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2025年中考数学压轴题系列：二次函数
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，其顶点为D．E是y轴正半轴上一点，直线交抛物线L的对称轴于点P，已知，连接，，交抛物线L的对称轴于点F．
(1)求直线的函数表达式；
(2)连接，，当和面积相等时，求a的值；
(3)作点D关于点F的对称点M，作点C关于的对称点N，把抛物线L沿x轴翻折后，经适当的平移得到抛物线，若抛物线L恰好同时经过点M，N．试探究抛物线L和抛物线是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
2．如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值；
(3)如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值．
3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，抛物线经过A，B两点，点在第一象限的抛物线上．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)如图1，过点作轴于点，交于点．是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点坐标为，交于点．
①当与的面积比为时，求点的坐标；
②在①的条件下，若点为抛物线上位于对称轴右侧的点，，求直线的解析式．
4．在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数的图象和性质进行了探究．
(1)当时，
①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质；
②如果关于x的方程有四个解，请直接写出对应m的取值范围．
(2)在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点”，将过点平行于x轴的直线记为p，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q，当Q中恰好有10个“整点”时，求a的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且．
(1)求抛物线（）的表达式；
(2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
6．【发现问题】
投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，李明发现实心球从出手到落地的过程中，
实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
李明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的数据如表：
水平距离 0 2 4 5 6 8 9
竖直高度 2 2
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，李明发现其图象是二次函数的一部分．
【解决问题】
(1)在李明投掷过程中，出手时实心球竖直高度是________m，实心球在空中的最大高度是________m；
(2)求满足条件的二次函数的解析式；
(3)根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分10分，李明在此次考试中能否得到满分，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P．
(1)如图1，若抛物线过原点，求抛物线的解析式；
(2)如图2，动直线经过（1）中抛物线的顶点，与其交于另一点C，与y轴交于点B，若，求出B点坐标；
(3)如图3，若，直线交抛物线y于点Q，令点Q到x轴的距离为d，
①请直接写出d关于a的函数关系式_________；
②令直线与y轴的夹角为，当时，d的取值范围是_________．
8．如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，边交轴于点，抛物线过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)若为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标；
(4)为线段上的点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点，又以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，当点运动到点后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点的坐标．
9．[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值．
10．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于平面内点和点．将点绕点旋转180°后得到的点，称是关于点的“对称关联点”，且满足，．
对于函数，其图象上所有点关于点的“对称关联点”所构成的新函数，函数成为原函数关于点的“对称关联函数”．
例如：和是关于点的“对称关联点”，函数和是关于点的对称关联函数．
(1)已知点，当时，点关于点的“对称关联点”的坐标为__________．
(2)若点关于点的“对称关联点”在反比例函数的图象上，求出的值．
(3)当时，二次函数的图象顶点为A，关于点的“对称关联函数”的图象顶点为．
①若，求的值；
②已知点关于点的“对称关联点”为点，当和组成的图象与线段有一个公共点时，请直接写出的取值范围．
11．如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形．设点E的横坐标为m，矩形的周长为L．
①求L关于m的函数表达式；
②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围．
12．在某一风景如画的景区内，横跨着一座优雅的拱桥，其横截面顶部轮廓宛若一条流畅的抛物线，展现了拱桥独特的建筑美学与力学之魅．我们以桥的一端作为起点，标记为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示．已知在距离原点恰好4米的位置，桥拱攀升至其最高点，距离地面2米．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)若工人师傅在桥下放置两个同样大小的正方形“脚手架”（正方形和正方形），如图2所示，其中点、点恰好在抛物线上．已知边长为1.5米，则两个正方形“脚手架”的距离（的长）为多少？
(3)若工人师傅想在拱桥下摆放4个同样大小的正方形“脚手架”，则这个“脚手架”的边长最大为多少？（结果精确至0.01米，参考数据：，）
《2025年中考数学压轴题系列：二次函数》参考答案
1．(1)直线的函数表达式为
(2)
(3)抛物线L和抛物线是交于定点
【分析】（1）由二次函数解析式求出A、B两点坐标，由求出点E的坐标，用待定系数法即可求出直线的函数表达式；
（2）先求出点P的坐标；由面积相等得，则设直线的解析式为，把点B的坐标代入可求得t的值，求得直线的解析式，进而求得点C的坐标，代入抛物线解析式中求得a的值；
（3）求出抛物线L关于x轴对称的抛物线为，再设平移后得到的抛物线；由B、C的坐标求出直线的解析式，则可求得点F的坐标；由对称可求得点M、N的坐标，再分别代入，可求得的解析式，把抛物线L和抛物线的解析式联立，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，，
，，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，把A、E两点坐标分别代入，得，
解得：，
直线的函数表达式为；
（2）解：，
抛物线L的对称轴为直线，
，
和面积相等，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
，
把代入，得，
解得：；
（3）解：抛物线L和抛物线是交于定点．理由如下：
，
抛物线L的对称轴为直线，顶点为，
抛物线L关于x轴对称的抛物线为，
设平移后得到的抛物线，如图：
又，，
直线的解析式为，
，
点M与点D关于点F对称，
，
点N与点C关于对称，
，
把，代入的解析式，
得：，
解得：，
抛物线，
联立得：，
解得：，，
抛物线L和抛物线是交于定点．
【点睛】本题是函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的变换，解方程组，正切函数等知识；二次函数图象的变换是解题的关键与难点．
2．(1)
(2)或
(3)的最小值为；
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，求得，把代入，得，即可求解；
（2）过点Q作于G，过点A作于H，当与面积相等时，则，求得，，，然后利用勾股定理求解即可；
（3）先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得．把把向下移动4个单位，得到，连接，当、N、B三点共线时，最小，最小值为，则最小值为，求出的长即可；再用待定系数法求出直线解析式，把代入求出值即可．
【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，
∴，解得：，
把代入，得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，
设，
过点Q作于G，过点A作于H， 如图1，
当与面积相等时，则，
∴，
∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，与直线l交于点M．
∴，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，，
∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，
∴，
∴或．
（3）解：把代入，得，
∴，
设直线解析式为，把代入，得
，解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∴，
把代入 ，得，
∴，
∴，
把向下移动4个单位，得到，连接，如图2，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴当、N、B三点共线时，最小，最小值为，
∴的最小值为2；
设直线解析式为，
把、分别 代入，得
，解得：，
∴直线解析式为，
把代入，得
，
解得：．
【点睛】本题考查等定系数法求函数解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，一次函数图象性质，直线的平移，两点间线段最短，此题属二次函数综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键．
3．(1)
(2)
(3)①或；②或
【分析】（1）运用一次函数与坐标轴的交点求出的值，代入二次函数即可求解；
（2）过B作于点H，设点，证明，得，得，解得，即得：
（3）①由与的面积比为，得，设， ， ，，，得，解得或，得或；②过点D作，交射线于点G，过点G作轴，过点D作于点H，交y轴于点J，过点F作于点I，证明,得，当时，得， 解析式为；当时，得，得．
【详解】（1）解：中，
令，
则，
解得，
令，
则，
∴，，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：过B作于点H，
设点，
则，
∴，，，
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴．
（3）①∵与的面积比为，且点B到的高相同，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∴，，
又，
∴。
解得或，
∴或，
∴或
②过点D作，交射线于点G，过点G作轴，过点D作于点H，交y轴于点J，过点F作于点I，
则，轴，轴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，
当时，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设解析式为，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，或．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求一次函数和二次函数解析式，一次函数与二次函数图象的性质，解直角三角形，三角形面积，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
4．(1)①图见解析，性质：图象关于直线对称（答案不唯一）；②
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键．
（1）①把代入得，可得和，得出函数图象在轴和轴上方，根据函数图象得出性质即可；
②由的顶点坐标和函数的图象可得出方程有四个解时对应m的取值范围
（2）分和两种情况，结合函数的图象和直线围成的封闭区域确定整数点的个数即可．
【详解】（1）解：（1）①当时，，
∴和，
∴两函数对称轴均为直线，
令，得，
解得，，
又的顶点坐标为，
∴和的图象在轴和轴上方，，
①补全的图象如图所示．
图象的性质：图象关于直线对称；当或时，y随着x的增大而增大等．
②方程有四个解，即，
从图像上看，就是直线与函数的图像有四个交点，所以m的取值范围是．
（2）解：分两种情况讨论：
①当时，区域Q为函数的图象与直线围成的封闭区域，若在此区域内存在10个“整点”，由Q关于直线对称，故“整点”也呈对称分布，对称轴每侧各五个“整点”．
（ⅰ）如果对称轴右侧的“整点”为，，，，，其呈“刀把型”，如图所示．
当时，，
当时，．
由图象得，．解得．
（ⅱ）如果对称轴右侧“整点”为，，，，，其呈T型，如图所示．
当时，，
当时，．
由图象得，．解得．
②当时，与p围成的封闭区域中，“整点”分布以为中心，两边呈对称展开，如图所示，所以“整点”数均为奇数，封闭区域Q内“整点”数不存在恰好为10个的情况．
综上所述，或．
5．(1)
(2)
(3)点T的坐标为或
【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解；
（2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设（），则，当时，最大，此时，将线段向左平移个单位得到，则，当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度，则的最小值为；
（3）根据（2）可得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
将和代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∵，
则
设直线的解析式为，
代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
设（），则，
∴，
∵，
∴当时，最大，此时，
∵点是线段上一动点，轴于点，
∴当线段长度取得最大值时，
∵，，点为线段的中点，
∴
将线段向左平移个单位得到，则
当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度；
∴的最小值为；
（3）解：由（2）得，
∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到，
∴，
过点作交抛物线于点，
∴，
同理求得直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，代入
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
联立直线和抛物线解析式可得
解得：，
当时，，
∴
∴轴，
又∵
∴
∴
作关于直线的对称点，连接交于点
∴
∵
∴
∵，，
∴将点向左平移个单位再向下平移个单位，得
同理直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
∴，
综上，符合条件的点T的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平移的性质，数形结合是解题的关键．
6．(1)2，
(2)
(3)李明在此次考试中能得到满分，见解析
【分析】（1）根据图表即可求解；
（2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式；
（3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，
通过图表可得当时，，
得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是，
由当时，；当时，，
可得对称轴为直线，
则当时，实心球在空中取得最大高度，
通过图表可得当时，，
得实心球在空中的最大高度是；
（2）解：设抛物线的解析式为，
由（1）得抛物线的顶点坐标为，
则，
得抛物线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下：
把代入，
得，
解得或（不符合题意，舍去），
∵，
∴明明在此次考试中能得到满分．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
7．(1)
(2)
(3)①（）；②
【分析】（1）根据抛物线经过原点，可得，求出a的值，即可解答；
（2）根据抛物线的解析式得到顶点，令，得到．由，得到点B为的中点，从而，把点代入抛物线，即可求出b的值，进而得到点B的坐标；
（3）①求出抛物线顶点的坐标为，运用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立抛物线与直线的函数解析式组成方程组，求解得到点Q的坐标，即可解答；
②设直线与y轴交于点F，过点作轴于点E，在中，求得，根据，得到，即，进而根据即可求得．
【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，
∴，
解得或（不合题意，舍去）
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴顶点的坐标为，
∵直线与y轴交于点B，
∴令，则，
∴，
∵，
∴点B为的中点，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①∵抛物线，
∴顶点的坐标为，
设过点，的直线的函数解析式为，
∴，解得，
∴直线的函数解析式为，
解方程组得或，
∴，
∴点Q到x轴的距离为（）；
②设直线：与y轴交于点F，则，
过点作轴于点E，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴当时，d随a的增大而增大，
∴当时，，
当时，，
∴d的取值范围是．
故答案为：①（）；②．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，坐标系中线段的中点，函数图象的交点，锐角三角函数等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．(1)
(2)为直角三角形，理由见解析
(3)点坐标为；
(4)运动时间t的最小值为，此时坐标为
【分析】（1）先待定系数法求得直线的解析式为，进而求得点的坐标，将三点坐标代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）由两点间距离公式求得、、，利用勾股定理的逆定理即可做出判断；
（3）由（2）中数据可知，延长至，使，连接，则点为直线与抛物线的交点，求出直线的解析式，与抛物线联立方程组，解之即可求得点坐标；
（4）过作于，过作交于，连接，则，求得，由点运动时间，当、、三点共线时，最小，进一步求解即可解答．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，
解得：
∴
将，，代入，
得：，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）为直角三角形，且，理由为：
∵，，，
，，，
∴，
∴为直角三角形，且；
（3）由（2）知，
∴，
∴，
延长至，使，连接，则点、关于点对称，
∵，
∴，
，，，
，
，
点为直线与抛物线的交点，
设直线的解析式为，代入，
则，解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，解得：或舍去，
故点坐标为；
（4）过作于，过作交于，连接，则，
， ，
，
，又，
点运动时间，
当、、三点共线时，最小，
， ，
，
，
点运动时间的最小值为，
，，
，
点与点重合，则点 即为直线与直线的交点，
由点和得直线的表达式为，
由点，，得直线的表达式为，
联立方程组，解得：，
此时坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解函数解析式、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、锐角的三角函数、垂线段最短、轴对称性质、解二元二次方程组、解一元一次方程组、全等三角形的判定与性质等知识，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法和数形结合思想进行探究、推理和计算．
9．（1）；（2）；（3）2
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据顶点坐标公式列方程求解即可；
（2）先求出，得到，求出点，得，求得，根据对称性得；
（3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线图的顶点坐标为，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）∵直线与坐标轴交于，两点，
∴令，得，令，则，则
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点，
∴，，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴，
对于，当时，，
解得，或，
∴,
∴
∴，
∴
（3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，
设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得
，
解得，，
∴
设M点坐标为，则，
∵，
∴当时，的最大值为2．
10．(1)
(2)；
(3)①或；②的取值范围是或．
【分析】（1）根据“对称关联点”的定义求解即可；
（2）根据“对称关联点”的定义得，再利用待定系数法求解即可；
（3）①根据“对称关联点”的定义得点关于点的“对称关联点”的坐标为，再利用两点之间的距离公式求解即可；
②求得是关于点的“对称关联函数”，，分四种情况讨论，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
根据“对称关联点”的定义，，
这里，，，
∴，，
∴点关于点的“对称关联点”的坐标为；
故答案为：；
（2）解：∵，，
根据“对称关联点”的定义得，即，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
（3）解：①当时，点，
对于二次函数，
其顶点坐标为，
根据“对称关联点”的定义得点关于点的“对称关联点”的坐标为，即，
∵，
∴，
整理得，
∴，
解得或；
②点关于点的“对称关联点”为点，，
是关于点的“对称关联函数”，，
当经过点时，，解得；
当经过点时，，解得；
当经过点时，，解得；
当经过点时，，解得；
综上，的取值范围是或．
【点睛】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与性质，正确理解“对称关联点”和“对称关联函数”是解题的关键．
11．(1)
(2)①
②
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，矩形的性质，数形结合的运用．
（1）由待定系数法可求出答案；
（2）①求出，，则，分两种情况由矩形的性质可得出答案；
②先根据①的结论画出L的图形，根据题意结合图形即可得出答案．
【详解】（1）解：将，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：①抛物线对称轴为直线，与y轴交于点．
∴直线的表达式为，
∴设，
∵过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以、为邻边构造矩形，
∴，，
∴，
分以下两种情况讨论：
当（点E在点H左侧，如图1所示），，，
当时，点E在H右侧，如图2所示，，，
∴；
②L关于m的函数图象如图所示，
当时，，
当时，，
由图象可知，若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，则t的取值范围．
12．(1)
(2)1米
(3)1.24米
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）设该抛物线表达式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）把代入可得，解方程得出，，由此即可得解；
（3）分三种情况，分别画出四个正方形“脚手架”不同的摆放方式，分别求解并比较即可．
【详解】（1）解：设该抛物线表达式为．
将代入，得，
解得，
∴．
（2）解：把代入可得：，
解得，，
∴，，
∴（米），
∴两个正方形“脚手架”的距离为1米．
（3）解：①当四个正方形“脚手架”如图1所示放置时，
设正方形的边长为，
把代入，得，
解得（负值舍去），
∴正方形“脚手架”的边长为米．
②当四个正方形“脚手架”如图2所示放置时，
设正方形“脚手架”的边长为，
把代入，得，
解得（负值舍去），
∴正方形“脚手架”的边长为米．
③当四个正方形“脚手架”如图3所示放置时，由图形可得其边长明显小于图2中正方形“脚手架”的边长．
∵，，，
∴在拱桥下摆放个同样大小的正方形“脚手架”，正方形“ 手架”的边长最大约为1.24米．
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