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2024-2025学年浙江省浙里特色联盟高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知平面，直线，满足，，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
6.在中，角，，的对边为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为( )
A. B. C. D.
8.古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与夹角的余弦值为
D. 若，则在上的投影向量为
10.已知正方体的棱长为，是中点，是的中点，点满足，则下列命题正确的是( )
A. 多面体的体积是随的增大先减小后增大
B. 时，面面
C. 三棱台的体积为
D. 时，平面截该正方体所得截面的面积为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列命题正确的是( )
A. 若，则的外接圆的面积为
B. 若且有两解，则的取值范围为
C. 若且为锐角三角形，则的取值范围为
D. 若且，为的内心，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.已知平面向量的夹角为，且，则的最小值为______．
14.在直四棱柱中，四边形是矩形，，点为线段的中点，点是线段上的一点，点是底面内的一点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，．
若是实数，求的值；
若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16.本小题分
在平行四边形中，，，，，分别为和上的动点，且，．
若，，请用，表示；
若，与相交于点，求的值；
若，求的取值范围．
17.本小题分
在中，角、、对应的边分别为、、，已知．
求角的值；
当边与边上的中线长均为时，求的周长；
若为锐角三角形，求的取值范围．
18.本小题分
已知为奇函数，且定义域为，．
求的值，判断的单调性，并用定义法证明；
若，求的取值范围；
若存在两个不相等的实数，，使，且求实数的取值范围．
19.本小题分
设非零向量，并定义．
若，求；
写出之间的等量关系，并证明；
若，求证：集合是有限集．
参考答案
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14.
15.解：，
，
，解得；
，
在复平面内对应的点在第四象限，
，解得，
故的取值范围为．
16.解：若，，则，．
若，则、分别是、的中点，
与相交于点，设，则，所以．
因为，且，所以，解得，即的值为．
根据题意，可得．
因为，．
所以，
结合，化简得，
因为，关于的函数在上是增函数，
所以的最小值为，最大值为，可得的取值范围是．
17.解：由正弦定理及，得，
所以，
又，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以．
设的中点为，则，
因为，
所以，
所以，
在中，由余弦定理知，，
由解得，
所以的周长为．
因为为锐角三角形，
所以，解得，
由正弦定理知，，
因为，所以，，
所以，
故的取值范围为．
18.解：因为为奇函数，定义域为，
所以，得，
在定义域上为增函数，证明如下：
任取，，且，
，
则，
所以，在定义域上为增函数．
由可得，
解得，
故的范围为；
因为，
所以，
则，
因为，
由可得，
即，
令，，
则，存在实数，使得，
只需或，
即或，
解得，
故的范围为
19.解：，，
，
，，
所以，；
证明：，
，
，
，
所以有，
所以，
所以；
证明：结合可知，
以此类推，，
所以集合只有一个元素，为有限集．
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