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2025年中考数学压轴题系列：反比例函数综合
1．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化），已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过得出如下数据（表格数据不完整）：
… …
… …
(1)　　，　　；
(2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在直角坐标系中画出对应函数的图象：
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是　　．
(3)请结合函数图象分析，当时，的解集为　　．
2．某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表：
… …
… 1 …
其中，______；
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的；
②函数：的图象关于_____成中心对称；
③写出这个函数的一条性质_______；
④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积；
(3)若、是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系．
4．【问题背景】
矩形中，，分别以所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．
【构建联系】
（1）请连接，则＝______，＝______，与的位置关系为______；
（2）当k为何值时，以为直径的圆与相切；
【深入探究】
（3）在（2）的条件下，点P为线段上一动点（包含端点），连接，以线段为边，在所在的直线的右上方作等边，当动点P从点F运动到点C时，点Q也随之运动，请求出点E到点Q运动路径的最短距离．

5．如图1，反比例函数（）的图象过点，直线：与轴交于点．
(1)求和的值．
(2)点，点均在第一象限，且满足，直接写出的取值范围．
(3)如图2，若直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点．连接，，求证：．
6．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由．
7．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点”．
(1)如图1，矩形的顶点坐标分别是，，矩形的“互为零点”的是___________；
(2)若点为反比例函数图象上的“互为零点”，且，则___________；
(3)如图2，已知点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点，抛物线于轴的交点为，．
①求的值；
②若存在一点，使得四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．
8．在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象相交于，两点，与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，连接．
(1)求和的值；
(2)如图，当点在点的左侧时，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，连接，求证：把分成面积相等的两部分；
(3)“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助反比例函数给出了一种“三等分锐角”的方法：在（）中，将直线绕点旋转，当线段满足某一等量关系时，即可使得．设为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点的坐标．（小贴士：）
9．定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上．
(1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由：
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标；
(3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
①求点的坐标；
②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标．
10．如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为5g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入的水的质量，得到如表：
托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 20 24 30 40 60
加入的水的质量 15 19 25 35 55
把如表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于x的函数图象．
(1)请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与x之间的函数关系，并求关于x的函数表达式；
②当时，随x的增大而________（填“增大”或“减小”），随x的增大而________（填“增大”或“减小”），关于x的函数表达式为________；
(3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘B与点C的距离的取值范围．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出的解集；
(3)将直线沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为10，求平移后的直线的函数表达式．
12．法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．
定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”．
(1)若是“倍根方程”，求k的值；
(2)一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系；
(3)已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值．
《2025年中考数学压轴题系列：反比例函数综合》参考答案
1．(1)，
(2)①图见解析；②不断减小
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想．
（1）由已知列出方程，即可求解；
（2）①利用描点法，画出图象即可；②根据函数的图象，即可求解；
（3）作函数的图象，根据图象即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：，，
，，
，，
故本题答案为：，；
（2）①根据表格数据描点：，，，，，
在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：
②由图象可知：随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图，
由函数图象知：当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或．
2．(1)
(2)画图见解析
(3)①右，，上，；②；③当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可）④或
【分析】（）把代入函数解析式计算即可；
（）根据表格对应值描点连线即可；
（）①根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”即可求解；②根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”即可求解；③根据函数图象写出一条性质即可；④求出函数与的交点坐标，再结合图象解答即可；
本题考查了画反比例函数的图象，反比例函数图象的平移，反比例函数与不等式等，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
故答案为：；
（2）解：画图如下：
（3）解：①函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
故答案为：右，，上，；
②∵函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
∴反比例函数图象的对称中心为，即，
故答案为：；
③由图象可知，当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可）
④在图中作出函数的图象如下：
设与的图象相交于点，
由，解得或，
∴，，
由图象可知，当或时，，
即不等式的解集为或．
3．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)3
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和反比例函数的性质．
（1）把B点坐标代入得，则反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定A点坐标；然后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用一次函数解析式确定，求出,根据三角形面积公式进行计算即可；
（3）根据反比例函数的性质求解．
【详解】（1）解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代入得，解得；
∴，
把，分别代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：当时，，则，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴,
∴；
（3）解：根据图象知，当时，．
4．（1）2，2，；（2）；（3）．
【分析】（1）连接，由题意设点，得出，进一步得出，并根据三角函数定义得出，进一步分析即可得出答案；
（2）由题意分别过的中点，即圆心，以及点作,分别交于点，在中，由勾股定理得，并根据，列出，从而得出答案；
（3）由题意将绕点逆时针旋转得到，所在直线为点Q的运动路径，由点到直线的垂线段最短可得，点E到点Q运动路径的最短距离为的长度，随后进行分析求解即可．
【详解】解：（1）连接，由题意设点，
点F在反比例函数上，
∴，
四边形是矩形，
∴，
，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2，2，；
（2）如图当以为直径的圆与相切，分别过的中点，即圆心，以及点作，分别交于点，
由切线性质可得以为直径的圆与相切时，，
由（1）设点，，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
,，
，
，
，
，
，解得，
，以为直径的圆与相切；
（3）由题意将绕点逆时针旋转得到，如图，
可知动点P从点F运动到点C时，点Q从点运动到点，
即所在直线为点Q的运动路径，由点到直线的垂线段最短可得，
点E到点Q运动路径的最短距离为的长度，
由（2）知，
即点E到点Q运动路径的最短距离为．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，涉及到圆的切线性质以及锐角三角函数的应用以及勾股定理和全等三角形的旋转应用．考查学生对相关知识的综合应用能力，特别是最后一问，学生还需要掌握主从联动点的相关解题思路，整体难度较大．
5．(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合运用，正确运用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．
（1）把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可求出和的值，
（2）先判断出点，点分别在反比例函数和直线上，得出交点坐标，根据可得结论．
（3）联立和，根据直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点求出，求出C点和B点的坐标，根据两点间距离公式求出，，从而可得结论．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可得：
，，
解得，，；
（2）解：由（1）知，
∴点，点，
∴点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，
∴由（1）知两函数图象交点坐标为，
∴当，的取值范围是．
（3）解：由（1）知直线的解析式为，
联立方程组得，，
整理得，，
∵直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点，
∴，
解得，，
∴反比例函数的解析式为；
∵与轴交于点，
∴令，则
∴，
联立方程组，
解得，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
6．(1)；
(2)
(3)是定值，2
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立方程组求另一交点B坐标即可；
（2）用割补法表示出的面积，设参求解即可；
（3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可．
【详解】（1）解：将代入直线得，
，
解得，，
再将代入得，
联立得：，
解得：（舍去），
∴；
（2）解：如图，过C作轴交于点T，
设，则，
∴，
∴
，
解得（舍去），
∴点C的坐标为；
（3）解：是定值
设点，
设直线解析式为，将A、D坐标代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
令得，即，
令得，即，
同理可得直线解析式为，
令得，即，
令得，即，
∴，
∴为定值．
7．(1)和；
(2)；
(3)①或；②或．
【分析】（1）首先判断出点P在直线上，然后结合图象求解即可；
（2）首先根据题意画出图象，然后得到是等腰直角三角形，求出，然后代入求解即可；
（3）①根据题意得到，求出抛物线，然后由得到点A，B的水平距离为2，竖直距离为2，然后分两种情况讨论：和，然后分别求出点B的坐标，然后代入求解即可；
②设，分两种情况讨论：和，然后分别求出点C的坐标，然后利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）∵当点在图形上，且，则称点为图形的“互为零点”
∴
∴点
∴点P在直线上
∴如图所示，
∵矩形的顶点坐标分别是，，
∴当时，
∴点是矩形的“互为零点”；
当时，，解得
∴点是矩形的“互为零点”；
综上所述，矩形的“互为零点”的是和；
（2）如图所示，设点P在第二象限，过点P作轴
∵点为反比例函数图象上的“互为零点”，
∴点P在直线上
∴是等腰直角三角形
∴，
∴
∴
∴将代入得，
解得；
（3）①∵点为抛物线的“互为零点”，点恰好是该抛物线的顶点，
∴
∴
∴抛物线
∵
∴点A，B的水平距离为2，竖直距离为2，
如图所示，当时，
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴
∴将代入得，
解得；
如图所示，当时，
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴
∴将代入得，
解得；
综上所述，的值为或；
②设，
当时，抛物线
∴当时，
∴
∵，，四边形为平行四边形，
∴
∴
∴；
当时，抛物线
∴当时，
∴
∵，，四边形为平行四边形，
∴
∴
∴；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数与几何综合，一次函数的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是判断出点P在直线上．
8．(1)，
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）求出直线和直线的交点横坐标，再求出的中点坐标即可求证；
（）由题意得，设，可得，，即得，进而可得，过作轴，再利用三角函数解得即可求解；
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，三角函数，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：将代入得，，
，
将点代入反比例函数中，得，
∴；
（2）证明：由（）知，
反比例函数表达式为，
令，
整理得，，
解得，，
，
，
设直线表达式为，则，
解得，
直线表达式为，
联立直线和直线得，，
，
解得，
，，
的中点横坐标为，
和交点为中点，
把分成面积相等的两部分；
（3）解：如图，中，，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
如图，过作轴，则，
设，
，，
，
，
，
，
；
同理可得；
综上，点的坐标为或．
9．(1)点是直线上的点的“共圆点”，理由见解析
(2)或或
(3)①；②
【分析】（1）先求解，，再计算，，即可判断；
（2）先求解反比例函数为：，如图，结合，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得答案；
（3）①如图，求解，设，则，由点与点是抛物线上的点的“共圆点”，可得，再建立方程求解即可；
②求解平移后的抛物线为：，平移后的对应点，如图，关于轴的对称点，连接，可得，当三点共线时，，此时周长最短；再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图，
当时，，当时，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴点为直线上的点的“共圆点”；
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数为：，
如图，，
∵点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，
∴根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得：
或或，
综上：的坐标为：或或
（3）解：①如图，
∵抛物线为，
∴对称轴为直线，此时，
∴，
设，则，
∵点与点是抛物线上的点的“共圆点”，
∴，
∴，
解得：，（舍去），，
∴；
②∵，将抛物线平移，使其顶点落在原点，
∴平移后的抛物线为：，
∴平移后的对应点，
如图，∵关于轴的对称点，连接，
∴，
当三点共线时，，
此时周长最短；
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查的是新定义的含义，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质，平移的性质，勾股定理的应用，圆的定义，理解题意是解本题的关键．
10．(1)见解析
(2)①；②减小，减小，
(3)
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）用光滑的曲线顺次连接各点即可；
（2）①由题意可以猜测是反比例函数，利用待定系数法求出关于x的函数表达式即可；②根据题意可知，当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，由表格可知，关于x的函数表达式；
（3）由得，，进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图即为所求，
（2）解：①由题意可以猜测是反比例函数，
设，代入，得，
解得，
故；
②当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，关于x的函数表达式为；
故答案为：减小，减小，
（3）解：由得，，
由得，
解得，
11．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据的面积与的面积相等，得到D点的坐标．
（1）直线经过点A，且A点的纵坐标是，可得，代入反比例函数解析式可得k的值；
（2）依据直线与反比例函数的图象交于A，B两点，借助图象即可得到不等式的解集解题；
（3）设平移后的直线与x轴交于点D，连接，，依据，即可得出的面积与的面积相等，求得，即可得出平移后的直线的函数表达式．
【详解】（1）解：∵直线经过点A，A点的纵坐标是2，
∴当时，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点，
∴，
∴不等式的解集为或；
（3）解：如图，设平移后的直线与x轴交于点D，连接，，
∵，
∴的面积与的面积相等，
∵的面积为10，
∴，即 ，
∴，
∴，
∴，
设平移后的直线的函数表达式为，
把代入，可得，
解得，
∴平移后的直线l2的函数表达式为．
12．(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）先求方程的根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；
（2）联立方程组，得到，设两个函数的交点为，，根据一元二次方程的根与系数关系得到，，消去，即得答案；
（3）对于方程，由“倍根方程”的定义可得，
，化简得，进一步推得，所以，再根据二次函数的性质可求得的最大值和最小值，由此列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，
，，
当时，即，
解得，
当时，即，
解得，
或；
（2）解：由得，，
设两个函数的交点为，，由“倍根函数”可知，，
①，
②，
得，，
；
（3）解：方程的两根为，，其中，
由“倍根方程”可知或，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最小，
当时，最大，
的最大值和最小值的差是3，
，
解得．
【点睛】本题考查了新定义问题，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数关系，一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的图象与性质，正确理解题意是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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