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2024-2025 学年北京市大兴区高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。

1 → 0 (1+ ) (1).若 = 2，则 ′(1) =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
2.已知等比数列{ }满足 1 = 1， 5 = 4，则 2 3 4 =( )
A. 8 B. 16 C. 8 D. 16
3.已知数列{ }满足 1 = 1， = 1 + ( ≥ 2)，则 4 =( )
A. 5 B. 10 C. 11 D. 12
4.若函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则 ( )的极小值点是( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
5.已知数列{ 2 }的前 项和 = ，则{ }是( )
A.公差为 2 的等差数列 B.公差为 3 的等差数列
C.公比为 2 的等比数列 D.公比为 3 的等比数列
6.设{ }为等比数列，则“存在 > > ，使得 > > ”是“{ }为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.设 ( ) = 3 3 + 有唯一零点，则 的取值范围是( )
A. ( 2,2) B. ( ∞, 2) ∪ (2, + ∞)
C. (2, + ∞) D. ( ∞, 2)
8.若 1， 2， 3， 4， 5是等差数列，1 和 3 为此等差数列中的两项，则 5的值不可能是( )
A. 4 B. 0 C. 3 D. 6
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9.设曲线 ( ) = 2 1( > 0)在点( , ( ))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ( )，则当 ( )取得最
小值时， 的值为( )
A. 33 B.
1
2 C. 2 D. 3
10.在下列不等式中，当 ≥ 1 时，关于 的不等式对任意的 ∈ (0, + ∞)不能恒成立的是( )
A. > B. > 3 C. > 1 D. > 1ln( )
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.数列{ }满足 +2 = +1 + ，且 1 = 2 = 1，则 5 = ______．
12.将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第 时，原油的温度(单位：℃)
为 ( ) = 2 7 + 15(0 ≤ ≤ 8)，则第 3 时，原油温度的瞬时变化率为______℃/ ，此原油温度瞬时变
化率的意义是______．
13.已知 1， 2， 3是公比不为 1 的等比数列，将 1， 2， 3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件
的一组 1， 2， 3的值依次为______．
14 .已知函数 ( ) = ( ∈ ).当 = 0 时， ′( ) = ______；若曲线 = ( )有两条过坐标原点的切线，
则 的取值范围是______．
1
15.已知函数 ( ) = , 0 < ≤ 1, 1, > 1. 数列{ }满足 1 > 0，当 ≥ 2 时， = ( 1).给出下列四个结论：
①若 1 = 2，则 2 = 5；
②若 3 = 2，则 1可能有 4 个不同的取值；
③对于任意的 1 > 2，不一定存在正整数 ，使得 ∈ ， + = ；
④对于任意的正整数 ≥ 2，一定存在实数 1 > 1，使得 ∈ ， + = ．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + 3 2．
(Ⅰ)求 ( )在区间[ 2,1]上的最值；
(Ⅱ)在直角坐标系内，画出 ( )的大致图象；
(Ⅲ)直接写出一个 值，使 ( )在区间( , + 5)上存在最大值．
17.(本小题 14 分)
已知等差数列{ }满足 2 + 4 = 10， 4 3 = 2．
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
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(Ⅱ)求数列{ }的前 项和 的最大值；
(Ⅲ)若等比数列{ }满足 2 = 4， 3 = 6，问：{ }是否存在最大值与最小值？说明理由．
18.(本小题 14 分)
已知无穷数列{ }满足 1 = 1， +1 = 2 + 1，令 = + 1．
(Ⅰ)求 1， 2的值；
(Ⅱ)证明：数列{ }是等比数列，写出数列{ }的通项公式；
(Ⅲ)记数列{ }的前 项和为 ，求 ，并判断数列： 1， 2， 3，…， ，…的单调性．
19.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = ( 2 ) ．
(Ⅰ)若 ′(0) = 1，求 的值；
(Ⅱ)设 ∈ ，讨论函数 ( )的极值点个数；
(Ⅲ)若 ( )在区间(1,2)上存在极值，求实数 的取值范围．
20.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ．
(Ⅰ)设曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线为 ．
( )求切线 的方程；
( )证明：除切点外，曲线 = ( )在切线 的下方；
(Ⅱ)设 > 0，令函数 ( ) = ( ) ( ) ，求函数 ( )的单调区间．
21.(本小题 15 分)
给定项数为 ( ≥ 3)的数列{ }，若数列{ }满足| +1 | ≤ | +1 +2|( = 1,2, …, 2)，则称数列
{ }具有性质 ，定义 = | +1 |( = 1,2, …, 1)．
(Ⅰ)判断数列 1，2，4，6 是否具有性质 ，并说明理由；
(Ⅱ)若数列{ }具有性质 ，求证：{ }为等差数列的必要不充分条件是{ }为常数列；
(Ⅲ)已知数列{ }共有 项，各项互不相等，对于 ≤ ( ∈ )， ∈ {1,2,3, …, }，若{ }具有性质 ，记 1 =
1 + 2 + … + 1，且 1 = + 2，求 的所有取值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.5
12. 1 第 3 附近，原油温度大约以 1℃/ 的速率下降
13.1， 2，4(答案不唯一)
14.1 ( ∞, 4) ∪ (0, + ∞)
15.①③④
16.解：( ) ′( ) = 3 2 + 6 = 3 ( + 2)，
因为 2 ≤ ≤ 1，
当 2 ≤ ≤ 0 时， ′( ) ≤ 0， ( )单调递减，当 0 < ≤ 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
故 = 0 时，函数取得最小值 (0) = 0，
因为 ( 2) = 4， (1) = 4，
故函数的最大值为 4，最小值为 0；
(Ⅱ)当 →+∞时， ( ) →+∞，当 → ∞时， ( ) → ∞，
( )的大致图象如图所示：
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(Ⅲ)当 < 2 < + 5，即 7 < < 2 时， ( )在区间( , + 5)存在最大值，
故符合题意的一个 为 5(答案不唯一)．
17.解：(Ⅰ)等差数列{ }满足 2 + 4 = 10， 4 3 = 2，
设公差为 ，则 2 1 + 4 = 10， = 2，
解得 1 = 9， = 2，
即有 = 9 2( 1) = 11 2 ；
(Ⅱ) 1数列{ }的前 项和 = 2 (9 + 11 2 ) =
2 + 10 = ( 5)2 + 25，
可得 = 5 时， 取得最大值 25；
(Ⅲ)若等比数列{ }满足 2 = 4， 3 = 6，设公比为 ，
1
可得 2 = 3， 3 = 1，即有 = 3，
= 3 × ( 1 3 )
2 = 27 × ( 1 3 ) ，
当 1为奇数时， < 0，且 = 27 × 3 递增，可得 1 = 9 最小；
1
当 为偶数时， > 0，且 = 27 × 3 递减，可得 2 = 3 最大，
则{ }存在最大值 3 与最小值 9．
18.解：(Ⅰ)无穷数列{ }满足 1 = 1， +1 = 2 + 1，令 = + 1，
可得 1 = 1 + 1 = 2， 2 = 2 + 1 = 2 + 1 + 1 = 4；
(Ⅱ)证明：由 +1 = 2 + 1，可得 +1 + 1 = 2( + 1)，
即 +1 = 2 ，
则数列{ }是首项和公比均为 2 的等比数列，
则数列{ }的通项公式为 = 2 ；
(Ⅲ)记数列{ }的前 项和为 ，

即有 = (2 1) + (4 1) + . . . + (2 1) = (2 + 4 + . . . + 2 ) =
2(1 2 )
1 2 = 2
+1 2 ，
由 +2 +1 +1 = 2 2 ( + 1) 2 + 2 + = 2 +1 1 > 0，即 +1 > ，
可得数列{ }为递增数列．
19.解：(Ⅰ)由函数 ( ) = ( 2 ) ，得 ′( ) = ( 2 + 2 ) .因为 ′(0) = 1，所以 = 1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ′( ) = ( 2 + 2 ) ，令 ′( ) = ( 2 + 2 ) = 0，
由 > 0，解得 2 + 2 = 0.①当 ≤ 1 时，即 = 4 + 4 ≤ 0，此时 2 + 2 ≥ 0，
则 ′( ) ≥ 0，所以 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增，故没有极值点．
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②当 > 1 时，即 = 4 + 4 > 0， 2 + 2 = 0，有两个不等的实根 1 = 1 1 + , 2 = 1+
1 + ．
所以在( ∞, 1 + 1 + )和( 1 + 1 + , + ∞)上， ′( ) > 0， ( )单调递增；
在( 1 1 + , 1 + 1 + )上， ′( ) < 0， ( )单调递减．
所以 1 = 1 1+ 是 ( )的极大值点， 2 = 1+ 1 + 是 ( )的极小值点．
综上，当 < 1 时， ( )没有极值点；当 ≥ 1 时， ( )有 2 个极值点．
(Ⅲ)若 ( )在区间(1,2)上存在极值，由(Ⅱ)知，
需满足 1 < 1+ 1+ < 2，解得 3 < < 8，所以 的取值范围是(3,8)．
20.解：(Ⅰ)( )由已知， ( ) = ， ′( ) = 1 ，
所以 (1) = 0， ′(1) = 1，则切线方程为 0 = 1，即 1 = 0；
( )证明：等价于要证 ≤ 1 在(0, + ∞)上恒成立，当且仅当 = 1 时取等号，
设 ( ) = 1 1 1，则 ′( ) = 1 = ，
∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )递减， ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )递增，
所以 ( ) = (1) = 0，故 1 ≥ 0 恒成立当且仅当 = 1 时取等号，
即 ≤ 1 在(0, + ∞)上恒成立，当且仅当 = 1 时取等号，原命题得证；
(Ⅱ)由已知， ( ) = ， > 0， > 0 且 ≠ ，
1
( ) ( ) ( ) = = + 所以 ′ ( )2 ( )2 ， > 0， > 0 且 ≠ ，
设 ( ) = + ，则 ′( ) = 1 ( + 1) + = ，
∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )递增， ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )递减，
所以 ( ) < ( ) = 0，即 ′( ) < 0 恒成立，
故 ( )的单调减区间为(0, )和( , + ∞)，无单调增区间．
21.解：( )数列为 1，2，4，6，计算相邻差的绝对值： 1 = |2 1| = 1 2 = |4 2| = 2 3 = |6 4| = 2，
验证性质 ： 1 ≤ 2(1 ≤ 2，成立) 2 ≤ 3(2 ≤ 2，成立)因此，数列具有性质 ；
(Ⅱ)证明：必要性：若数列为等差数列，则公差固定，故 为常数列．不充分性：
构造反例，如数列 2，3，5，7，其差绝对值为 1，2，2，是常数列，但原数列不是等差数列，说明常数列
不充分；
(Ⅲ)已知数列元素为 1 到 的排列，且满足性质 ， 1 = + 2，通过分析构造，
当 = 5 时，存在数列 2，3，4，5，1，其差绝对值为 1，1，1，4，和为 7 = 5 + 2，满足条件，
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验证其他 值(如 = 3，4，6 等)均无法满足条件，故唯一解为 = 5．
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