且花费不超过100万元，则至少购买A型充电桩多少个？
【答案】(1)型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元．
(2)至少可购买种充电桩100个．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价万元，根据“用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩共40个”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过100万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价万元．
根据题意得：
解得：
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
万元．
答：型充电桩的单价为0.6万元，型充电桩的单价为0.8万元．
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
由题可得：，
解得：，
答：至少可购买种充电桩100个．
26. 在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．小华是这样解答的：
∵，
∴．
请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
（1）填空：＝ ；＝ ；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）16 （3）4
【解析】
【分析】（1）利用分母有理化进行计算即可；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先分母有理化得到，从而得到，然后利用整体代入的方法进行计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：
，；
故答案为；；
【小问2详解】
解：根据题意得：
；
【小问3详解】
解：，
∴，
∴．
如图，A、B分别是轴正半轴上和轴正半轴上的点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，
反比例函数的图象经过点C．
(1)若点C坐标为（2，3），则的值为______；
(2)若A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）；
① 则的值为______；
② 此时点D______（填“在”、“ 不在”或者“不一定在”）该反比例函数的图象上；
(3)若C、D两点都在函数的图象上，直接写出点C的坐标为______．
【答案】(1)6
(2)①8，②在；
(3)（1，2）
【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数解析式中的的值即可；
（2）①求出C点坐标，运用待定系数法即可；
②由题意可得D点坐标，代入反比例函数解析式，即可得出结论；
（3）根据全等三角形的性质和判定可得C、D点的坐标特点，即可得到点C的坐标
【详解】（1）∵点C坐标为（2，3），反比例函数的图象经过点C，
∴；
（2）①连接AC，过点C作CE⊥y轴，过点D作CF⊥x轴，如图所示，
∵A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）
∴OA=OB=2
∵
∴，
在正方形ABCD中，AC为对角线
∴，，
∴C点的横坐标为2
∴
∴
∵反比例函数的图象经过点C
∴
②由上小问可知，反比例函数的解析式为，
∵，
∴
∵CF⊥x轴
∴
∴
∵正方形ABCD，
∴
∴
∴
∴
将代入反比例函数的解析式得，，
∴点D在该反比例函数的图象上
（3）过点C作CE⊥y轴，过点D作CF⊥x轴，
∵CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴，
∵正方形ABCD，
∴
∴，
∴
在和中，
，
∴≌（AAS）
∴，
同理可得出：≌
∴，
设，
∴，
∵C、D两点都在函数的图象上
∴
∴
∴，
∴
解得：或（不合题意，舍去）
∴点C的坐标：
28. 综合与实践
问题情境：
如图1，在正方形中，点是对角线上一点，将直角三角形的直角顶点放在点处，使直角边经过点，另一条直角边与交于点
问题解决：
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，交于点，当时，连接．求证：四边形是菱形；
(3)如图3，当与的延长线交于点时，若正方形边长4，，请直接写出的长
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，可得，再由四边形内角和定理，可得，从而得到，即可求证；
（2）由（1）可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证；
（3）过点P作于点G，设交于点H，证明，可得，再由三角形内角和定理，可得，从而得到，进而得到，由，可得，是等腰直角三角形，从而得到，，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：如图，过点P作于点G，设交于点H，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，．
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