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2024-2025 学年福建省厦门市翔安一中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量 服从正态分布 (2, 2)， ( < 3) = 0.7，则 (1 < < 2) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.6 D. 0.7
2.已知函数 ( ) = + 2 ，则曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为( )
A. = 2 + 1 B. = 3 + 1 C. = 2 D. = 3
3. 为等差数列{ }的前 项和，已知 5 + 6 + 7 = 15，则 11为( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 55
4.某学校开设了 6 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 10 门课中选修 3 门课进行学习，并
且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案种数是( )
A. 96 B. 116 C. 120 D. 192
5.已知点 ( 2,0)， (2,0)， (4,3)，动点 满足 ⊥ ，则| |的取值范围为( )
A. [2,5] B. [2,8] C. [3,7] D. [4,6]
6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加 4 × 100 接力比赛.记事件 为“甲同学不跑第一棒”，事件 为“乙同
学跑第二棒”，则 ( | )的值为( )
A. 1 B. 49 9 C.
1 2
3 D. 9
7.已知函数 ( ) = 1 ln( )，则( )
A. (3) > (2) > ( ) B. (2) > (3) > ( )
C. ( ) > (2) > (3) D. ( ) > (3) > (2)
8.记 为数列{ }的前 项和，若 3 = 2
9
2, { }为等比数列，则 =( )4
A. 64 B. 32 C. 16 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(1 2 )5 = 0 + 1 + 2 3 4 52 + 3 + 4 + 5 ，则下列结论中正确的是( )
A. 0 = 1 B. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2
C. 1 + 3 + 5 = 122 D.
1 + 2 + 3 4 52 4 8 + 16 + 32 = 1

10.已知由样本数据( , )( = 1,2, , 10)组成的一个样本，得到回归直线方程为 = + 3，且 = 4，剔
除一个偏离直线较大的异常点( 5, 1)后，得到新的回归直线经过点(6, 4).则下列说法正确的是( )
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A.相关变量 ， 具有正相关关系
B.剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C.剔除该异常点后的回归直线方程经过点(5, 1)
D.剔除该异常点后，回归直线的斜率是 3
11.在孟德尔豌豆实验中，已知子一代豌豆的基因型均为 ，以子一代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子二
代，以子二代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子三代，子二代、子三代的基因型有 ， ， ，其中
为显性基因， 为隐性基因，基因型中至少含有 1 个显性基因 时呈显性性状.则下列说法正确的是( )
A. 1子二代中基因型为 的概率为3
B. 1子三代中基因型为 的概率为2
C. 27子二代中随机取 3 粒豌豆恰有 2 粒豌豆呈现显性性状的概率为64
D. 27子三代中随机取 3 粒豌豆恰有 2 粒豌豆呈现显性性状的概率为64
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( 1 )63 展开式中的常数项为______．
13.有 4 人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人恰被一所学校录用，每所学校至少录用其中 1 人，则所有
不同的录用情况种数为______. (用数字作答)
14.关于 的方程 + = 2( > 0 且 ≠ 1)有唯一实数解，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围
是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
中药是中华民族的瑰宝，除用来治病救人外，在调理身体、预防疾病等方面也发挥着重要的作用.某研究机
构为了解草药 对某疾病的预防效果，随机调查了 100 名人员，数据如下：
未患病 患病 合计
服用草药 48 12 60
未服用草药 22 18 40
合计 70 30 100
(1)依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，分析草药 对预防该疾病是否有效；
(2) 2已知草药 对该疾病的治疗有效的概率的数据如下：对未服用草药 的患者治疗有效的概率为3，对服用
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草药 4的患者治疗有效的概率为5 .若用频率估计概率，现从患此疾病的人中随机抽取 1 人使用草药 进行治
疗，求治疗有效的概率．
( )2
附：参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 3)( ≠ 0)．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)当 = 1 时，求函数 ( ) = ( ) + 2 4 的极值．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)
3
的左、右焦点分别为 1， 2，离心率为 2 ，点 (1,
3
2 )在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过点 2的直线 交椭圆 于 ， 两点，当△ 1 的面积最大时，求此时直线 的方程．
18.(本小题 17 分)
如图，在正四棱锥 中， = = 2， ， 分别为 ， 的中点.设平面 ∩平面 = ．
(1)求证： // ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)若平面 与棱 交于点 ，求 的值．
19.(本小题 17 分)
“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低
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碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影
1 2
响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为2，乙每天选择“共享单车”的概率为3，丙在每月第一天选
3
择“共享单车”的概率为4，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概
1 1
率为4，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为3，如此往复．
(Ⅰ)若 3 月 1 日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；
(Ⅱ)记甲、乙、丙三人中 3 月 1 日选择“共享单车”出行的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
(Ⅲ)求丙在 3 月份第 ( = 1,2, …, 31)天选择“共享单车”的概率 ，并帮丙确定在 3 月份中选择“共享单
车”的概率大于“地铁”的概率的天数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 527
13.36
14.(1, ∞) ∪ { 1 }
2
15.解：(1)零假设为 0：草药
100(48×18 12×22)
对预防该疾病无效，根据列联表中数据，得 2 = 70×30×60×40 ≈ 7.143 >
6.635，因为当假设 成立时， ( 20 > 6.635) = 0.01，所以根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，我们推
断 0不成立，即认为服用草药 对预防该疾病有效，此推断犯错误的概率不大于 0.01；
(2)设事件 表示“草药 的治疗有效”，事件 1表示“患者未服用草药 ”，事件 2表示“患者已服用草药
”，
( ) = 18 3 12 2则 1 30 = 5 , ( 2) = 30 = 5，
( | 1) =
2
3 , ( | ) =
4
2 5，
所以由全概率公式得： ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2)，
= 35 ×
2 2 4 18
3 + 5 × 5 = 25．
16.解：(1) ′( ) = ( 2)，
若 > 0，由 ′( ) < 0，得 < 2，
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由 ′( ) > 0，得 > 2，
所以 ( )的递减区间为( ∞,2)，递增区间为(2, + ∞)，
若 < 0，由 ′( ) < 0，得 > 2，
由 ′( ) > 0，得 < 2，
所以 ( )的递减区间为(2, + ∞)，递增区间为( ∞,2)，
综上所述，当 > 0 时， ( )的递减区间为( ∞,2)，递增区间为(2, + ∞)，
当 < 0 时， ( )的递减区间为(2, + ∞)，递增区间为( ∞,2)．
(2)当 = 1 时， ( ) = ( ) + 2 4 = ( 3) + 2 4 ，
′( ) = ( 2) + 2 4 = ( 2)( 2)，
由 ′( ) = 0，得 = 2 或 = 2，
当 变化时， ′( )与 ( )的变化情况如下表：
( ∞, 2) 2 ( 2,2) 2
(2,
+ ∞)
′( ) 0 + 0
( ) 递减 极小值递增 极大值递减
所以 ( ) 2极小值 = ( 2) = ( 2) 6 2 + 6，
( ) = (2) = 2极大值 4．
17.解：(1)因为椭圆 的离心率 3，
2
2 2 2所以
2 = 2 =
3
，
4
解得 = 2 ，
因为(1, 3 )在椭圆 上，2
1
所以 2 +
3
4 2 = 1，
又 = 2 ，
解得 = 2， = 1，
2
则椭圆 的方程为 + 2 ；4 = 1
(2)设直线 的方程为 = + 3， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 + 24 = 1联立 ，消去 并整理得( 2 + 4) 2 + 2 3 1 = 0，
= + 3
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+ = 2 3 1由韦达定理得 1 2 ， = ， 2+4 1 2 2+4
1 2 4 3 4 3
则 △ 1
= 2 | 1 2|| 1 2| = 3 ( 1 + 2) 4 1 2 = 2+1+ 3
≤ 2 3 = 2，
2+1
当且仅当 2 + 1 =
3
2 ，即 +1 =± 2时，等号成立．
故直线 的方程为 + 2 3 = 0 或 2 3 = 0．
18.解：(1)证明：连接 ，在△ 中，因为 ， 分别为 ，
的中点，
所以 // ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，
又因为 // ，
所以 // ．
(2)设 ∩ = ，连接 ，
因为 为正四棱锥，所以 为正方形 的中心，
所以 ⊥ ， ⊥平面 ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知， ( 2, 0,0)， (0, 2, 0)， ( 2, 0,0)， (0, 2, 0)， (0,0, 2)， (0, 2 , 22 2 )， (0,
2
2 ,
2 ，
2 )
= ( 2, 0, 2)， = ( 2, 2 , 2 ， ，2 2 ) = (0, 2, 0)
设平面 的法向量为 = ( , , )，

2 2
则 = 0 2 + 2 + = 0 ，即
2 ，令 = 2，则 = (1,0,2)，
= 0 2 = 0
设直线 与平面 所成角为 ，

则 = |cos( , )| = | | =
| 2 2 2|
2× 5 =
10
| || | 10
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 10；
10
(3)连接 ，设 = (0 < < 1)，所以 = = ( 2 , 0, 2 )，
因为 = ( 2, 0, 2)，
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所以 = + = ( 2 2 , 0, 2 2 )，
由(2)知平面 的法向量为 = (1,0,2)，
所以平面 的法向量为 = (1,0,2)，
由 平面 ，可知 = 0，
即 2 2 + 2( 2 2 ) = 0 = 1，解得 3，
1
即 = 3．
19.解：(Ⅰ)记甲、乙、丙三人 3 月 1 日选择“共享单车”出行分别为事件 ， ， ，记三人中恰有两人选择
“共享单车”出行为事件 ，

则 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 1 × 2 × 1+ 1 × 1 × 3 1 2 3 112 3 4 2 3 4+ 2 × 3 × 4 = 24，

( ) = ( ) + ( ) = 1 × 2 × 3+ 1 × 1 × 3 32 3 4 2 3 4 = 8，
所以 ( | ) = ( ) 9 ( ) = 11，
9
故丙选择“共享单车”的概率为11．
(Ⅱ)由题意可知， 的所有可能取值为 0，1，2，3，

则 ( = 0) = ( ) = 1 × 1 × 1 = 12 3 4 24，

( = 1) = ( ) + ( ) + ( ) = 12 ×
1
3 ×
1 1 2 1 1 1 3 1
4+ 2 × 3 × 4+ 2 × 3 × 4 = 4，
( = 2) = ( ) = 1124，
( = 3) = 1 ( = 0) ( = 1) ( = 2) = 14，
故 的分布列为：
0 1 2 3
1 1 11 1
24 4 24 4
1 1 11 1 23
可得 ( ) = 0 × 24 + 1 × 4+ 2 × 24 + 3 × 4 = 12，
所以 23的数学期望为12．
(Ⅲ)由题意得 31 = 4，
则 = 1 2 4 1 + 3 (1 1)
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= 5 212 1 + 3 ( = 2,3, ……, 31)，
所以
8 5 8
17 = 12 ( 1 17 )，

8
所以 17 = 5 ( = 2,3, ……, 31)．
8 1 1217
8 = 19又因为 1 17 68 ≠ 0，
8 19 5
所以数列{ 17 }是以68为首项， 12为公比的等比数列，
所以 = 8 + 19 ( 5 ) 1 17 68 12 ( = 1,2, ……, 31)．
1
由题意知，3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足 > 1 ，即 > 2，
= 8 + 19 5 17 68 ( 12 )
1( = 1,2, ……, 31)．
8 19 5
则 117+ 68 ( 12 ) >
1
2，
即( 5 1 212 ) > 19 ( = 1,2, ……, 31)，
当 为偶数时，( 5 ) 112 >
2
19显然不成立，
5 2当 为奇数时，不等式可变为( 12 )
1 > 19，
当 = 1 时，1 > 219成立；
当 = 3 5 25 24 2 2时，( 212 ) = 144 > 144 = 12 > 19成立；
当 = 5 5 6 1 2时，( )4 < ( )412 12 = 16 < 19，
= 5 5则 时，( 1 212 ) > 19不成立．
5
又因为函数 = ( 112 ) 单调递减，
所以当 ≥ 5 5 2时，( 112 ) > 19不成立，
1 3 > 1所以只有在第 天和第 天时， 2，
所以丙在 3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有 2 天．
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