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2024-2025 学年江苏省宜兴市高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = 1+2 .已知 2 ( 为虚数单位)，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
2.已知向量 = ( 1,1)， = (1,3)，若 ⊥ ( + )，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3.一个边长为 2 的正方形水平放置，则该正方形的直观图的周长是( )
A. 2 2 B. 4 C. 4 2 D. 6
4.记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 3, = 60°, 2 + 2 = 3 ，则 =( )
A. 4 2 B. 2 2 C. 8 D. 2
5.下列命题中正确的是( )
A.如果直线 和平面 满足 // ，那么 与 内的任何直线平行
B.如果直线 ， 和平面 满足 // ， // ，那么 //
C.如果直线 ， 和平面 满足 // ， // ，那么 //
D. ∩ = ， ， ， // ，那么 // //
6.已知向量 = (3,4)， = (1,0)， = + ，若< ， >=< ， >，则 =( )
A. 6 B. 5 C. 5 D. 6
7.在△ 1 3中，已知 = 4， = 5，且△ 最大边的长为 17，则△ 的最小边为( )
A. 1 B. 5 C. 2 D. 3
8.正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， ， 分别为 1， ， 1的中点，过 ， ， 三点的平面截
正方体所得截面的面积为( )
A. 2 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = 1 + ( 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )

A. | | = 2 B. = 2
C. 2 = 2 D. 在复平面内对应的点在第四象限

10 .设△ 中角 ， ， 所对的边为 ， ， ， = 2 3， = 3，则下列说法正确的是( )
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A.若 = 4，则 = 2
B.若 = 5，则满足条件的三角形有且只有一个
C. △ 面积的最大值为 3 3
D. △ 周长的最大值为 6 3
11.三棱锥 的三条侧棱长均为 1，且两两成 30°角， 为 中点， ， 分别为 ， (不含端点)上
动点，则下列说法正确的是( )
A.直线 与 为异面直线
B.当 ， 分别为所在棱中点时，直线 / /平面
C.当 ， 分别为所在棱中点时，平面 将三棱锥分成两部分体积之比为 1：4
D. + + 的最小值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.写出一个复数 ，使其满足：实部和虚部互为相反数，且| | = 2，则 = ______．
13.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它
1 2 2 2
填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是 = 4 [
2 2 ( + 2 )
2]，其中 ， ，
是三角形的三边， 是三角形的面积.设某三角形的三边 = 3, = 2, = 5，则该三角形的面积 =
______．
14.如图，三个边长均为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上， 3， 3是边 3 3的两个三等分点， 3
分别交 1 1、 2 2于 1、 2， 3分别交 1 1、 2 2于 1、
3
2，则 =1 ( 2 + 2 ) =
______. (注： =1 = 1 + 2 + + )
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知虚数 = 1 + 是关于 的方程 2 + 4 = 0 的一个根( 是虚数单位， > 0， ∈ )．
(1)求 + 的值；

(2) = ( 求证： 22 2 ) ；并求( )
2025
2 的值．
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16.(本小题 15 分)
设△ 中角 ， ， 所对的边为 ， ， ，已知 = 7, = 3, = 2 3．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 sin( )的值．
17.(本小题 15 分)
在△ 中， = 2, ∠ = 60°, = 2 , 3
= 12
, = 1 2 ， 与 相交于点 ．
(1)若 = 3，求| |；
(2)若 = 12，求边 的长；
(3)若 = 2，设 = ，求实数 的值，并求| |．
18.(本小题 17 分)
如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 (及其内部)以 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的.已知
= 2， = 4， 是 上的中点， 是 的中点， 与 交于点 ．
(1)求该几何体的体积；
(2)求证： //平面 ；
(3)若 是 上的一点，且满足平面 //平面 ，求 sin∠ 的值．
19.(本小题 17 分)
定义：对于非零向量 = ( , )，若函数 ( ) = + ，则称 ( )为向量 的“伴生函数”，向
量 为函数 ( )的“源向量”.记平面内所有向量的“伴生函数”构成的集合为 ．
(1)已知 ( ) = cos( + ) + 2 ( ∈ )，若函数 ( ) ∈ ，求函数 ( )的“源向量”的模的取值范围；
(2)设△ 中角 ， ， 所对的边为 ， ， ，向量 = ( , + )的“伴生函数”为 ( )，且当
= 时， ( )取得最大值．
①若 = 2，设 为△ 的重心，求 的最大值；
②设 是△ + 外心，且
= ，求实数 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 2 (答案不唯一)
13. 112
14.72
15.解：(1)虚数 = 1 + 是关于 的方程 2 + 4 = 0 的一个根， > 0，
所以( 1 + )2 ( 1 + ) + 4 = 0，整理得：(5 2 + ) (2 + ) = 0，
5 2 + = 0，由 > 0， ∈ ，解得 = 2， = 3，
2 + = 0
所以 + = 2 + 3．
(2)证明：由(1)可知 = 1 + 3 ，
( 2 )
2 = ( 1 32 + 2 )
2 = 14
3 3 2 1 3
2 + 4 = 2 2 ，


所以2 = (
)22 ，
( )3 = ( 1 3 1 3 1 3 22 2 + 2 )( 2 2 ) = 4 4 = 1，
( 所以 )20252 = [(
)3]6752 = 1．
16. (1) 2 7 3解： 因为 = 7, = 3, = 3，所以由正弦定理 = 得 2 = ，sin 3
7 = 3 3 3 3所以 2 ，所以 = 14 ．
(2)因为 = 7， = 3 2 ， = 3，
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由余弦定理 2 = 2 + 2 2 可得 49 = 9 + 2 2 × 3 × ( 12 )，
所以 2 + 3 40 = 0，
所以 = 8(舍去)或 = 5．
(3)因为 = 2 3，所以 + = 3，
又 0 < < ，0 < < ，所以 0 < < 3，

所以 sin( ) = sin(2 3 ) = 2 3 2 3，
3 3 13
由(1) = 14 ，所以 = 14，
所以 2 = 2 = 2 × 3 3 1314 × 14 =
78 3
196 ，
2 = 1 2 2 = 1 2 × 27 71196 = 98，
所以 sin( ) = = 78 3 × 1 71 3 8 3196 2 98 × 2 = 49 ．
17.解：(1)在△ 中， = 2, ∠ = 60°, = 2 13 , = 2 , =
1 2 ， 与 相交于点 ，
因为 = 2, ∠ = 60°, = 2 , = 1 , = 1 3 2 2
，
所以 = 1， = 2，∠ = 60°，
2 2 2 2
在△ 60° = + 1+4 1中，由余弦定可得 2 = 2×1×2 = 2，
解得： = 3，所以| | = 3；
(2)根据平面向量的减法法则和中点向量可得 = ， = 1 ( 2 +
)，
根据平面向量的数量积公式可得 = ( ) [ 1 ( + 2 )]
1
= ( + 2
)
1 2 1 2 1 1 1
= ( | 2 3 ||
| × + | |2 | 2 3 2 |
2 × 2 2 | || |)
= 1 ( 2 | 2 3 | +
2 2 1
3 | | 2 2 |
|) = 12，
化简得：4| |2 + | | 18 = 0，
解得：| | = 2 或 94 (舍)，则 = 2；
(3)因为 = 2 , = 1 3 2 ，
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所以 = 1 2 ( +
) = 1 (2 + 3 2 2 )，

又 = = ，所以 ，
所以 = + 3 4 ，又 ， ， 三点共线，
3 4
所以 + 4 = 1 = 7，
由 = 2 可得△ 3为正三角形，所以 = 2 × 2 = 3，
所以| | = 4 37 ．
18.解：(1) 1根据题意可知，该几何体的体积为底面半径为 2，高为 4 的圆柱体积的3，
1 16
所以该几何体的体积为 23 × × 2 × 4 = 3 ；
(2)证明：连接 ，因为 是 上的中点，则 ⊥ ， 是 中点，
又 是 的中点，所以 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(3)连接 ， ，因为平面 //平面 ，
设平面 ∩平面 = ，又平面 ∩平面 = ，
则 // ，因为 是 的中点，所以 为 的中点， 为 的中点，
因为平面 ∩平面 = ，又平面 ∩平面 = ，平面 //平面 ，
所以 // ，又∠ = 120°，所以∠ = 60°，
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因为 = 1， = 2，
1 2
在△ 中，由正弦定理可得 =sin∠ = sin∠ ，所以sin∠ 3，2
所以 sin∠ = 3，4
因为 // ，所以∠ = ∠ ，所以 sin∠ = 3．4
19.解：(1) ( ) = cos( + ) + 2 ，
可化为 ( ) = + 2 = + (2 + ) ，
由定义可得函数 ( )的“源向量” = ( , 2 + )，
所以| | = ( )2 + (2 + )2 = sin2 + 4 + 4 + cos2 = 5 + 4 ，
因为 ∈ ，所以 1 ≤ ≤ 1，所以 1 ≤ 5 + 4 ≤ 9，
所以 1 ≤ | | ≤ 3，
所以函数 ( )的“源向量”的模的取值范围为[1,3]；
(2)向量 = ( , + )的“伴生函数” ( ) = + ( + ) ，
设△ 的外接圆半径为 ，
则 = 2 ， = 2 ， = 2 ，
所以 ( ) = + 2 ( + ) = + 2 ( + ) ，
所以 ( ) = + 2 = ( + ) = 2 ( + 4 )，
当 = 时， ( )取得最大值，且 ∈ (0, )，

所以 + 4 = 2，故 = 4，
①延长 与边 交于点 ，
因为 为△ 的重心，所以 为 的中点，
= 1且 ， + = 0，3 =
1
2
，
2 2所以 = = ( + )( + ) = ( + )( ) = ，
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所以 = 1
2
( 1 )2 = 1
2
1
2
9 2 9 4 ，
又 = 1 + 1 2 2 ，|
| = ，| | = = ， 4，
2 1 2 2
所以 = ( 2
+ 1 )2 = 12 4
+ 1 4
+ 1 2
= 1 2 + 1 2 24 4 + 4 ，

由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，因为 = 2， = 4，
所以 2 = 2 + 2 2 ，即 2 + 2 = 2 + 2，
由基本不等式可得 2 + 2 ≥ 2 ，所以 2 ≥ (2 2) ，
当且仅当 = = 2 + 2时等号成立，
故 ≤ 2 + 2，当且仅当 = = 2 + 2时等号成立，
所以
2
= 1 2 + 1 2 + 2 14 4 4 = 4 (2 + 2 2 ) ≤
3+2 2
2 ，
1 2 1 2 1 3+2 2 1 2 3
所以 = 9 4 ≤ 9 × 2 4 × 2 = 9 ，
当且仅当 = = 2 + 2时等号成立，
所以 2 3的最大值为 9 ；
②因为设 是△ 外心，所以| | = | | = | | = ，
∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
设∠ = ，∠ = ，则∠ = 2 ，∠ = 2 ，
cos∠ cos∠ 因为 sin∠ + sin∠ = ，

所以 ( ) + ( sin sin ) =
，

所以 ( ) + sin sin (
) = ，

所以sin
+ sin =
+ + sin sin ，
2cos∠ + 所以 2sin sin cos∠ =
2 + 2 2sin + sin ，
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所以sin ( 2 1) +

sin ( 2 1) = ，

所以sin (1 2
2 1) + 2sin (1 2 1) = ，
所以 + = ，即 sin( + ) = ，
又 sin( + ) = sin(∠ + ∠ ) = sin∠ ，
因为∠ = 24，所以 = sin 4 = 2 ．
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