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2024-2025 学年四川省达州市高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列 1, 3,5, 7,9, ,则该数列的第 99 项为( )
A. 197 B. 197 C. 199 D. 199
2.某运动物体的位移 (单位:米)关于时间 (单位:秒)的函数关系式为 = 3 + ,则该物体在 = 1 秒时的
瞬时速度为( )
A. 4 米/秒 B. 3 米/秒 C. 2 米/秒 D. 1 米/秒
3.下列求导正确的是( )
A. π2 ′ = 2π B. cos2 ′ = 2sin2
C. ln ′ = 1 D. 3
′ = 3 ln3
4.若数列 满足 1 = 8,
1+
+1 = 1 ,则 2026 =( )
A. 8 B. 1 7 98 C. 9 D. 7
5.已知函数 ( ) = ln2 2 ,则 ( )的单调递增区间为( )
1 1 1 1
A. 0, 12 e2 B. ∞,
1 e 1 182 C. 0, 8 22 e D. 2 e , + ∞
6.已知递增等比数列 的公比为 ,若 2 + 11 = 84, 4 9 = 243,则 3 =( )
A. 3 B. 3 C. 9 D. 3 3
7.函数 ( ) = ( 2) 2 + 2 的极小值点为( )
A. 1 B. 1 C. ln2 D. 2
8.斐波那契数列( ),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多 斐波那契
( )以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,从第 3 项开始,每一项都等于前两项之和.删去 0 后,记此数列为 ,则 2 21 + 2 +
+ 22025 =( )
A. 2024 2025 B. 2024 2026 C. 2026 2027 D. 2025 2026
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示,则( )
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A. ( )在 2, 4 上单调递减 B. ( )在 5, + ∞ 上单调递增
C. ( )的一个极小值为 1 D. ( )在 1, 5 上的最大值为 3
10.已知等差数列 的前 项和为 ,且 2024 > 0, 2025 < 0,则( )
A. > 0 B. 1012 > 0
C.数列 中 1012最大 D.数列 中 1013 最小
11.过点(0,1)向曲线 = 3 3 2作切线,切线方程可能是( )
A. 4 15 + 15 = 0 B. 3 + 1 = 0
C. + 3 3 = 0 D. 15 4 + 4 = 0
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.已知函数 ( )在 = 0处可导,若 lim
0+2 0
= 6,则
′ 0 = . →0
13 3 .设等比数列 的前 项和为 ,若 6 =
9
2,则 = .3 3
14.已知函数 ( ) = 2 8ln 的图象与直线 = 6 + 有两个交点,则 的取值范围为 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 2 8 + 5 的图象在点(1, (1))处的切线方程为 7 + + = 0.
(1)求 , ;
(2)求 ( )在[ 1,3]上的值域.
16.(本小题 15 分)
如图,在长方体 1 1 1 1中, = = 4, 1 = 6.
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(1)求直线 与 1 所成角的余弦值;
(2)求直线 与平面 1 所成角的正弦值;
(3)求平面 1 与平面 1 1所成角的余弦值.
17.(本小题 15 分)
已知正项数列 的前 项和为 ,且 6 = + 7 4 ,数列 满足 1 = 4,3 1 + 3 2 + 3 3 + +
3 +1 = 4 4.
(1)求数列 和 的通项公式;
(2) = 设 1 3 ( +1) , 为数列 的前 项和,若任意 ∈
,使得 ≥ 2
2
2
成立,求 的取值范围.
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
3 10
的离心率为 10 ,焦点与短轴端点围成的四边形的面积为 6.
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)已知动直线 过椭圆 的右焦点 ,且与椭圆 分别交于 , 两点.试问 轴上是否存在定点 ,使得
为定值?若存在,求出该定值和点 的坐标;若不存在,说明理由.
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( )的导函数为 ′( ),我们称函数 ′( )的导函数 ″( )为函数 ( )的二阶导函数,若一个连续函
数 ( )在区间 上的二阶导函数 ″( ) ≥ 0,则称 ( )为 上的凹函数,若二阶导函数 ″( ) ≤ 0,则称 ( )为
上的凸函数.
(1)若函数 ( ) = 1 3 + 1 23 2 + ln 是(0, + ∞)上的凸函数,求实数 的取值范围.
(2) e已知函数 ( ) = + sin , ∈ 0, π .
①若 ( )是 0, π 上的凹函数,求实数 的取值范围;
②若 ( ) π在 0, π 内有两个不同的零点 1, 2,证明:2 < 1 + 2 < π.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.7 34/1.75/1 4
14.(7, + ∞)
15.解:(1)因为 ( ) = 3 2 8 + 5,所以 ′( ) = 3 2 2 8.
因为 ′(1) = 2 5 = 7, (1) = 2 = 7 ,
所以 = 1, = 4;
(2)由(1)知 ( ) = 3 2 8 + 5,则 ′( ) = 3 2 2 8 = ( 2)(3 + 4).
令 ′( ) = 0 4,得 = 3或 = 2.
当 ∈ [ 1,2)时, ′( ) < 0,当 ∈ (2,3]时, ′( ) > 0,
所以 ( )在[ 1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增.
因为 ( 1) = 11, (2) = 7, (3) = 1,所以 ( )在[ 1,3]上的值域为[ 7,11].
16.解:(1)以 为坐标原点, , , 1所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 (4,0,0), (0,4,0), (4,4,0), 1(0,0,6), 1(4,0,6), 1(0,4,6),
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因为 = (4,4,0), 1 = (4,0, 6),
所以,
26所以直线 与 1 所成角的余弦值为 13 ;
(2)设平面 1 的法向量为 = 1, 1, 1 ,
因为 = ( 4,4,0), 1 = (0,4, 6),
= 4 1 + 4 1 = 0,所以 令 1 = 2,得 = (3,3,2). 1 = 4 1 6 1 = 0,
设直线 与平面 1 所成的角为 ,因为 = ( 4,0,0),
所以 sin = cos < , > = 12 3 22 = 4× 22 = 22 ,
3 22即直线 与平面 1 所成角的正弦值为 22 ;
(3)设平面 1 1的法向量为 = 2, 2, 2 ,因为 1 = (4,0,6), 1 = (0,4,6),
1 = 4 2 + 6 所以 2 = 0,
1 = 4 2 + 6 2 = 0,
令 2 = 2,得 = ( 3, 3,2),
设平面 1 与平面 1 1所成的角为 ,
cos = cos < , > = =
14 7
22× 22 = 11,
故平面 1 与平面 1
7
1所成角的余弦值为11.
17.(1)由 6 2 2 = + 7 4 = + 3 28,得 6 +1 = +1 + 3 +1 28,
两式相减得 6 +1 = 2 +1 2 + 3 +1 3 ,即 +1 + +1 3 = 0.
因为 > 0,所以 +1 3 = 0,即 +1 = 3.
当 = 1 时,6 = 21 1 + 3 1 28,解得 1 = 7 或 1 = 4(舍去),
所以 是首项为 7,公差为 3 的等差数列,故 = 3 + 4,
因为 3 + 3 +11 2 + 3 3 + + 3 = 4 4,①
所以当 ≥ 2 时,3 1 + 3 2 + 3 3 + + 3 1 = 4 4,②
① ②得 = 4 , 1 = 4 也满足 = 4 .
故 的通项公式为 = 3 + 4, 的通项公式为 = 4 .
(2) 3 +4 1 1因为 = ( +1) = ( +1)×4 = ×4 1 ( +1)×4 ,
所以 = 1
1 1 1 1 1 1
2×4+ 2×4 3×42 + + ×4 1 ( +1)×4 = 1 ( +1)×4 ,
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7
当 = 1 时, 取得最小值8.
1
因为对任意 ∈ , ≥ 2 2
3 7 1 2
2 恒成立,所以8 ≥ 2
3
2 ,
整理得 4 2 12 7 = (2 7)(2 + 1) ≤ 0,解得 ∈ 1 , 72 2 .
18.(1) 3 10由题意得 = 10 , = 3,
又 2 = 2 + 2,解得 = 10, = 1,
2
所以椭圆 的标准方程为 210 + = 1.
(2)存在,理由如下:
①当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 = ( 3),联立椭圆 的方程,
可得 10 2 + 1 2 60 2 + 90 2 10 = 0.设 1, 1 , 2, 2 ,
60 2 90 2 10
则 1 + 2 = 10 2+1, 1 2 = 10 2+1.
设 ( , 0),则 · = 1 , 1 2 , 2 = 1 2 + 1 2
= 1 2 + 2 1 2 3 1 + 2 + 9
90 2 10 60 2 22 3 + 10
2 60 +89 2 + 2 10
= + 1 + 9 2 + 2 = .
10 2 +1 10 2 +1 10 2 +1
10 2 60 +89 2+ 2 10 2 10 = 1 = 63若 10 2+1 为定值,则10 2 60 +89 10,解得 20,
10 2 60 +89 2+ 2 10
此时 10 2+1 =
31 63
400,点 的坐标为 20 , 0 .
②当直线 的斜率不存在时,则直线 的方程为 = 3,
2 = 3,
代入10 +
2 = 1,得 =± 1010 .
10 10
不妨令 3, 10 , 3, 10 .
63 , 0 = 3 , 10若 ,则 , 20 20 10 =
3 10 31
20 , 10 , = 400.
63 31
综上所述,在 轴上存在点 20 , 0 ,使得
为定值,且定值为 400.
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19.解:(1)因为 ( ) = 1 33 +
1 2
2 + ln ,定义域为(0, + ∞),
所以 ′( ) = 2 + ln , ″( ) = 2 + .
因为 ( )是(0, + ∞)上的凸函数,所以 ″( ) = 2 + ≤ 0 在(0, + ∞)上恒成立,
即当 ∈ (0, + ∞)时,2 2 + ≥ 0 恒成立.
函数 = 2 2 + 图象的对称轴为直线 = 4,
当 = 4 ≤ 0,即 ≤ 0 时,只需 = 0 时, = ≥ 0 即可,所以 = 0,
2
当 = 4 > 0,即 > 0
时,只需 = 4时, = 8 + ≥ 0 即可,所以 0 < ≤ 8,
综上可得 ∈ [0,8].
(2)①因为 ( ) = e e e + sin , ∈ 0, π ,所以
′( ) = + cos , ″ ( ) = sin .
e
因为 ( )是 0, π 上的凹函数,所以 sin ≥ 0 在 0, π 上恒成立,
1 ≥ sin 即 e 在 0, π 上恒成立.
2sin +3π
令 ( ) = sin e ∈ 0, π ,则
′( ) = cos sin e =
4
e .
∈ 0, π 3π < + 3π当 4 时, 4 4 < π,则
′( ) > 0, ( )单调递增;
∈ π当 4 , π 时,π < +
3π
4 <
7π
4,则
′( ) < 0, ( )单调递减.
π 2 1 2 π
所以 ( )max = 4 = π,所以 ≥ π,解得 0 < ≤ 2e4,2e4 2e4
π
所以实数 的取值范围是 0, 2e4 .
②证明:由①知,因为 ( )在 0, π 内有两个不同的零点 1, 2,
所以方程 ( ) = 1 在 0, π
1
内有两个根 1, 2,即 1 = 2 = .
( ) 0, π π π因为 在 4 上单调递增,在 4 , π 上单调递减,所以 0 < 1 < 4 < 2 < π.
欲证 1 + 2 < π,即证 2 < π 1.
π2 > ,
因为 4π 且 ( )
π
在 4 , π 上单调递减,π 1 > 4 ,
所以只需证明 2 > π 1 ,即证 1 > π 1 .
> π sin 1 > sin π 欲证 ,即证 1 1 11 1 e 1 eπ 1 ,即e 1 > eπ 1,
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eπ 1 > e 1 < π只需证 ,即证 1 2,而该式显然成立.
欲证 1 + 2 >
π π
2,即证 2 > 2 1.
π
因为2 1 ∈
π , π π4 2 ,所以只需证 2 < 2 1 ,
sin π π
即证 = sin 1 π 2 11 e 1 < 2 1 = π ,即需证 tan
2 1
1 < e 2.e2 1
1 2tan
( ) = tan ∈ 0, π ′( ) = cos2 = 1 sin2 令 π,2 4 ,则 2 π π > 0,e 2 e 2 e2 2cos2
所以 ( ) π在 0, 4 上单调递增,所以 ( ) <
π
4 = 1,则原不等式得证.
π
故2 < 1 + 2 < π.
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