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2025年中考数学计算题系列：解一元二次方程与分式方程
1．解方程：．
2．用适当的方法解下列方程.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．解方程：
(1)；
(2)
4．解方程
(1)．
(2)．
5．解一元二次方程：
(1)
(2)
6．解方程：
(1)
(2)
7．解方程：
(1)；
(2)．
8．解方程：．
9．计算：
(1)；
(2)．
10．解方程：
(1)
(2)．
11．解方程：
(1)；
(2)．
12．解方程：
(1)；
(2)．
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．解方程：．
15．解分式方程：
(1)；
(2)．
16．解分式方程：
17．解方程：．
18．解方程：．
19．解方程：
(1)
(2)
20．解方程：
(1)
(2)
21．解下列分式方程：
(1)
(2)
《2025年中考数学计算题系列：解一元二次方程与分式方程》参考答案
1．，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意化简得到，再利用直接开方法进行计算即可．
【详解】解：，
，
解得，．
2．(1)
(2)
(3)方程没有实数根
(4)
【分析】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法、因式分解法、公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．
（1）利用直接开平方法求出解即可；
（2）利用因式分解法求出解即可；
（3）先判断方程根的情况，可得到此方程没有实数根；
（4）利用公式法求出解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
，
，
此方程没有实数根；
（4）解：，
，
，
，
．
3．(1)原分式方程无解
(2)，
【分析】本题考查了解分式方程和一元二次方程的知识，掌握以上知识是解题的关键；
（1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）找出，，的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【详解】（1）解：原式去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是方程的增根，
∴原分式方程无解；
（2）解：，，
∴，
∴，
∴， ；
4．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法、因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
， ；
（2）解：
或
，．
5．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．
（1）用配方法求解，将方程转化为完全平方式来求解；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
或，
．
6．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解一元二次方程配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可．
（2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
则，
所以；
（2）解：，
，
或，
解得．
7．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程－公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
∴，．
8．，．
【分析】本题考查了高次方程的解法，运用直接开配方法进行解答即可，掌握直接开配方法是解题的关键．
【详解】解：
或
∴，．
9．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
；
（2）解：，
，
，
或，
．
10．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
（1）先移项，再运用因式分解法求解；
（2）利用公式法求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，．
11．(1)，；
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（1）利用因式分解法求解即可；
（1）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：因式分解得，
∴，，
解得，；
（2）解：因式分解得
∴，，
解得，．
12．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可；
（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练计算是解题的关键．
（1）利用因式分解法，即可解答；
（2）利用直接开平方法，即可解答．
【详解】（1）解：，
因式分解得．
得，或，
；
（2）解：
移项得．
二次项系数化为1得．
由此可得，
．
14．
【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘，将分式方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解是．
15．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了分式方程的解法，属于基础题目，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）方程两边同时乘以，约去分母化为整式方程，求出整式方程的解并检验后即得结果；
（2）方程两边同时乘以，约去分母化为整式方程，求出整式方程的解并检验后即得结果．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的根；
（2）解：
方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
16．
【分析】此题考查了解分式方程，将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可．
【详解】解：方程变形得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
17．
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验；分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解： ，
两边同乘，得，
整理，得，
∴，
∴或，
经检验，不是原方程的解，是原方程的解，
∴原方程的解是：．
18．无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解分式方程并检验即可．
【详解】解：方程两边乘，得．
解得：．
检验：当时，，
因此不是原分式方程的解．
所以原分式方程无解．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式方程，熟记解方程步骤，去分母，去括号，移项合并，系数化１，即可求解．
（1）方程两边同时乘去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
（2）方程两边同时乘去分母，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：
去分母得：
去括号得：
移项合并解得：
经检验，是原方程的解
所以；
（2）
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
解得：
经检验，是原方程的解
所以．
20．(1)
(2)无解
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为：
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验：是增根，
∴原方程无解；
21．(1)无解
(2)
【分析】本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
（1）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边都乘得：，即，
解得：
检验：把代入得，
∴是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解；
（2）解：
方程两边都乘得：，即，
∴，即，
∴，
解得：，
检验：把，代入，把，代入，
∴是原分式方程的增根，是原分式方程的解．
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