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2025年中考数学压轴题系列：三角形综合
1．如图，在中，，已知，，，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒．
(1)当时，用含有的代数式表示的长______________；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值；
(3)当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等，求的值；
(4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值．
2．学完“探索三角形全等的条件”后，小轩同学对“”的探究很感兴趣，他查阅资料，发现“等边对等角”的知识（例如在中，如果，那么），这让小轩想到：在与中，如果，，，虽然不能直接判定，但与的数量关系是可以确定的．
(1)请你通过特殊化策略，猜想并填空：
①当时，与的数量关系是______；
②当时，与的数量关系是________．
(2)请直接运用上述知识及猜想，解决以下问题：
如图，已知与是两个大小不一样的等边三角形，连接交于点G，连接交于点H，且，请判定B，C，D三点是否在同一条直线上？并说明理由．
(3)已知，点D与点E分别在两边与上，延长至点G，使得，连接．过D，E的直线交于点F，且．根据上述信息作草图（不要求准确）并证明：．
3．在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究．已知 ，两块直角三角板和．
(1)当三角板按如图1摆放时，延长交于G，是的角平分线，则 °， °．
(2)在（1）的条件下，将直角三角板 绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒．
①直角三角板 和固定不动，作平分，当时，求t的值；
②若直角三角板 旋转的同时直角三角板 也以每秒的速度绕点B逆时针旋转，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值．
4．已知是直角三角形，其中．
(1)如图①，点D在上，且点D到，的距离分别为4，3．若，，且．
①___________， ___________．
②动点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度在上匀速运动，动点Q点从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度在上匀速运动，P，Q两点同时出发，点P到达点C时整个运动随之结束．设运动时间为t，问：是否存在这样的t，使得与的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由
(2)如图②，点D在上，，E是线段上一动点，连接交于点F，当点E在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论．
5．已知在中，，，于D．
(1)如图1，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接交于点G．求证：；
(2)如图2，点E是线段上一点．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接交于点G．
①求证：；②若，，求的长．
6．问题提出
（1）如图1，在边长为4的等边中，为中点，为的中点，M，N为上两个动点（点M在点N的左侧），且，则的最小值是______；
问题解决
（2）某高新区为了改善居民居住环境，准备建造一个四边形公园如图2，点为公园入口，点为公园出口，为了方便居民游玩，需要修建一条从入口到出口的人行道，点、在四边形对角线上．连接，四边形的面积是四边形面积一半．已知，，，，当四边形的面积最大时，求人行道长度的最小值．
7．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
【简单应用】
（2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由．
8．已知在四边形中，，，
(1)如图1，，E、F分别是边、上的点，线段、、之间的关系是______；
(2)如图2，，E、F分别是边、上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，，E、F分别是边、延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
9．在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点．
(1)如图1，在平面直角坐标系中，对角线、分别在轴、轴上，若，，，则点的坐标为，的长为________；
(2)如图2，若是矩形，连接，探究、与的数量关系，并证明；
(3)如图3，若是正方形，连接，点关于直线的对称点为，连接、，若的最小值为，求的长．
10．如图，在中，点在边上，连接，以为直角边向右作，，，与交于点．
(1)如图1，若，，求的度数．
(2)如图2，过点作于点，点为边上一点，过点作交于点，连接，若，求证：；
(3)如图3，点为边上一点，点为的中点，连接，，若，求证：．
11．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题．某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，和均为等腰直角三角形，，点D为的中点，绕点D旋转，连接．
观察猜想：（1）在旋转过程中，猜想与的数量关系并证明；
实践发现：（2）当点M，N在内且C，M，N三点共线时，如图2，求证：；
解决问题：（3）若在中，，在旋转过程中，当且C，M，N三点共线时，直接写出的长．
12．如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接．
(1)当时，
①如图1，若，把绕顺时针旋转到，连接，，则______；
②如图2，将线段绕点逆时针旋转到，点落在上，连接，点为线段的中点，连接，，此时与的数量关系为______；
小明同学提出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
延长到点，使，连接，，通过证明两组三角形全等，再进一步分析研究来解决问题：
(2)当时，
①如图3，将线段绕点逆时针旋转到，连接，点为线段的中点，连接，，此时与有怎样的数量关系，并说明理由；
②如图4，点为内一点，若，，请直接写出的值．
《2025年中考数学压轴题系列：三角形综合》参考答案
1．(1)
(2)或
(3)的值为或4或．
(4)或或．
【分析】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
（1）观察图形用来求解；
（2）当是以为腰的等腰三角形时有两种情况，①，②，两种情况，表示出线段长，即可列列方程求解；
（3）分三种情况：当点与点重合时，当点在上时，当点在上时，分别求解即可；
（4）先求出周长的一半，分三种情况：当点在上时，，当点在上时，， 当点在上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒．，
，
故答案为：．
（2）解：∵当是以为腰的等腰三角形时， 点一定在上，

①若，
，
（秒），
②若，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴（秒），
综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的值为或．
（3）解：当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等，
①当点与点重合时，点P到直角边，的距离都等于0，此时，解得，
②当点在上时，点P到直角边，的距离都等于，此时，
过点作，
；
∵，
∴，解得：
③当点在上时，点P到直角边，的距离都等于，此时，
过点作，
；
∵，
∴，解得：
综上所述：当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等， 的值为 或4或．
（4）解：，，，，
的周长为，
点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为，
当点在上时，，
，
（秒），
当点在上时，，
，
（秒），
当点在上时，，
，
（秒），
综上所述，的值为或或．
2．(1)①或；②；
(2)三点共线，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）①如图，当时，在中，截取，证明，证明，可得，可得；当时，；
②当时，可得，可得，当时，如图，过作于，过作于，证明，，可得；
（2）证明，可得，，如图，过作于，过作于，记，交于点，连接，可得，如图，在上截取，证明，可得，证明，可得，再进一步可得结论；
（3）如图，在上截取，证明，可得，可得，，证明，可得，从而可得结论．
【详解】（1）解：①如图，当时，
在中，截取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当时，；
综上：时，或；
②当时，
∵，，，
∴，
∴，
当时，如图，过作于，过作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
综上：当时，；
（2）证明：∵与是两个大小不一样的等边三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
如图，过作于，过作于，
由全等三角形的对应高相等可得：，
记，交于点，连接，
∴，
如图，在上截取，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
（3）证明：如图，在上截取，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质，本题的难度大，作出图形与辅助线是解本题的关键．
3．(1)120；30
(2)①或；②的值为，，，
【分析】（1）根据，，求出，根据角平分线定义求出；根据平行线的性质求出．
（2）①分两种情况：当在右方时，当在左方时，分别画出图形进行求解即可；
②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
∵，
∴．
（2）解：①当在右方时，如图所示：
根据旋转可知：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
解得：；
当在左方时，如图所示：
根据旋转可知：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
解得：；
综上分析可知：此时或；
②当时，第一种情况：延长交于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
第二种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴当时，或；
当时，第一种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：；
第二种情况：延长交于点，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴当时，或；
∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．(1)①6，8；②
(2)，证明见解析
【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，动点运动问题，平方和绝对值的非负性，三角形面积，勾股定理等知识．
（1）①根据平方和绝对值的非负性列方程组解出即可；
②根据列方程可得结论；
（2）先根据等腰三角形三线合一得：，利用勾股定理计算和，可知：，再由三角形外角的性质可得结论．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
解得：，
故答案为：6，8；
②过D作于G，于H，则，，
由题意得：，，则，
当时，，
∴，
解得；
（2）解：，证明如下：
过D作于H，则，
中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
中，，
∴．
5．(1)见详解
(2)①见详解；②
【分析】（1）由旋转的性质得出，，证得，可证明，则可得结论；
（2）①过点作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，则可得结论；②由勾股定理求出，，，则可求出答案．
【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，，于，
，，
，
，
又，
，
；
（2）①证明：过点作交于点，连接，
由（1）知为的中点，
，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
，
，，
，，
又，
，
，
，
；
②解：，，
，
，
，，
，，
又，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．（1）；（2）
【分析】（1）如图，连接，得出是中位线，从而得，且，取中点，则，则四边形为平行四边形， 得出，作点关于的对称点，连接，则，即可得，连接，根据是等边三角形，和，得出是等边三角形，即可得，，判断出点三点共线，证明，得出，求出，，再根据勾股定理求出，即可求解．
（2）过点作于点，过点作于点．作的外接圆．连接，求出，从而得，，如图过点作于，交圆弧于点，则，求出，，得出，根据，得出，求出，根据是定值，，四边形的面积是四边形面积一半，得出当最大时，最大．当点与点重合时，最大，此时，过点作，截，得出四边形为平行四边形，，即可得，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，过点作，交延长线于点．求出，，根据，得出，即可求出，再求出，，勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵为中点，为的中点，
∴是中位线，
∴，且，
取的中点，
则，
则四边形为平行四边形，
∴，
作点关于的对称点，连接，
则，
，
连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
．
（2）在中，取的中点，连接，
则，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，过点作于点．作的外接圆．连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
如图，过点作于，交圆弧于点，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
，
∵，，四边形的面积是四边形面积一半，
∴当最大时，最大．
当点与点重合时，最大，
此时，
四边形的面积，
∴，
∴此时，
过点作，截，
∴四边形为平行四边形，，
，
连接，交于点，过点作于点，过点作于点，过点作，交延长线于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，人行道长度的最小值为．
【点睛】该题考查了勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线．
7．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题．
（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到，，列方程组即可得到结论；
（3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题.
【详解】（1）证明：在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如图2，
、分别平分，，
，，
由（1）的结论得： ，
①②，得，
；
（3）解：如图3，
平分的外角，平分的外角，
，，
，，
，
，
，
．
8．(1)；
(2)成立，证明见解析；
(3)不成立，，证明见解析；
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）延长至点，使得，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论；
（2）延长至点，使得，连接，证明，得到，，同（1）理可得，，即可证明结论；
（3）在上取点，使得，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，延长至点，使得，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下：
如图，延长至点，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
同（1）理可得，，
；
（3）解：（1）中的结论不成立，，证明如下：
如图，在上取点，使得，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
9．(1)；
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）可判定是菱形和是等边三角形，进而求得的长，从而得出点坐标；可证得，从而得出结果；
（2）连接，延长，交于，连接，可证得，从而，，进而垂直平分线的性质得出，进一步得出结果；
（3）作于，于，作于，可证得，从而得出，进而证得矩形是正方形，从而得出，可证得，从而，，进而得出，从而得出点在与成 的直线上运动，延长至，使，作于，连接，交直线于，当点在处时，最小，最小值是，进一步得出结果．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
对角线、分别在轴、轴上，
，
是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
射线绕点逆时针旋转，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；．
（2），
证明：如图，连接，延长，交于，连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于，于，过点作于，
，
四边形是正方形，
平分，，
，四边形是矩形，
矩形是正方形，，
，
射线绕点逆时针旋转交于点，
，
，
，
，
，
，
和关于对称，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点在与成 的直线上运动，
延长至，使， 作于，连接，交直线于，
，
，
当点在处时，最小，最小值是，
又，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
10．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先由三角形内角和定理得到，从而得到，在中，由直角三角形性质和等腰三角形性质求解即可得到答案；
（2）延长至点，使得连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质，通过、即可得证；
（3）延长至点，使得，连接，，如图所示，由三角形全等的判定与性质，通过、和即可得证．
【详解】（1）解：，
，
，
，
在中，，则，
，
；
（2）证明：延长至点，使得连接，如图所示：
在中，，则，
，
，则，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）证明：延长至点，使得，连接，，如图所示：
在中，，则，且，
，
，则，
在和中，
，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、中点定义等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
11．（1），理由见解析；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解；
（2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解；
（3）点C、M、N三点共线，分类讨论，根据（2）中的结论即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
如图，连接，

∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图所示，连接，

由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：已知，，C、M、N三点共线，
①由（2）可知，，

由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故这种情况不存在；
②如图所示，由（1）可知，，，，

∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
③如图，

∵是等腰直角三角形，
∴，
同法可证，
∴，
∴，即是直角三角形，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查等腰直角三角形，旋转，全等三角形的综合,勾股定理，掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
12．(1)（1）①；②
(2)①，证明见解析；②
【分析】（1）①证明，得到，推出，勾股定理求出的长即可；②延长到点，使，连接，，证明，得到，，再证明，得到，推出，勾股定理得到，再根据，即可得出结果；
（2）①延长到点，使，连接，，证明，得到，，再证明，得到，推出，进而推出，再根据，即可得出结果；
②将绕点旋转至点，连接，作，根据等边对等角，含30度的直角三角形的性质，推出，证明，得到，推出为含30度角的直角三角形，得到，进而得到，即可得出结果．
【详解】（1）①∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
②延长到点，使，连接，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①
证明：延长到点，使，连接，，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴；
②将绕点旋转至点，连接，作，
则：，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键．
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