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期末达标测试卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批烟花的燃放质量，应采用抽样调查的方式
D．了解某电视栏目的收视率，应采用普查的方式
2．推动科技创新，赋能高质量发展．下列四个选项属于轴对称图形的是（ ）
A．数 B．字 C．中 D．国
3．如图，将四边形沿折叠一下，如果，，那么是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，．则的周长是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．下列各式不能使用平方差公式的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（ ）

A．15 B．16 C．18 D．20
8．如图，在如图1中已知，，线段m，求作．
作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．若一个等腰三角形有一个内角为，则它的底角为 ．
11．若是一个完全平方式，则的值等于 ．
12．一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从中随机摸出1个球是红球的概率为0.25，则m的值为 ．
13．如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ．

14．一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，．
15．如图，在中，平分，，，则 ．
16．如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动 秒时，．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
19．在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是．
(1)求、的值；
(2)将，的值代入并化简，求出正确的结果．
20．若（且，m，n是正整数），则．试利用该结论解决下列问题：
(1)若，求x的值；
(2)若，求x的值．
21．下表是一名同学在罚球区投篮的结果，根据表中数据，回答问题：
投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500
投中次数m 28 60 78 104 124 153 252
投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 ______ ______
(1)将表格补充完整；
(2)估计这名同学投篮一次投中的概率是多少（精确到0.01）；
(3)若这名同学投篮622次，估计他投中的次数是多少．
22．探究：如图1，在边长为a的大正方形中裁剪一个边长为b的小正方形，把图1中的剩下（阴影）部分剪拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：．
请应用上述公式完成下列各题：
(1)已知，，求的值；
(2)计算：．
23．风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．
风筝骨架模型图 数据说明
制作时，骨架可根据实际情况等比例放大

(1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：；
(2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明．
24．如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．
(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由；
(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由；
(3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化；
(4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由．
《期末达标测试卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B B C B C C
1．C
【分析】此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法．根据调查方式的选择、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、明天的降水概率为，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上是随机的，故本选项错误；
C、了解一批烟花的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；
D、了解某电视栏目的收视率，应采用抽样调查方式，故本选项错误；
故选：C．
2．C
【详解】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【分析】解：由轴对称图形的定义可知，四个字中只有“中”是轴对称图形，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了折叠的性质及平行线的性质．由平行线的性质得，，由折叠即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，，
由折叠得，
∴，
∴．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴的周长，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了概率公式，根据中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则运用概率公式得出恰好选中《算学启蒙》的概率，即可作答．
【详解】解：∵某中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，
∴恰好选中《算学启蒙》的概率是，
故选：C
6．B
【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意；
C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．C
【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由平行线的性质可得，进而根据“”推出，根据全等三角形的性质得到，进而求出，再由计算即可得到答案．
【详解】解：，，
，
又，
，
，
，即，
，，
∴，
，
．
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法．
【详解】解：∵，，
∴这样作图的依据是，
故选：C．
9．
【分析】该题考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．或
【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：①是等腰三角形的底角；
②当是等腰三角形的顶角时，
它的底角的度数为：，符合要求；
故答案为：或．
11．5或
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式特点是解题的关键，注意完全平方式有两种形式，故不要漏掉答案．根据完全平方公式的特征判断即可得到的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
，
或，
故答案为：5或．
12．5
【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是明确题意，根据题意求出布袋中球的总数．
根据题目中的数据可以计算出总的球的个数，从而可以求得的值．
【详解】由题意可得，布袋中球的总数为：（个），
所以
故答案为：5．
13．17
【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质，连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，则，根据三角形三边之间的关系得到（当且仅当A、P、C共线时取等号），则的最小值为的长，所以周长的最小值．
【详解】解：连接，如图，

∵垂直平分，
∴，
∴，
∵（当且仅当A、P、C共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∴周长的最小值．
故答案为：17．
14．或
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
分两种情况进行讨论：①当时；②当时，利用平行线的判定条件即可求解：
【详解】解：由题意得，，
如图，
当时，可得；
②如图，
当时，可得，
则．
故答案为：或；
15．
【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用．
过作于，于，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过作于，于，
∵平分，
∴，
∵，，
，
故答案为．
16．或20
【分析】本题考查平行线的性质，分未到达和从返回两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
设当射线转动时，，则：
①当未到达时，，，
∴，解得：；
②当从返回时，则：，，
∴，
解得：；
故答案为：或20．
17．(1)2
(2)
【分析】（1）先根据负数的偶次幂，零指数幂，负整指数幂的运算法则进行化简，再进行加减即可；
（2）根据同底数幂乘除法，积的乘方的法则进行运算，最后再并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数及整式的混合运算，涉及负数的幂的运算，零指数幂，负整指数幂及有理数的加减运算，同底数幂乘除法，合并同类项，根据法则正确运用是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可；
（2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
．
（2）解：，，，，
，，
，
．
19．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．
（1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出的值；
（2）将（1）的的值代入代数式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：
，
∵计算时，甲错把看成了6，得到的结果是
∴，
∴，
，
∵乙错把看成了，得到的结果是，
∴，
∴．
（2）解：根据，
可知：
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）将化为，再化为，然后根据同底数幂的乘法得到，即可求解；
（2）将化为，再化为，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴
∴，
∴，
解得：．
21．(1)见解析
(2)估计这名球员投篮一次，投中的概率约是0.50；
(3)311次
【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）用投中的次数除以投篮次数即可；
（2）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法；
（3）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解．
【详解】（1）解：，；
补充表格如下，
投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500
投中次数m 28 60 78 104 124 153 252
投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 0.51 0.50
（2）解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是0.50；
（3）解： (次)．
所以估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次．
22．(1)3
(2)5050
【分析】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键
（1）利用平方差公式得出，代入求值即可；
（2）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值．
【详解】（1）解：由，得．
，，
．
（2）解：
．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可；
（2）在上截取，连接，利用证明和全等，进而解答即可．
此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等解答．
【详解】（1）证明：，
点A在的垂直平分线上，
，
点C在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
；
（2）解：在上截取，连接，
，，
，
同理可得，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
是的外角，
，
即，
，
．
24．(1)平分，见解析
(2)，见解析
(3)，当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小
(4)或，见解析
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，等角的余角相等，熟练掌握图形中角的运算是解题的关键．
（1）由，平分得，进而得，据此可得出结论；
（2）由得，，然后根据同角的余角相等可得出结论；
（3）由得，据此可得，进而可得当的值逐渐增大时，的度数的变化情况；
（4）①当在的内部时，由得，据此可得与的关系；
②当在的外部时，由可得出与的关系．
【详解】（1）解：平分，理由如下：
依题意得：，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：，理由如下：
依题意得：，
∴，，
∴．
（3）解：依题意得：，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小．
（4）解：或，理由如下：
依题意得：，
①当在的内部时，如图：
，
∴；
②当在的外部时，如图：
．
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