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2025年中考数学压轴题系列：一次函数综合
1．区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速．
某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速．
2．在平面直角坐标系中，对于点P和正方形，给出如下定义：若点P在正方形内部（不包括边界），且P到正方形的边的最大距离是最小距离的2倍，则称点P是正方形的2倍距离内点．
已知：，．
(1)当时，
①点，，三个点中，______是正方形的2倍距离内点：
②点是正方形的2倍距离内点，请直接写出n的取值范围；
(2)点，，若线段上存在正方形的2倍距离内点，请直接写出a的取值范围；
(3)当时，请直接写出所有正方形的所有2倍距离内点组成的图形面积．
3．2024年，国家卫健委启动“体重管理年”活动，全民体重管理意识和技能正逐步提高，具有较高营养价值和多种功效的蔬菜羽衣甘蓝吸引了众多消费者尝试和喜爱．某农业基地在今年3月份收获了6000千克羽衣甘蓝，栽培成本为10000元．经市场调查，决定采用批发、零售、晒干磨粉后销售这三种方式出售，其中以零售方式出售还需包装成本元/千克；羽衣甘蓝晒干磨粉的出粉率为，采用这种方式销售还另需加工费元/千克，计划每千克的平均售价如下表：
销售方式 批发 零售 晒干磨粉后销售
售价 元/千克（批发量超过2000千克则按3元/千克出售） 元/千克 元/千克
若经过一段时间，按计划全部售出获得的总利润为（元），其中零售（千克），且零售量是批发量的一半．
(1)当批发量超过2000千克时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)由于受条件限制，最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，求该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润．
4．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程：
(1)列表：
… 0 2 4 6 8 …
… 5 2 5 …
直接写出的值，__________，__________，__________．
(2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象；
(3)写出该函数的一条性质：_________________________________________________________________；
(4)已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为__________．
5．如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，．
(1)求直线l的解析式和点C的坐标；
(2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，如果一个点运动所形成的图象是一条直线，那么这条直线叫做这个点的“踪线”．特别的，当形成的图象是线段时，我们把这条线段的长叫做这个点的“踪线长”．例如：点的踪线为直线，直线是点的踪线，点的踪线为直线．
(1)试判断点的踪线是否为，并说明理由；
(2)若点，求O到点B踪线的距离；
(3)如图，正方形的边长为4，点M从点O出发向点C运动，同时点N从点C出发向点D运动，在整个运动过程中，始终保持，连接，设的中点为G，求点G的踪线长．
7．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点．直线：与直线交于点C．且C的横坐标为
(1)求直线的解析式．
(2)如图2，点P是射线上的任意一点，过点P作轴且与交于点D，连接．当= 时，求的长．
(3)如图3，在（2）的条件下，将沿着直线向上平移，点P的对应点为点F．在x轴上确定一点G，使得以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的点G的坐标
8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，点B，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与y轴相交于点E．
(1)求直线的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若点P是x轴上一动点，连结，当时，请求出点P的坐标．
9．如图，在中，，，于点D．动点E，F同时从点C出发，点E以每秒的速度沿线段运动．点F以每秒的速度沿折线运动．当点E到达点B时，E、F两点同时停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积记为，EF的长度记为．
(1)请直接写出关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在已给平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时的值．
10．[问题情境]
老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式，
小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；小谢认为平移前后直线中的“k”不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式．
在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证：
[解决问题]
（1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为 ；
（2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线；
[拓展应用]
（3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式．
11．如图1，直线与x，y轴分别交于A，B两点．
(1)求的长；
(2)如图2，点C的坐标．点F为线段上一点（A、B点除外），连接交于点G．当时．求点F坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，分别以线段，的长度为长和宽，在x轴的上方作矩形．过A、G两点的抛物线的顶点M在矩形的边上．请直接写出a的值．
12．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为，则它的所有“风车线”可以统一表示为：，即当时，始终等于．
(1)若抛物线与轴交于点，求该抛物线经过点的“风车线”的解析式；
(2)若抛物线可以通过平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为，求该抛物线的解析式；
(3)如图2，直线与直线交于点，抛物线的“风车线”与直线分别交于两点，若的面积为12，求所有满足条件的“风车线”的解析式．
《2025年中考数学压轴题系列：一次函数综合》参考答案
1．(1)42
(2)100
(3)乙车在该区间测速路段超速了
【分析】（1）由题意可得：甲车的平均速度为105千米/小时,行驶的时间为小时,据此可求出行驶的路程m；
（2）先利用待定系数法可求得直线的解析式为，进而可求得C点的坐标为，由（1）得，由此可得直线经过，再利用待定系数法求得直线的解析式为，由此可得；
（3）由可得时，，进而可得乙车在该路段上的总用时间，再求出乙车的平均速度，然后与120作比较即可得解．
【详解】（1）解：（1）由题意可得，当时，．
（2）解：设直线的解析式为：，
由题意可得，它经过点，代入可得，
∴所以直线的解析式为：，
∴点横坐标，
当时，，
∴点的坐标为．
由（1）可得，，
∴直线经过点．
设直线的解析式为：，
则解得，
∴，
∴．
（3）解：当时，，
解得，
∴乙车在该路段上的总用时为（小时），
乙车的平均速度为：，
∴乙车在该区间测速路段超速了．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
2．(1)①；②
(2)
(3)14
【分析】本题考查坐标与图形性质、正方形性质、一次函数等知识，理解题意定义，灵活运用所学知识，利用数形结合和分类讨论思想寻找特殊点位置求解是解答的关键．
（1）①根据题中定义，结合坐标与图形性质求解即可；
②根据题中定义，结合坐标与图形性质，注意分类讨论求解即可；
（2）先利用待定系数法求得线段的表达式为，设点是线段上一点，且为正方形的2倍距离内点，分两种情况分别求解即可；
（3）由（1）中第②中结论可知，当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，同（1）②方法，当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，从而得出当时，正方形所有的2倍距离内点组成的图形是六边形，连接，设该六边形的面积为S，由求解即可．
【详解】（1）解：当时，，，，如图，
①∵点不是正方形内的点，
∴不是正方形的2倍距离内点；
∵点到的距离为2，到、的距离都为3，到的距离为4，又,
∴是正方形的2倍距离内点；
∵到的距离为1，到的距离为4，到的距离为2，到的距离为5，又，
∴不是正方形的2倍距离内点，
故答案为：；
②∵点是正方形的2倍距离内点，
∴，
由于点到的距离为4，到的距离为2，到的距离为n，到的距离为，
分以下几种情况：
当时，，则2为最小值，4为最大值，满足；
当时，，则由得，不符合题意，舍去；
当时，，则由得，不符合题意，舍去；
综上，n的取值范围为；
（2）解：由题意，，
设线段的表达式为，
将、代入，得，解得，
∴线段的表达式为，
设点是线段上一点，且为正方形的2倍距离内点，
则，且到、的距离为m，到、的距离为，
若，则，∴；
若，则，∴，
综上，m的取值范围为；
（3）解：如图，
由（1）中第②中结论可知，
当时，点是正方形的2倍距离内点时，则；
同理，点是正方形的2倍距离内点时，则，
∴当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，其中，，，，；
同（1）②方法，当时，正方形的所有2倍距离内点组成正方形，其中，，，,，
∴当时，正方形所有的2倍距离内点组成的图形是六边形，
连接，设该六边形的面积为S，其面积为
，
即当时，所有正方形的所有2倍距离内点组成的图形面积为14．
3．(1)
(2)该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
（1）根据利润售价进价，列出函数解析式即可；
（2）先根据最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理求出，再根据一次函数的最值求出结果即可．
【详解】（1）解：当批发量超过2000千克时，
；
（2）解：∵最多对600千克羽衣甘蓝进行晒干磨粉处理，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，且最大值为：
（元），
即该农业基地按计划全部售完这批羽衣甘蓝获得的最大利润为78800元．
4．(1)，2，4
(2)见解析
(3)该函数的一条性质：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
(4)或
【分析】本题考查函数图象及性质，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
（1）由图象可得把时，代入函数解析式求出，则可得函数解析式，再把和分别代入求出；
（2）描点补全图象即可；
（3）观察图象可得性质；
（3）数形结合，可得答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴当；当，
∴，
故答案为：，2，4；
（2）解：函数图象如下：
（3）解：该函数的一条性质：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）解：由图象可得，不等式的解集为或．
5．(1)；
(2)5；
(3)存在；或
【分析】（1）用待定系数法即可求得直线的解析式，过点作轴，利用证明，结合其性质可得点的坐标；
（2）根据中点坐标公式可得，延长至，使得，即点为的中点，可知，垂直平分，连接，则，得，当点在直线上时取等号，由勾股定理求得，利用待定系数法得直线的解析式为，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立方程组即可求得此时点的坐标为；
（3）根据题意得，过点作轴交直线于，可知，分情况：当点在点右侧时，当点在点、点之间时，当点在点左侧时，结合三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，，
设直线的解析式为，
将，，代入得，，
解得：，
∴，
过点作轴，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
则点的坐标为；
（2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∵点是的中点，
∴点的坐标为，即：，
延长至，使得，即点为的中点，
∴点的坐标为，即，
∵，
∴垂直平分，
连接，则，
∴，当点在直线上时取等号，
由勾股定理可得：，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点在直线上时，即直线与直线相交，
得，解得：，
即此时点的坐标为，
综上，的最小值为5，此时点的坐标为；
（3）存在，理由如下：
∵，
则，
过点作轴交直线于，
此时，则，即，
∴，则，
当点在点右侧时，，
∴，
解得：，
当时，，
即此时点的坐标为；
当点在点、点之间时，，不符合题意；
当点在点左侧时，，
，
解得：，
当时，，
即此时点的坐标为；
综上，存在点的坐标为或时，．
【点睛】本题考查了图形与坐标，待定系数法求函数解析式，一次函数，两直线交点坐标与二元一次方程组解的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．(1)是；理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）令，，得，即得点的踪线为；
（2）令，，得，得点的踪线为，与坐标轴的交点为，，作，根据，由的面积公式可得点O到点B踪线的距离是．
（3）设，，得，，得中点G为，得 踪线为，得点G的踪线两端点的坐标为和，得点G的踪线长为．
【详解】（1）解：点的踪线是，
理由如下：
令，，
则，
即，
点的踪线为；
（2）解：令，，
则，
即，
点的踪线为，
则点O到点B踪线的距离即为点O到直线的距离，
如图，直线与坐标轴的交点为，
作，
，
由的面积公式可知：，
，
点O到点B踪线的距离是．
（3）解：设，
则，，，
中点G为，
令，，
，
即点G的踪线为；
当时，，时，
点G的踪线两端点的坐标为和，
∴，
点G的踪线长为．
【点睛】本题考查了新定义——点的踪线．点的踪线长，熟练掌握新定义，求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，面积法求三角形的高，正方形性质，勾股定理，是解题的关键．
7．(1)
(2)5
(3)或或或
【分析】（1）先求出点的坐标，再将的坐标代入直线：求解即可；
（2）先设点的坐标为，则，，再根据求解即可；
（3）先求出点P的坐标，再根据点的平移写出点F的坐标，设，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：直线：与直线交于点C．且C的横坐标为，
，
，
把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
则，，
∵，
，
，
；
（3）解：由（2）得，，
，
，
，
作轴，交直线于H，
∵直线的解析式为，
∴，
，
，
，
，
将沿着直线向上平移，即将先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，点P的对应点为点F．
，即，
；
设，以点A，F，G为顶点的三角形是等腰三角形有三种情况，讨论如下：
当时，或，如图中点，
∴点G坐标为或；
当时，即，
解得或（舍），图中点，
∴点G坐标为；
当时，即，
解得，图中点，
∴点G坐标为；
综上，点G坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，一次函数与三角形综合问题，等腰三角形的定义、勾股定理等，能够运用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，三角形面积公式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键；
（1）将点代入直线得，利用待定系数法即可求得直线的表达式；
（2）求出点A坐标，根据点的横坐标，结合函数图象，即可求解；
（3）首先求得直线与轴的交点的坐标，设点的坐标为，则可将的长表示出来，进而可求得的面积，利用三角形的面积公式可列出方程，解方程即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：把点代入直线中，得：
，
，
把点和点代入，，得：
，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，
∴
∵直线与直线相交于点，
∴根据函数图象可得，的解集为：；
（3）解：直线与轴相交于点，
令，则有：，
解得：，
，
点是轴上一动点，
可设点的坐标为，
，
，
，
又，
，
即：，
，
或，
点的坐标为或．
9．(1)
(2)见解析，该函数图象在自变量取值范围内是轴对称图形，对称轴是直线
(3)或
【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求解；
（2）描点，画出图象，即可求解；
（3）结合图象求出的解析式，联立方程组可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
当时，；
当时，，
综上所述：；
（2）解：列表，描点，连线得：
x 0 2 4
y 6 0 6
性质：该函数图象在自变量取值范围内是轴对称图形，对称轴是直线
（3）解：由图象可得：当时，；当时，，
∵
∴当时，，
∴；
当时，，
∴．
10．（1），；（2），下， 6；（3）将直线进行两次“斜平移”后的函数解析式为
【分析】本题考查了坐标与图形变换－平移，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点．
（1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解；
（2）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移3个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得m，也就求得了所求的直线解析式；
（3）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，找到点进行两次“斜平移”后的对应点的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得n，也就求得了所求的直线解析式．
【详解】（1）点向上平移3个单位后的点的坐标为，
设平移后的直线解析式为，
代入得，则，
所以过点的直线的解析式为；
故答案为：，；
（2）可设新直线解析式为，
∵原直线经过点，
∴点O向左平移3个单位后点，
代入新直线解析式得：，
∴，
∴平移后直线的解析式为：，
由（1）可知，另外直接将直线向下平移6个单位也能得到直线；
故答案为：，下，6；
（3）直线上的点，进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为，进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为，
设两次斜平移后的直线的解析式为，
代入得，，
则，
所以，两次斜平移后的直线的解析式为．
11．(1)5
(2)
(3)或或
【分析】（1）分别求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求解即可；
（2）在上取点M，使，连接，过M作于N，证明，求出，，则，根据待定系数法求出直线解析式为，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，则，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，解方程组即可求出点F的坐标；
（3）分当顶点M在上时；顶点M在上；当顶点M在上时；顶点M在上时，四种情况讨论，然后根据待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在上取点M，使，连接，过M作于N，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴设直线解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
联立方程组，
解得，
∴；
（3）解：根据题意得，
对于，当时，，
∴，
当顶点M在上时，M和A重合，则，
设抛物线解析式为，
把代入，得，
∴；
当顶点M在上时，M和A重合，则，
同理求出，
当顶点M在上时，设，
则可设抛物线解析式为，，
把，代入，得，
解得，经检验，符合题意，
∴；
当顶点M在上时，设，，
则可设抛物线解析式为，
把，代入，得，
化简，得
∴
∴，
解得，（舍去）
∴，
解得，
综上，a的值为或或．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）先求出点A的坐标，再确定P的坐标为，然后将A点坐标代入求解即可；
（2），确定点P的坐标为，然后求出解析式即可；
（3）先求出，的面积，求出，然后分两种情况求解：①当点B在点C的左边时，设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为，则点，点，代入求解即可；②当点B在点C的右边时，设点C、B的坐标分别为，代入求解即可．
【详解】（1）∵，
∴令，则，
∴点A的坐标为，顶点P的坐标为，
∴风车线的表达式为，
将点A的坐标代入并求解得：
∴“风车线”的解析式为；
（2）∵
∴点P的坐标为，
∴平移后的抛物线表达式为；
（3）∵，
∴点，即“风车线”的表达式为，
联立，解得，故点，
∴，
∴的面积，
解得：，
①当点B在点C的左边时，，
设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为，
∵点B在直线m上，
∴点，
同理：点，
将点B、C的坐标分别代入，
得： 解得或 ，
∴“风车线”的表达式为或．
②当点B在点C的右边时，，
设点C、B的坐标分别为，
则，
解得，
故“风车线”的表达式为或．
综上可知，“风车线”的表达式为或或或．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，求一次函数解析式，分类讨论是解答本题的关键．
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