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2024-2025 学年江苏省江都中学、高邮中学、仪征中学高二（下）期中
联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 ( ) → 0 (3) (3+ ).设 为可导函数，且满足 3 = 3，则曲线 = ( )在点(3, (3))处的切线的斜率是( )
A. 9 B. 3 C. 3 D. 9
2.自然对数 也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一， 的近似值约为 2.7182818 ，若用欧拉数的其
中 6 位数字 1，8，2，8，1，8 设置一个 6 位数的密码，则不同的密码有( )个．
A. 720 B. 180 C. 60 D. 260
3.在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量 = ( 1, 1, 1)和 = ( 2, 2, 2)，
× = ( 1 2 2 1, 1 2 2 1, 1 2 2 1).已知 = (1, 2,3)， = ( 1,1,2)，平面 的法向量 = ×
，直线 的方向向量 = (2,1, 1)，则直线 与平面 的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.直线 在平面 内 D.相交但不垂直
4.已知向量 = (2, 1,1), = (1, , 1), = (1, 2, 1)，当 ⊥ 时，向量 在向量 上的投影向量为( )
A. 6 B. 6 C. 6 D.
5.已知函数 ( ) = 2 3 2 + 3 在区间[1,3]上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. [ 92 , + ∞) B. [
19
2 , + ∞) C. [3 2, + ∞) D. (
9
2 , + ∞)
6.毕业前夕，某高中高三(6)班科技创新兴趣小组的 5 名同学与 1 名辅导老师，共 6 人合影留念，站成前后
相对应的两排，每排 3 人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学相邻(仅包括正前后或左右)，则不同
站法种数为( )
A. 24 B. 36 C. 42 D. 48
7.设 ′( )是函数 ( )定义在(0, + ∞)上的导函数，满足 ′( ) + 2 ( ) = ，则下列不等式一定成立的是
( )
2
A. ( ) ( ) (2) (3) 2 > B. 9 > 4 C.
( ) < (3) D. (2) 2 9 2 <
( )
4
8.设函数 ( ) = (2 1) 3 + 3 ，其中 < 1，若存在唯一的整数 0使得 ( 0) < 0，则 的取值范围
是( )
A. [ 1 , 1 ) B. [ 3 , 1) C. [ 4 2 3 2 3 , 1) D. [
3 1
4 , 3 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
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A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B.若< , >是锐角，则 > 0
C.已知 = ( 1, 12 , 0)，平面 的法向量为 = (1,2,1)，则 //
D.已知向量组{ , , }是空间的一个基底，则{2 , , }也是空间的一个基底
10.下列说法正确的是( )
A. +2 +1 2 +2 +1 = ( + 1)
B. 5 9 + +1 = 5
C.某同学把英文单词“ ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 59 种
D.将 9 个团员指标分到某年级的 3 个班，每班要求至少得 2 个，有 15 种不同的分配方法
11.已知函数 ( ) = 3 3 2 + 4，直线 = 与函数 ( )的图像有 3 个不同的交点，3 个交点的横坐标分别
为 1， 2， 3，则下列说法正确的有( )
A. ∈ (0,4)
B.过点(0,4)作函数 ( )的切线，有且只有三条
C.若 + = 2，则有 ( ) + ( ) = 4
D. 1 2 3 = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = 2 2 + 1，则曲线 = ( )在点(0,3)处的切线方程为______．
13.设 ′( )是函数 = ( )的导函数， ″( )是函数 = ′( )的导函数，若方程 ″( ) = 0 有实数解 =
0，则称( 0, ( 0))为函数 = ( )的“拐点”.经研究发现所有的三次函数 ( ) = 3 + 2 + + ( ≠
0) 3 1都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 = ( )图象的对称中心.若函数 ( ) = 3 22 ，则 ( 2025 ) +
( 22025 ) + + (
2025
2025 ) = ______．
14.如图，在三棱锥 中， ⊥ ， = ， = 4， = 1，平面 ⊥平面 ，则三棱锥
的体积的最大值为______；二面角 的正弦值的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( 2 ) 在(0, (0))处的切线垂直于直线 2 + + 1 = 0．
(1)求 的值；
(2)求 ( )的极值．
16.(本小题 15 分)
已知空间四点 (0,2,3)， (2, 2, 1)， (1,4,3)， ( 1,3, )．
(1)求以 ， 为邻边的平行四边形面积；
(2)若 、 、 、 四点共面，求 的值；
(3)求直线 和直线 夹角余弦值的取值范围．
17.(本小题 15 分)
中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”，
“武术”，“书法”，“剪纸”，“京剧”，“刺绣”六门体验课程．
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程排在第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排
法种数；
(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课
程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
(3)计划安排 ， ， ， ， 五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门
课程，教师 不任教“围棋”课程，教师 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．
18.(本小题 17 分)
已知平面四边形 中， // ， ⊥ ，且 = = 22 = 2.以 为腰作等腰直角三角形 ，
且 = ，平面 ⊥平面 ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)已知点 是线段 上一点，
①若 //平面 ，求点 到平面 的距离；
②若直线 与平面 14夹角的正弦值是 14 ，求二面角 的正弦值．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + ， ∈ (0, )．
(1)若 = 0，求曲线 = ( )在点( 2 , 1)处的切线方程；
(2)若 ( ) > 0 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 = 1，证明： ( )在(0, )上有且只有一个零点．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4 + 3 = 0
13. 10132
14.4 4 173 17
15.解：(1)因为直线 2 + + 1 = 0 的斜率为 = 2，
又函数 ( ) = ( 2 ) 在(0, (0))处的切线垂直于直线 2 + + 1 = 0，
所以函数 ( ) = ( 2 ) 在(0, (0)) 1处的切线斜率为2，
(0) = 1所以 ′ 2，
由 ′( ) = (2 ) + ( 2 ) = ( 2 + 2 2 ) ，
1 1所以 ′(0) = 2 = 2，解得 = 4．
(2) 1 1由(1)知， ( ) = ( 2 + 4 + 4 )，
则 ′( ) = ( + 2)( + 14 )，
令 ′( ) = ( + 2)( + 14 ) = 0
1
，可得 = 2 或 = 4，
当 ∈ ( ∞, 2)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
当 ∈ ( 2, 14 )时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减；
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当 ∈ ( 14 , + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
故当 = 2 时， ( ) 15取极大值，极大值为 ( 2) = 4 2，
= 1
1
当 4时，函数 ( )
1 1
取极小值，极小值为 ( ) = 44 4 ．
16.解：(1)由题意得 = (2, 4, 4)， = (1,2,0)，
可得| | = 22 + ( 4)2 + ( 4)2 = 6, | | = 12 + 22 + 02 = 5， = 2 × 1 + ( 4) × 2 + (
4) × 0 = 6，

所以 cos < , >= = 6 = 5，
| | | | 6× 5 5
可得 sin < ， >= 1 ( 5 2 2 55 ) = 5 ．
所以四边形 的面积 = | | | |sin < ， >= 6 × 5 × 2 55 = 12．
即以 ， 为邻边的平行四边形 的面积为 12；
(2)由题意得 = ( 1,1, 3)，
因为 、 、 、 四点共面，所以存在唯一一对实数 、 使得 = + ，
1 = 2 +
可得 1 = 4 + 2 9，解得 = 2；
3 = 4
(3)因为 = (2, 4, 4)， = ( 2, 1, 3)，
设直线 和 的夹角为 ，
|4( 3)| 2 ( 3)2 2 5
则 = |cos , | = | | = = = 1 ，
| || | 2 26× 5+( 3)2 3 5+( 3) 3 5+( 3)
由 ∈ ，可得 5 + ( 3)2 ≥ 5 5 2，5+( 3)2 ∈ (0,1]， ∈ [0, 3 )．
所以两直线 和 的夹角余弦的范围是[0, 23 )．
17.解：某培训中心计划利用暑期开设“围棋”，“武术”，“书法”，“剪纸”，“京剧”，“刺绣”六
门体验课程
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，且“京剧”课程排在第一周，“剪纸”课程不排最后一周，共有 4 44 =
96 种；
(2)第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有 26种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有 14种情况；
第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法 23种情况；
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因此，所有选课种数为 2 × 1 × 26 4 3 = 360．
(3)当 只任教 1 科时：先排 任教科目，有 15种；
再从剩下 5 科中排 的任教科目，有 15种；
接下来剩余 4 科中必有 2 科为同一名老师任教，分三组全排列，共有 24 33种；
4×3
所以当 只任教 1 科时，共有 1 1 2 35 5 4 3 = 5 × 5 × 2×1 × 3 × 2 × 1 = 900 种；
当 任教 2 科时：先选 A 任教的 2 科有 25种，
这样 6 5×4科分为 4 组共有 2 45 4 = 2×1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 240 种，
所以当 任教 2 科时，共有 900 + 240 = 1140 种，
综上课程安排方案有 1140 种．
18.解：(1)证明：以 为腰作等腰直角三角形 ，且 = ，则 ⊥ ，
由平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，而 平面 ，
则 ⊥ ，
由 // ， ⊥ ，则 为直角梯形，
故 AD⊥ ，
由 = = 2 ，2 = 2
即△ 为等腰直角三角形，故∠ = 45°，且 = = 2 2，
所以△ 为等腰直角三角形，故 AB⊥ ，
由 ∩ = 都在平面 内，则 ⊥平面 ．
(2)由(1) ⊥平面 ， ⊥ ，构建如图示空间直角坐标系 ，
所以 (2 2, 0,0), (0,2 2, 0), ( 2, 2, 0), (0,0,2)，
①若 = = ( 2 , 2 , 2 )，则 ( 2 , 2 , 2 2 )，
所以 = ( 2 , 2 , 2 2 ), = (0,2 2, 0)，
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令 = ( , , )是平面 的一个法向量，
⊥ = 2 + 2 + 2(1 ) = 0则 ，则 ⊥
，
= 2 2 = 0
取 = ，则 = ( 2(1 ), 0, )，
而 = (2 2, 0, 2)，
由 //平面 ，
则 = 4(1 ) 2 = 0，
2
可得 = 3，
所以 是 靠近 的三等分点，则 ( 2 23 ,
2 2 2
3 , 3 ),
= ( 2 2 , 4 2 , 2 ，3 3 3 )
因为 = (2 2, 0, 2), = ( 2 2, 2 2, 0)，
设 = ( , , )是平面 的一个法向量，
⊥ = 2 2 2 = 0则 ，所以 ⊥
，
= 2 2 + 2 2 = 0
取 = 1，则 = (1,1, 2)，
2 2 4 2 2
所以| | | 3 ×1+ 3 ×1+( 3)× 2|= = 2 2，| | 1+1+2 3
所以点 到平面 的距离是2 2；
3
②设 = ，其中 0 ≤ ≤ 1，
所以 = ( 2 , 2 , 2 2 ), ( 2 , 2 , 2 )，
因为平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
直线 与平面 夹角的正弦值是 14，
14
= ( 2 2 2, 2 , 2 2 )，

所以|cos , | =
| | |2 2 | 14
|
= =
|| | ，( 2 2 2)2+( 2 )2+(2 2 )2 14
所以 12 2 28 + 11 = 0，
1
解得 = 2或者 =
11
6 (舍)，
所以 ( 2 , 22 2 , 1)，
所以 = ( 2 2 2 , 2 , 1), = (2 2, 0,0),
= (0,2 2, 0)，
设平面 的一个法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
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1 = 0
2 + 2
则 ，所以 2 1 2
1 + 1 = 0，
1 = 0 2 2 1 = 0
令 1 = 2，得 1 = (0, 2, 1)，
设平面 的一个法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 2
则 2
= 0 2 2 + 2 2 + 2 = 0
2
，所以 ，
= 0 2 2 2 = 0
令 2 = 2，得 2 = ( 2, 0,1)，
所以 cos , = 1 2 1 11 2 | 1||
= = ，
2| 3× 3 3
设二面角 为 ，
则 = 1 cos2 < , > = 2 21 2 ，3
所以二面角 的正弦值为2 2．
3
19.解：(1)当 = 0 时， ( ) = ， ′( ) = , ( 2 ) =

2，
2
所以在点( 2 , 1)处的切线方程为 1 = 2 ( 2 )，即2 4 + 1 = 0．
(2)因为 ∈ (0, )，且 (0) = 0，由 ( ) = + ，
得 ′( ) = + ，当 ≥ 0 时， ′( ) = + ≥ 0，在(0, )上恒成立，
所以 ( )单调递增， ( ) > (0) = 0 恒成立，当 < 0 时， ′(0) = < 0，
又因为 0 < ≤ 1，所以 ′( ) = + ≤ + ，则在(0, )上， ′( ) = + ≤ + < 0，
记 = (0, ) ∩ (0, )，则 ∈ 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
( ) < (0) = 0，与 ( ) > 0 恒成立不符，
综上所述， ( ) > 0 恒成立，实数 的取值范围是[0, + ∞)．
(3)证明：当 = 1 时， ( ) = ，令 ( ) = ，
则 (0) = 0， ′( ) = cos 1 ，当 ∈ (0, 2 ]时， ′( ) < 0， ( )单调递减，

所以在(0, 2 ]上， < 0， > 0

，易得 ( ) < 0， ( )，在(0, 2 ]上没有零点，

故只需证明在( 2 , )上有且只有一个零点，令 ( ) = ′( ) = 1，
( ) = ′( ) = + ，在( 2 , )上 ′( ) = 2 < 0， ( )单调递减，
( 2 ) = 1, ( ) =

，所以存在 1 ∈ ( 2 , )，
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使得 ( ) = 0 ( 1 ，在 2 , 1)上 ( ) > 0，在( 1, )上， ( ) < 0；

因此 ( )在( 2 , 1)上单调递增，在( 1, )上单调递减，
( 1) > (

2 ) = 2 1 > 0， ( ) = 1；所以存在 2 ∈ ( 1, )，

使得 ( 2) = 0，在( 2 , 2)上， ( ) > 0，在( 2, )上， ( ) < 0；
故 ( )在( 2 , 2)上单调递增，在( 2, )上单调递减，
且 ( 2 ) = 1 2 < 0， ( 2) > ( ) = 0，所以在区间(

2 , 2)，
存在唯一的 0，使得 ( 0) = 0 在( 2, )上没有零点，
综上所述， = 1 时，函数 ( )在(0, )上有且只有一个零点．
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