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2025年中考数学压轴题系列：相似问题
1．如图，在中，，，，点D是边上一动点（点D不与B，C重合），连接，以为边在直线右侧作，使得．
【初步感知】
（1）如图1，在点D的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，随着点D位置的变化，的位置随之发生变化，当的中点M恰好落在上时，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，交于点F，P为的中点．当为等边三角形时，求的长．
2．如图，在等腰中，，，是直角三角形，，，连接，，点是的中点，连接．
(1)如图①，当，点在边上时，线段与线段的数量关系是 ；
(2)如图②，当，点不在边上时，（1）中线段与线段的数量关系是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图③，当（）为任意角度时，直接写出线段与线段的数量关系（用含的式子表示）．
3．如图1，在中，E为边上一点，交于D，延长，相交于点F，．
(1)求证：；
(2)连接，若是以为底的等腰三角形，，求的值；
(3)如图2，在中，，D为直线下方一点，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，若，求的长．
4．如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．
(1)如图1，若点在边上，且，，求线段的长；
(2)如图2，若点在的延长线上，点是的中点，的延长线交的延长线于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，若点在边上，点是的中点，，连接，将线段绕点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取最大值时，直接写出此条件下的面积的最大值．
5．综合与实践
如图1，正方形的顶点D在直线l上，点与点C关于直线l对称，直线与直线l交于点E，连接，，探究与的数量关系．
【特例感知】
（1）①如图2，当，时，_____， _____°；
②如图3，当时，_____， _____°．
【猜想论证】
（2）猜想与的数量关系，并结合图1进行证明．
【拓展应用】
（3）若正方形的边长为2，当时，求线段的长．
6．在中，，，是边上一动点（不与点重合），在射线上取点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
【初步感知】
（1）如图，当点和点重合时，求的长；
【深入探究】
（2）如图，当点落在的延长线上时，求的长；
【拓展延伸】
（3）是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的两倍？若存在，请求出的长；若不存在，说明理由．
7．如图1，等腰中，，点在上运动（不能经过、）．
(1)过作，交于，证明：；
(2)如图2，若，点运动到靠近点的三等分点处时，以为边在其右侧作等腰，是的中点，连接，求的长；
(3)如图3，，以为斜边作等腰，连接．若，请用含的式子表示，直接写出答案．
8．已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点．
【探索发现】
（1）如图1，当为锐角时，请先用“尺规作图”作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，
①的度数为___________；
②连接，证明；
【拓展思考】
（3）如图2，若正方形的边长，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长度．
9．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形中，且，，点，点E在y轴正半轴上，且．
(1)填空：如图①，点E的坐标为________，点B的坐标为________；
(2)将沿x轴水平方向向右平移，得到，点D，O，E的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为S．
①如图②，当边与交于点G，边与交于点H，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
10．如图，是等边三角形，点D为平面内一点．
(1)如图1，若点D在边上，点M为的中点，连接，，若，求线段的长；
(2)如图2，若点D在的延长线上，点E为的中点，点H为上一点，且满足，连接，交于点F，若，猜想线段、的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，点D在直线的右侧，点P，N分别在线段，上，且满足，将绕点P顺时针旋转得到，连接，当取得最小值时，将直线绕点A逆时针旋转得到，交于点T，连接．若，直接写出的最大值．
11．如图．在中，，，为线段上一点，直线经过点，且，为直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，作的平分线，交直线于点，当点落在上时；猜想与的数是关系，并证明．
(3)已知，作射线交直线于点．
①如图3，若，当为线段的中点时，求线段的长；
②如图4，点在直线的下方，且，以为边在的右侧作正方形，当点落在射线上时，求线段的长．
12．如图，在等边中，、分别为、上动点，满足．
(1)如图1，连接，过作于点，交于点，若，，求的长；
(2)如图2，连接，P为中点，连接，G为边上一点，连接交于点F，F恰为中点，将绕点G逆时针旋转到，连接，．求证：；
(3)如图3，点M是平面内直线上方一点，，Q为直线右方一动点，满足，，连接，N为上一点，连接、，当取得最大值时，请直接写出当为直角三角形时的值．
《2025年中考数学压轴题系列：相似问题》参考答案
1．（1）见解析；（2）或；（3）
【分析】（1）由相似三角形的性质可得，，再证明，即可得证；
（2）作于，则，证明，求出，，，再证明，设，则，求出或，最后由正切的定义计算即可得解；
（3）连接，由（1）可得，得出，由直角三角形的性质可得，由等边三角形的性质可得，，证明、、、四点共圆，由圆周角定理可得，设，则，，求出，，再由相似三角形的性质求出，即可得解．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∴，即，
∴；
（2）如图，作于，则，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或，
经检验，当或是所列分式方程的解，且符合题意，
∴或，
∴，
∴的值为或；
（3）如图，连接，
由（1）可得，
∴，
∵P为的中点．
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴、、、四点共圆，
∴，
设，则，，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活应用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
2．(1)
(2)成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）证出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）延长至点，使得，连接，，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形中位线定理得出，则可得出结论；
（3）延长至点，使得，连接，，证明，由相似三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，由（2）可知，则可得出结论．
【详解】（1）解：∵当，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）结论：成立．
证明：延长至点，使得，连接，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴；
（3）延长至点，使得，连接，，
∵，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）证出即可得证；
（2）是以为底的等腰三角形，即，导角证明，则，再证明即可求解；
（3）由题易得点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接，先证，得到，进而设参，再证，设参，然后在 中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴设，
∴在中，由勾股定理可得，
∵是以为底的等腰三角形，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，
连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接，
∵点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
由勾股定理得：
则，
∵，
∴在中，由勾股定理可得：，
整理可得：，
解得或（舍），
∴，
∴
∴在中，由勾股定理可得，
即．
4．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，先证明，得出，再由，得出，得出，再由将绕点顺时针旋转得到，即可求解；
（2）连接，过点作于点，由题可得，是等腰直角三角形，可证明，再利用，得出，则，可得，，则，证明，则；
（3）利用，，构造的外接圆，连接，，得出，则是定长，是定圆，点的轨迹为上部分，由点到圆上一点的最长距离可知当、、依次共线时，最长， 求出是定值，由将线段绕点旋转得到，得点的轨迹为以为圆心，为半径的，由将绕点逆时针旋转得到，通过全等确定点的轨迹为以为圆心，为半径的，过点作延长线于点，易得当最大时，的面积最大，由圆上一点到直线的最大距离可知当、、依次共线时，最大，此时，连接，，通过证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，得出，得，再由，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，过点作于点，
∵，，将绕点顺时针旋转得到，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：；
（3）解：∵，，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
如图，构造的外接圆，连接，，
则，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是定长，是定圆，点的轨迹为上部分，
由点到圆上一点的最长距离可知当、、依次共线时，最长，此时点位置为如图的点，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
当最长时，位置如图，
∵将线段绕点旋转得到，
∴点的轨迹为以为圆心，为半径的，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，
∴，，点是定点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的轨迹为以为圆心，为半径的，
如图，过点作延长线于点，
∵，
∴当最大时，的面积最大，
由圆上一点到定直线的最大距离可知当、、依次共线时，最大，此时如图，
连接，，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，圆的定义，圆周角定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
5．（1）①2 ，90；②，45；（2），见解析；（3）或．
【分析】（1）①连接，，，根据轴对称的性质得出，，，，由正方形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，再得出，由邻补角的定义得出，进而可得出．
②同①解法得出，，进而得出，再根据角的和差关系得出，再证明，由相似三角形的性质进一步求解即可．
（2）同（1）②求解过程一致．
（3）分两种情况，①当点在线段上时和②当点在线段的延长线上时，利用正方形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）①连接，，，
∵点与点C关于直线l对称，
∴，，，，
∴，．
在正方形中，，，
∴，
∴．
∴
∴
，
∴．
②连接，，如（1）图
设．
∵点与点C关于直线l对称，
∴，，，，
∴，．
在正方形中，，，，
∴，
∴．
∴
∴
，
∴，，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
即
（2），证明如下∶
连接，，如（1）图
设．
∵点与点C关于直线l对称，
∴，，，，
∴，．
在正方形中，，，，
∴，
∴．
∴
∴
，
∴，，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
(3)①当点在线段上时，连接，如下图：．
∵，
∴．
又，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
②当点在线段的延长线上时，连接，
设，
∵，
∴．
又，
∴，
∵，
∴．
又，即，
由，
∴
综上所述， 或．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质的，勾股定理等知识，正确连接辅助线以及掌握正方形的性质和轴对称的性质，是解题的关键．
6．（1）；
（2）；
（3）存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或．
【分析】（1）根据等边对等角推出后可证，由相似三角形的性质可得，代入，即可得解；
（2）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，由三线合一定理可得，再结合勾股定理求出，即可得，推得，再由等腰直角三角形的性质推得，列出方程后求出、，最后结合勾股定理即可得解；
（3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设交于点，设，分两种情况讨论：①点，在异侧时；②点，在同侧时．
【详解】解：（1）如图，当点和点重合时，
根据题意得，
，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）如图，当点落在的延长线上时，过点作，垂足为点，
过点作，垂足为点，
设，
，
，
在中，
在中，
在中，
，
根据题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中；
（3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
过点作，垂足为点，设交于点，
设，
分两种情况讨论：
①如备用图，点，在异侧时，若，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
在中，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
在中；
②如备用图，点，在同侧时，若，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
在中，
在中，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
在中，
综上所述，存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或．
【点睛】本题考查的知识点是等边对等角、相似三角形的判定与性质、三线合一定理、勾股定理、解直角三角形、一元一次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
7．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）利用角的等量代换证明即可；
（2）连接，通过比值关系求出的长，利用判定出，，，推出，通过比值关系求出和的长，再通过勾股定理运算求解即可；
（3）分类讨论点的位置，结合相似三角形的性质和勾股定理列出方程运算即可．
【详解】（1）证明：∵在等腰中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，如图所示：
在等腰中，，
∴，
∵点是靠近点的三等分点，
∴，；
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
过作于点，则，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，；
（3）∵，
∴，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
①当点在右侧时，如图，
过作交于点，则，
由（1）知，
∴，
∴，，
过作于点，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，；
②当点在左侧时，如图，
过作交于点，则，此时，
同理可得，
∴，
∴，，
过作于点，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，；
综上，或．
【点睛】本题为几何综合题，涉及到了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，合理作出辅助线和利用分类讨论思想是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）①；②见解析；（3）或．
【分析】（1）依题意补全图形，连接，由正方形和旋转的性质可得，由角平分线的定义可得，再通过证明即可求解；
（2）①设，则，由可得，由可得，再根据计算即可求解；
②连接和，得和为等腰直角三角形，，，由等角减同角相等可得，以此可证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况：当为对角线时此时，；当为对角线时，连接，同（1）可证：，得到，由可得，，由四边形内角和定理得到，进而求得，于是是等腰直角三角形，同（2）②可证：，，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：（1）“尺规作图”补全图形如图：
证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由旋转知，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①连接
设，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
②证明：如图，连接和，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）当为对角线时，如图，
此时，；
当为对角线时，如图，连接，
∵四边形为边长为4的正方形，
∴，
同（1）可证：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
同（2）②可证：，且，
设，则，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
综上，或．
【点睛】本题主要考查尺规作图、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理，正确作出辅助线，灵活应用相关知识解决问题是解题关键．
9．(1)，
(2)①；②
【分析】（1）利用三角函数可得，可得，如图，过作于，过作于，而，证明四边形为矩形，进一步解答可得；
（2）①如图，过作于，过作于，而，求解，，证明四边形为平行四边形；求解， ；再进一步可得答案；
②分情况讨论：当时，重叠部分的面积如图所示；当时，重叠部分的面积如图所示：当时，重叠部分如图②，当时，重叠部分的面积如图所示：再进一步的利用数形结合的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵点，点E在y轴正半轴上，且，
∴，
∴；
如图，过作于，过作于，而，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①如图，过作于，过作于，而，
同理可得：，，
在中，，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴；
②当时，重叠部分的面积如图所示；
结合（1）可得：，
∴，
∵，
∴；
当时，重叠部分的面积如图所示：
同理：，而，
∴是的中点，而，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，重叠部分如图②，
由①可知，；
对称轴为直线，
此时随的增大而减小；
当时，，当时，，
∴；
当时，重叠部分的面积如图所示：
∵，
∴为等边三角形，
此时，
∴，
过作于，
∴，，
∴，
当时，，当时，，
∴；
综上：；
【点睛】本题考查的动态几何，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
10．(1)
(2)猜想：．证明见详解
(3)
【分析】（1）作于，根据角直角三角形的性质求出，，进而可求，再角勾股定理即可求解；
（2）连接，作，，连接，，作于，证明，都是等边三角形，进而可证明，得，同理可证明，得，，进而可得，即可根据三角函数求解；
（3）作，交于，作于，连接并延长交于，证明，进而可证明 ，得，作于，证明是个定角，可得时取得最小值，证明，得， 由，得四点共圆， 过圆心时取得最大值，连接，，根据勾股定理，解直角三角形的相关方法即可求出的最大值．
【详解】（1）解：作于，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，，
是中点，
，，，
，
；
（2）猜想：．
证明：连接，作，，连接，，作于，
，
，
是等边三角形，
，
，都是等边三角形，
，， ，，
，
，，，，
，，
，
，
同理可证明，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：作，交于，作于，连接并延长交于，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
作于，
，
，，
，
是个定角，
时取得最小值，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
四点共圆，
的外心即是经过这四点的圆的圆心，过圆心时取得最大值，
连接，，
，
，
，
，
，，，，，
，
作于，
，，
，，
作于，
，
，
即，
，
作于，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，四点共圆及圆周角定理等，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，作出辅助线．
11．(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)①；②或
【分析】（1）由旋转的性质得到，，再利用全等三角形的判定得到，即可证明；
（2）利用角平分线的定义得到，利用等角对等边得到，由（1）中的结论，再利用线段的和差即可得出结论；
（3）①过点作交于点，交于点，通过证明得到，利用矩形的判定得到四边形是矩形，得到，同理得到，得到，利用题目的数据求出、的长，再利用勾股定理即可求解；②作交延长线于点，由（1）得，先证明四边形是矩形，得到，，设，表示出、、，通过证明得到，解出的值即可解答．
【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
（2）解：，证明如下：
是的平分线，点落在上，
，
又，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
．
（3）解：①如图，过点作交于点，交于点，
，
，，
，
为线段的中点，
，
又，
，
，
，
四边形是矩形，
，
同理可得：，
，
又，，
，，
，
由（1）得，，，
，
线段的长为；
②如图，作交延长线于点，则，
由（1）得，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
设，则，
，，
正方形，
，
点落在射线上，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
解得：，，
线段的长为或．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、正方形的性质、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．
12．(1)
(2)见解析
(3)2或
【分析】（1）作于，由正切的定义可得，由等边三角形的性质可得，，从而得出，设，则，，求出，，从而可得，，由等边三角形的性质可得，结合勾股定理得出，求出，解直角三角形得出，即可得解；
（2）作于，由等边三角形的性质可得，，，，得出，由平行线分线段成比例定理可得，从而可得，，，，，由旋转的性质可得，，得出，结合，，得出，由相似三角形的性质可得，，，求出，延长交于，连接，证明，得出，从而可得为等边三角形，，由等边三角形的性质可得，最后由勾股定理计算即可得解；
（3）延长，得到射线，延长至，使得，连接、，
由等边三角形的性质可得，，求出，由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，从而求出，求出，由题意可得，证明，得出，，，求出，结合三角形内角和定理得出，从而可得，当、、在同一直线上时，最大，此时最大，再分两种情况：当时，作交的延长线于；当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图，作于，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，作于，
∵为等边三角形，P为中点，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵F恰为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
由旋转的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
延长交于，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长，得到射线，延长至，使得，连接、，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵点M是平面内直线上方一点，，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当、、在同一直线上时，最大，此时最大，
∵为直角三角形，
∴当时，作交的延长线于，
由角平分线的性质定理可得，
设，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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