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2025 年全国高中数学联赛（四川预赛）试题
（考试时间：2025 年 5 月 18日 9:00~11:00）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
{a } a 1 a 1 a1.已知数列 n 满足： 1 ， n 1 n (n N
*)，则a2025 . 1 3an
2.已知实数m,n满足：3m 3m 9， n log3(n 1) 3，则m n的值为 .
x2 y2
3.已知 O : x2 y2 4，点 F 为椭圆 : 1的右焦点，过点 P( 2, 2)作
5 4
O的切线与椭圆 交于 A、B两点.则△ ABF 的周长为 .
4.化简sin3 20 sin3 40 sin380 ，则其值为 .

5.正四面体 ABCD 的棱长为 4，空间动点 P 满足 | PA PB PC PD | 4 ，则

AP AD的最大值与最小值之差为 .
6.设复数 z满足 | z | 1，则 | z7 z 5 3z3 3z |的最大值为 .
7.记 X {1,2, ,80}，Y {(a,b) | a,b X ,且 a b在三进制加法下不进位}，则集
合Y 中的元素个数为 .
8.称正整数n为“好数”，是指平面上存在 10 条直线，这些直线满足：无任何 3 条交于
一点，且它们一共出现n个交点. 则所有“好数”n的和为 .
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
9（. 本题满分 16分）已知抛物线 : y x2 上三个不同点 A(1,1)、B、C满足：AB AC，
过B、C分别作抛物线 的切线交于点P，求点P的轨迹方程.
10.（本题满分 20分）设四面体 ABCD满足: AD、BD、CD两两垂直，点O、H
分别是△ ABC的外心和垂心.
| AD |2 | BD |2 |CD |2 |OD |2
求证： 是定值.
| AH |2 | BH |2 |CH |2 |OH |2
11.（本题满分 20分）给定奇质数 p，设数列{ fn}满足：
f1 f2 1，且 fn 2 fn 1 fn (n N
*) .
p 1
求证： p | (p 1)! fn .
n 1 n

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