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2025年中考数学压轴题系列：四边形综合
1．探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．
在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点．
(1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________．证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_______．
(2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由．
(3)结论拓展：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________．
2．已知，，为了得到矩形，甲、乙两位同学的作图方法如下．
甲：如图1，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，且点与位于的异侧，连接，，得四边形．
乙：如图2，分别以点A，为圆心，大于的相同长为半径画弧，连接两弧交点的直线交于点，连接；再以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点，连接，，得四边形．
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由．
3．小明在一次数学活动中，进行了如下的探究活动：如图，在矩形中，，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点、、的对应点分别为、、．
(1)如图①，当点落在边上时，求的长；
(2)如图②，当点落在线段上时，与交于点．求的长．
(3)记点为矩形对角线的交点，连接、，记面积为，求的取值范围．
4．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作与它相邻的两个顶点所连对角线的垂线，与平行四边形的一边相交，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
(1)如图1，四边形为“垂中平行四边形”，平分，求证：．
(2)如图2，矩形为“垂中平行四边形”，于点，交边于点，若8，求的长．
(3)如图3，若四边形为“垂中平行四边形”，且，直接写出和的数量关系．
(4)如图4，在中，于点，若，，以为边构造“垂中平行四边形”，使点落在“垂中平行四边形”的边上，当过一个顶点作与它相邻两个顶点所连对角线的垂线经过的中点时，求的长．
5．【问题情境】
如图1，在正方形中，是边上的一个动点，连接将沿直线翻折，得到，点的对应点落在正方形内．
【猜想证明】
（1）如图1，连接并延长，交于点，交边于点．求证：；
（2）如图2，当是边的中点时，连接并延长，交边于点，将沿直线翻折，点恰好落在直线上的点处，交于点，交于点．试判断四边形的形状，并说明理由；
【问题解决】
（3）在（2）的条件下，若，请求出四边形的面积．
6．已知：正方形中，点P为线段上一个动点，过点B作交边于H．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，把线段沿向上平移到位置，连接，分别交、、、于点M、E、F、N
①若E为中点，，，求的长；
②如图3，在上截取，连接，G为中点，连接，．若，求的长．
7．如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示．
（1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系．
游戏2 在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示．
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
游戏3 在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接．
（3）设，，的面积分别为，若，，求的长．
8．如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、．
(1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______；
(2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：；
(3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______．
9．已知是等腰直角三角形，，为平面内一点．
(1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求线段的长度；
(2)如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，请探究、、之间的数量关系并给出证明；
(3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值．
10．如图，在平面直角坐标系中，，，，连接，，平移至(点与点对应，点与点对应），连接．
(1)①直接写出点的坐标为______．
②判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)如图1，点为边上一点，连接，平分交于，连接．若，求的长；
(3)如图2，为边的中点．若，连接，则的最小值为______，最大值为______．
11．（1）阅读理解：如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______；
（2）类比探究：如图2，在等边中，，为边上的点，，，，求线段的长；
（3）拓展应用：如图3，在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰长，请求出的值．
12．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：．
【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），．
【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______．
【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上．
①试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长．
《2025年中考数学压轴题系列：四边形综合》参考答案
1．(1)，
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线．
（1）取的中点，连接，由正方形的性质可得，，结合为中点，点为的中点，可得，推出，得到，由交正方形外角的平分线于点，可得，由，可得，推出，即可证明；
（2）在上取一点，使，连接，根据正方形的性质可得：，，推出， ，得到，推出，可证明，根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 即 可 求 解；
（3）延长到，使，证明，得到，，由，，可得，推出，得到，证 明，得 到 ，即可求解．
【详解】（1）解：猜想与的数量关系为，
取的中点，连接，
四 边 形是正方形，
，，
为中点，点为的中点，
，
，
，
交正方形外角的平分线于点，
，
，
，
，
．
，
，
在和中，
，
，
故答案为：，；
（2）解：成立，理由如下：
如图，在上取一点，使，连接．
四边形是正方形，
，，
，
，是等腰直角三角形，
，
．
是的外角平分线，，
，
．
，
．
，
，
在和中，
，
，
．
（3）如图，延长到，使，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
2．甲、乙两位同学的作法都正确，理由见解析
【分析】本题主要考查作图-复杂作图、矩形的判定等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据平行四边形的判定方法、矩形的判定方法判断并证明即可．
【详解】解：当甲、乙两位同学的作法都正确．
甲作法正确的理由如下：
由图1作法可知：，，
又∵点，在异侧，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
乙作法正确的理由如下：
由图2作法可知，点是的中点，
∴且，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
3．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）由旋转性质知，由矩形性质知，再在中根据勾股定理可得；
（2）利用旋转的性质可得：，，由“”可证，由全等三角形的性质和平行线的性质可得，可得，由勾股定理可求的值；
（3）由勾股定理可求的值，可得，当点G在线段上时，面积有最小值，当点G在线段延长线上时，面积有最大值．
【详解】（1）解：由旋转的性质知，
四边形是矩形，
，，
；
；
（2）解：由旋转知：，，
，
，
又，
，
设，
又在矩形中，有，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即；
（3）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
如图，始终在以为圆心，为半径的圆上，的底是定值为，当高最小或最大时，的面积就存在最小值或最大值，
　 当点在线段上时，此时最短，则面积有最小值；
当点在延长线上时，此时最长，则面积有最大值；
分情况讨论：
当点在线段上时，面积有最小值，
；
当点在线段延长线上时，面积有最大值．
．
．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
4．(1)见解析；
(2)4；
(3)；
(4)或．
【分析】（1）根据题意得，则，结合角平分线的性质得，有，即即可证明；
（2）根据矩形和垂中平行四边形的性质得，则有，有，即可求得；
（3）根据垂中平行四边形的定义得，则，有，设，则，求得，，和，则，即可求得；
（4）分以下两种情况：当时，此时点与点重合，延长交于点，则为的中点．求得，在中，由勾股定理得，则；当时，则为的中点，得，有，利用勾股定理求得即可．
【详解】（1）解： 四边形为“垂中平行四边形”，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：矩形为“垂中平行四边形”，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，理由如下，
四边形为“垂中平行四边形”，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（4）解：根据题意，分以下两种情况：当时，此时点与点重合，
如图1，延长交于点，则为的中点．
，
，
在中，由勾股定理，得，
．
当时，如图2，
则为的中点．
，
，
．
在中，由勾股定理，得．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题依托“垂中平行四边形”主要考查平行四边形的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质和勾股定理，解得关键是熟悉垂中平行四边形的性质和分类讨论思想的应用．
5．（1）见解析；（2）是平行四边形，理由见解析；（3）
【分析】（1）设和相交于点O，证明，即可得到；
（2）证明，则，再证明，即可证明是平行四边形；
（3）连接交于点G，求出，证明，得到，由等积法求出，由求出，即可求出，得到四边形的面积．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
由折叠可知，垂直平分，
，
，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：四边形是平行四边形；理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
是边的中点，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
∵，即，
∴
∴，则，
由折叠的性质可知：，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
（3）解：连接交于点，如图，
∵，
，
，即，，
四边形是正方形，
，
是边的中点，
，
由（2）得，，
，，
，
，
由折叠可知：，
，
，
在和中，
，
，
同理可证，，
，
，，
，
，
，
，
由折叠可知：，，
，，
，
，
解得，
，
，
四边形的面积为．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质等知识，添加必要的辅助线构造全等是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据正方形性质证明，得出即可；
（2）①先证明垂直平分，再根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，再根据勾股定理求出，则可得出结果；
②连接并延长到H，使得，连接，，证明，得出，，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，得出，证明也是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理求出．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，，
正方形是轴对称图形，为对角线上一点，
，，
∵把线段沿向上平移到位置，，
∴，
∵为的中点，
∴垂直平分，
，
，
，
，
，
∵
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴；
②连接并延长到H，使得，连接，，如图所示：
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由正方形的性质可知，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关图形的判定和性质．
7．（1） （2） （3）
【分析】（1）证明，结合E恰好为的中点可得；
（2）在中，，∴，∴
证明得，，设，则，，由勾股定理得，证明得，在中，利用锐角三角函数求出即可求解．
（3）延长交于点H，证明得，证明得，由求出，证明得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根据即可求解．
【详解】解：（1）根据翻折的性质可知，，
∴，∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∴，
∴，即
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴
（2）根据翻折的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴
在矩形中，，
∴，
∴，
∴
（3）延长交于点H，根据翻折的性质可知，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又Q是的中点，
∴，
∴
又，
∴，
∴
∴
∵，即，
∴
∵，，，
∴
∴，，
∴，，
在和中，，
，
解得或（舍去）
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，难度较大，属中考压轴题．
8．(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据四边形、是正方形，得出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）在上截取，连接，根据是中点，得出，再结合四边形、是正方形，得出，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（3）延长至，使，连接，连接延长交于点，证明，再证出，即可得出、是等腰直角三角形，证出，过C作于点L，证明，证出，根据，即可解答；
【详解】（1）解：连接，，如图所示：
∵四边形、是正方形，
，
，
∵是中点，
，
即；
（2）证明：在上截取，连接，如图所示：
∵是中点，
，
∴，
，
∵四边形、是正方形，
，
，
，
，
，
即；
（3）解：延长至，使，连接，连接，并延长交于点，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵四边形、是正方形，
．
，
，
，
，
，
，
，
∴、是等腰直角三角形，
，
过C作于点L，
是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线．
9．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）过点E作交的延长线于H，分别求出求出的长，即可得到答案；
（2）连接，过点F作交于H，证明， 则，证明是等腰直角三角形，得到，，证明， 则，由即可证明结论；
（3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，证明，则，设，则，在中，，，当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，证明，则，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：过点E作交的延长线于H，则，如图1，
∵点D是的中点，且，
∴，
在中，，
∴，，
由旋转得： ，，
即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，；
（2）解：，理由如下：
如图2，连接，过点F作交于H，
∵是等腰直角三角形，E、F分别是的中点，
∴，，，
∴，为等腰直角三角形，，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图，
∵将绕点D逆时针旋转，得到，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵由上知，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∵Q是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
设，则，
在中，，
∵中点Q，
∴，
当A、Q、G三点共线时，
，取得最大值，
又∵，
∴此时，
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．
10．(1)①；②四边形为矩形，理由见解析
(2)
(3)，
【分析】（1）①根据平移的性质可得从点平移至点的距离和方向与点平移至点的距离和方向相同，即可求解；
②根据勾股定理逆定理可得，再根据平移的性质可得且，可证得四边形为平行四边形，即可求解；
（2）在线段上取一点，使，可证得，从而得到，，再证明，可得，，设，由勾股定理得，用x表示相关线段可得到关于x的方程，即可求解；
（3）连接，取的中点连接，，根据三角形中位线定理和直角三角形的性质可得，，再由三角形的三边关系，即可求解．
【详解】（1）解∶ ①∵平移至（点与点对应，点与点对应），
∴从点平移至点的距离和方向与点平移至点的距离和方向相同，
∵，，
∴点先向左平移个单位，再向上平移得到点，
∵，
∴点；
故答案为：；
②四边形为矩形，理由如下：连接，
∵，，，
∴，
∴，
同理：，，
∴，
∴为直角三角形，即，
∵平移至，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形；
（2）∵点，，
∴，
∵平分，
∴，
如图，在线段上取一点，使，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设则，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
即；
（3）解：如图，连接，取的中点，连接，，
∵点，，，
∴，，
∵为的中点，为边的中点，
∴，，
∵，
∴的取值范围为．
的最小值为，最大值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、勾股定理的运用，直角三角形的性质，三角形中位线定理等，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
11．（1）；；（2）；（3）的值为或
【分析】（1）由旋转的性质可得：，，，由可得，通过“”证明，即可得到，即可得到答案；
（2）将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得到，作交的延长线于点，求得，再由直角三角形的性质和勾股定理可得，最后由勾股定理进行计算即可；
（3）当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，，，从而得到，由旋转的性质可得：，，，，，证明，得到，证明得到，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，，即可得到的比值，当时，同理即可求得．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
，是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
，
，，
，
，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（3）当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；
，在中，，，
，
，，
，
，
，
，
由旋转的性质可得：，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；
，在中，，，
，
，，
，
，
，
，
由旋转的性质可得：，，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键．
12．（1）（或）；（或）；（2）①②③；（3）①，理由见解析；②3或7．
【分析】（1）由分析思路知，只要或，利用（或）从而可证明，进而得到结论；
（2）由且得等腰三角形，得，从而判断①；延长至点M，使得，连接，先由证明，再由证明，即可判断②；由且，可得
，从而，由此即可判断③；假设，则得，从而得，得到矛盾，从而可判断④，最后可得到结论；
（3）①在上截取，连接，由证明，由全等三角形的性质及勾股定理即可得到与的数量关系；
②分两种情况考虑：P 在线段上；P 在线段延长线上；利用等腰三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：（1）（或）；（或）
解：（2）①②③，
①∵，且
∴是等腰直角三角形，
∴，即①正确；
②如图，延长至点M，使得，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即②正确；
③∵且，
∴，
又，
∴，即③正确；
假设，
则；
∵平分，且，
∴，
∴，
则；
∵，
∴,
∴，
这与相交矛盾，故④错误；
综上，正确的是①②③；
故答案为：①②③；
解：（3）①；
证明：在上截取，连接，如图；
则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
则，
∴，
∴；
②或7；理由如下：
当P 在线段上时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当 P 在延长线上时，延长使，连接，
则是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴，
∴；
又，，
∴；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上，或 7．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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