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期末达标测试卷-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）
一、单选题
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．18
5．若多项式的结果中不含项，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．下列正方形分割方案中，可以验证的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列命题中，真命题是（　　）
A．相等的角是对顶角 B．如果，那么
C．内错角相等 D．同旁内角互补
8．古代数学题：“一些人共同买鸡，如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱，问人数和鸡的价格各是多少？”设人数为，鸡的价格为钱，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知是一个完全平方式，则 ．
10．计算： ．
11．将长方形纸片沿折叠，点落在长方形内的点处，如图所示，已知，则 ．
12．若关于的不等式组，仅有2个整数解，则的取值范围是 ．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为 ．
14．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，与神舟十八号乘组完成在轨轮换，再次创下我国载人航天的新纪录，为进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校开展“航空航天”知识竞赛，一共25道题，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分得奖，则至少应选对 道题才能得奖．
15．如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为 ．
16．如图1是一张长方形纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则的度数为 ．
三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中
19．解不等式（组）
(1)
(2)
20．解方程组：
(1)；
(2)．
21．将8个直角边长分别为和的直角三角形拼成如下图案.
(1)该图案可以用来证明哪个等式是成立的；
(2)请从代数的角度来证明（1）中的式子是成立的；
(3)若已知，，求的值.
22．丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？
23．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标，，都在格点上．
(1)若平移后得到，当的坐标为，画出，并写出，的坐标；
(2)将绕原点逆时针旋转得到，画出，并直接写出点的坐标；
(3)求的面积．
24．探究：如图①，②，与，与交于点，这两个角的两边分别平行，即．
(1)分别猜想图①，图②中与的大小关系，并给予证明；
(2)一般地，本题“探究”的命题是真命题，请把这个命题写成“如果……，那么……”的形式．
25．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．
【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式．
【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”．
（2）请利用“配方法”分解因式：
①；
②．
《期末达标测试卷-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A C D B B
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可判断．
【详解】解：A、图案不是轴对称图形，不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，不符合题意；
C、图案是轴对称图形，符合题意；
D、图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法运算法则是关键．
根据整式的混合运算计算即可．
【详解】解：，，
∴，
故选：B ．
3．D
【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题的关键．
根据不等式的解集求解即可．
【详解】
解：在数轴上表示不等式的解集为
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解．先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题．
【详解】解：由方程得：，
∵关于的方程的解是非负整数，
∴，
解得，
解不等式组得：，
∵此不等式组有且仅有3个整数解，
∴，
解得：，
∴，
∵关于的方程的解是非负整数，，
∴符合条件的所有整数的和是：，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了合并同类项及对多项式“项”的概念的理解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
先把多项式合并，然后令项系数等于，再解方程即可．
【详解】解：，
多项式的结果中不含项，
，
，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景．用代数式分别表示各个选项中图形的面积，再根据各个图形中面积之间的关系得到等式即可．
【详解】解：A、选项A中的左图面积为，拼成的右图是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，因此选项A不符合题意；
B、从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成整体的4部分的面积和为，所以有，因此选项B不符合题意；
C、选项C中大正方形的面积为，拼成大正方形的4部分的面积和为，所以有，因此选项C不符合题意；
D、选项D中大正方形的面积为，拼成大正方形4个部分的面积和为，所以有，因此选项D符合题意．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，熟练掌握对顶角，平行线的性质是解题的关键．
先根据对顶角的定义、平行线的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A，相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意；
B，如果 ，那么 ，是真命题，符合题意；
C，内错角不一定相等，原命题错误，不符合题意；
D，同旁内角不一定互补，原命题错误，不符合题意．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，根据如果每人出9钱，则多了11钱；如果每人出6钱，则少了16钱列方程组即可．
【详解】解：每人出9钱的情况得到，每人出6钱的情况得到，
所以方程组为，
故选B．
9．9
【分析】根据完全平方公式的结构特征进行求解．
本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特点是解题的关键．
【详解】解：∵完全平方式的特征是：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，
∴m等于的一半的平方．
∴．
故答案为：9．
10．4
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键
根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：4
11．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键，根据长方形的性质得出，再根据折叠的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：四边形是长方形，
，
，
，
根据折叠的性质得，，
，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据不等式组有且仅有2个整数解，确定出a的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得，
∵关于x的不等式组，仅有2个整数解，
∴整数解为3，4，即
解得：．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，正确计算是解题的关键．
先解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程中即可求出k的值．
【详解】解：解关于x，y的二元一次方程组，得，
根据题意得把代入方程中，得，
解得，
故答案为：．
14．19
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
根据题意列出不等式解答即可．
【详解】解∶设应选对道题才能得奖，
根据题意得∶，
解得∶，
∵为整数，
∴的最小值为19，
∴至少应选对19道题才能得奖，
故答案为∶19．
15．/34度
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的旋转得到，因为，计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，
，，
，
故答案为：．
16．/66度
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，掌握折叠的性质是解题的关键；根据折叠的性质得，再由第2次折叠得到，于是利用平角定义即可可计算结果．
【详解】解：纸条沿折叠，
，
纸条再沿折叠并压平，
，
，
，
，
，
纸条沿折叠并压平，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可．
【详解】解：
18．，
【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，原式 ．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式（组）的步骤是解题的关键．
（1）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可；
（2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：，
去括号得，
移项合并得，
解得；
（2）解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集为：．
20．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
故原方程组的解是：；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故原方程组的解是：．
21．(1)
(2)证明见解析
(3)1
【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解决本题的关键是熟练掌握乘法公式的几何意义．
（1）分别用两种方法计算阴影部分的面积，再根据同一图形面积相等的性质分析，即可得出结论；
（2）通过对整式的运算法则对（1）的等式进行证明即可；
（3）运用前面的公式进行计算即可．
【详解】（1）解：该图案的阴影部分面积可以用表示，也可以用表示，
故得；
（2）证明：左边，
，
，
，
右边，
原式成立.
（3）解：由（1）知，
所以
由题意得，
，
.
22．12个
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可．
【详解】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面，
由题意得，
解得．
（个）或（个）
答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
23．(1)画图见解析，，
(2)画图见解析，点
(3)
【分析】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，平移作图，数形结合是解题的关键．
（1）由题意可得：向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到，画出图形，并写出点，的坐标；
（2）根据旋转的性质即可画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，，；
（2）如图所示，即为所求，点；
（3）．
24．(1)图①：，图②：，见解析
(2)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【分析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）如图①根据平行线的性质得出，可得；如图②根据平行线的性质得出，可得；
（2）根据（1）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【详解】（1）关系是：图①：，图②：，
如图①∵，
∴
∵，
∴
∴
如图②∵，
∴
∵，
∴
∴．
（2）命题：如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
25．（1）；（2）①；②
【分析】本题主要考查了分解因式，灵活运用公式法进行因式分解是解题的关键．
（1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可；
（2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可；②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可．
【详解】解：（1）
．
（2）①
；
②
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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