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2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题
本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答思纸上，满分160分
一、填空题（每小题8分，共计96分）
1.设x∈R,集合{x,V2x,x2}={x-4,x2-12x+40,8x},则x=
2.设n为正整数，定义Pn(cosx)=cosnx,则
Po2s(cos5)+2cos185 P024(cos5)+P2023(sin85)=
3.若等差数列{a}满足：a>0,S1.+a4=0,其中S,为数列前7项的和，则使得2Sn≥an的
n的最大值为
4.如图，在平面直角坐标系上有一动点P,每次平行坐标轴移动一个单位。设动点P从
R(0,1)点出发，向左移动一个单位到达(-1，)，向下移动一个单位到达(-1,0)，再向下
移动一个单位到达P(-1,-),接着向右移动一个单位到达(0，-)，再向右移动一个单位
达到P(,-1),又向上移动一个单位到达P,1,0)依次进行得到一个逆时针螺旋线。问乃0
的坐标为
P12 Pu Pto
P2
PIy
0
Pa
P
16
5.
设非零向量a,b满足x,yeR,3xa+4bl22ax,则a,b夹角的最小值
为
6.已知实数x,y满足2+y=1,任≠)，则ax2x-3,3y-业的最小值为
mi血x-l,2y
7.设xy,z∈R,且5x2+6y2+6z2-8z≤1，则x+y+z的最大值为
8.设P-ABCD为四棱锥，面PAB⊥底面ABCD,且PA=PB=√5，AB=BC=AD=2,则匹
棱锥P-ABCD体积的最大值为
9.动点M从原点出发，每次沿数轴向正方向移动一个单位或两个单位长度、现每次用掷一
枚非均匀硬币的方式决定M如何移动：若掷得正面，M移动两个单位；若掷得反面，则M
移动一个单位。设掷得正面的概率为P,则M恰好移动到2025点的概率为
nl
10.记组合数C-数列a,}满足.@s为c吃25除以3的余数a欧e0,12,k=
0,1,2,…2025,则数列{a}中数字为0,1,2的数目比为.
11,如图，在k×k.的平行四边形中，A,B为一条对角的两个顶点。一个动点从A出发按照
以下规则运动到B点：动点沿着图中箭头方向（往右或往上）移动，每次移动一步（一步或
是图中最小平行四边形的两条邻边之一，或是最小平行四边形对角线)，到达最小四边形的
一个顶点。则动点从A移动到B点有
种不同的移动方法。
12.设AB为集合，满足A=3且AUB=L,2,…,9}.若A中所有元素的乘积等于B中所有
元素的和，则这样的A有
个
二、解答题(13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分】
13.巳知抛物线E:x2=2y(P>0)的焦点为F,P(m,n)(m≠0)是E的动点，过P点作E
的切线L,直钱1与椭圆C:三+片=a>b>0)交于么B两个不同的底，记仍的中底为D
设直线0D(0为原点)与直线y=-必
交于2.
(1)证明直线y=-P
-与直线P2垂直：
(2)若1与F2交于G,且a=2b,证明1SAPGQ
14.将平面用水平和竖直的直线分成由1×1的正方形构成的网格，设P是由2025个小正方
形构成的连通困形（连通是指从其中任何一格可以经过若干有公共边的方格走到另一格），
记ar为边界折线的长度。求P的最大可能值和最小可能值
16.设复系数多项式f(2)=z”十an-12n-1+…+a12十a0的根为1，z2,…,2且对某个正
整数k≤n有
|zl2l22l2…2l2xl>1≥l2k+12…2lznl
证明：存在实数x∈[-1,1]使得

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