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2024-2025 学年广东省广州市衡美高级中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( , 1,1), = ( 2,2, )，满足 ⊥ ，则 2 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
2.已知 是等差数列{ }的前 项和，且 6 = 5，则 11 =( )
A. 55 B. 50 C. 100 D. 58
3.在(1 + 3 )5展开式中， 2的系数为( )
A. 15 B. 90 C. 270 D. 405

4 ( + ) ( ).已知函数 ( )在 = 0处可导，且 → 0 0 03 = 3，则 ′( 0) =( )
A. 9 B. 9 C. 1 D. 1
5.已知数列 1， 3，5， 7，9，…，则该数列的第 99 项为( )
A. 197 B. 197 C. 199 D. 199
6.曲线 ( ) = 3 在点(0, (0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. 1 1 1 18 B. 6 C. 4 D. 3
7.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，点 在对角线 1 上，点 在对角
= 1线 1 上， 1 ， =
1
1 3 2 ，以下命题正确的是( )
A. //
B. 1、 、 三点共线
C. 1 与 1 是异面直线
D. 1 =
1 2
8.树人中学的科学社团设计了一块如图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团
牌的正反两面 6 个区域涂色，有 3 种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不
同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为( )
A. 36 B. 48 C. 54 D. 56
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = (4, 2, 4), = (6, 3,2)，则下列结论正确的是( )
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A. + = (10, 5, 2) B. = (2, 1,6)
C. = 22 D. | | = 6
10.已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1， +1 = 2 + 1，则( )
A.数列{ + 1}是等比数列 B. = 2 1
C. 1 1 = 2 1 D.数列{ }的前 项和为 2 2 1
11.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + ( > 0)存在两个极值点 1， 2( 1 < 2)，且 ( 1) = 1， ( 2) = 2.
设 ( )的零点个数为 ，方程 3 ( ( ))2 + 2 ( ) + = 0 的实根个数为 ，则( )
A. 2 > 0 B. 的取值为 2、3、4
C. = + + 2 D. 的取值为 3、6、9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设等差数列{ }，{ }
+1
的前 项和分别为 ， ，若 = ，则
9
2 +4 = ______． 9
13.已知函数 ( ) = 2 2 ，函数 ( ) = 2，若恒有 ( ) ≤ ( )，则 的取值范围为______．
14.将 9 个互不相同的向量 = ( , )， ， ∈ { 1,0,1}， = 1，2，…，9，填入 3 × 3 的方格中，使得
每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ， 3 + 4 = 3， 7 = 14．
(1)求{ }的通项公式；
(2)若 = 2 + 2 ，求{ }前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中第 3 项的二项式系数是 21；
条件②：展开式中第 2 项与第 7 项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于 64．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
1
问题：已知二项式(2 + )
( ∈ )，若____，求：
(1) 的值；
(2)展开式中二项式系数最大的项．
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17.(本小题 15 分)
如图所示，在四面体 中， ⊥平面 ， 是 的中点， ， 分别在线段 ， 上，且 = 2 ，
= 2 ．
(1)求证： / /平面 ；
(2)若 = = 2 = 6， = 3 3，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 1)， ∈ ．
(1)当 = 1 时，求函数 ( )的单调区间．
(2)若函数 = ( )在区间(1, + ∞)上有 1 个零点，求实数 的取值范围．
(3)是否存在正整数 ，使得 ( ) + > 0 在 ∈ (1, + ∞)上恒成立？若存在，求出 的最大值；若不存在，说
明理由．
19.(本小题 17 分)
定义正方形数阵{ ( , )}满足 2 2 ( , ) = ，其中 ， ∈ ．
(1)若 + = 100，求数阵{ ( , )}所有项的和 ；
(2)若 ， ， ， ∈ ，求证： ( , ) ( , )也是数阵{ ( , )}中的项；
(3)若 ， ∈ { , 2,3, …, }， ≠ 且 ≥ 3，求 ( , )的值为奇数的概率 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 919
13.[ 1 1 2 + 2 , + ∞)
14.72
15.解：(1)因为{ }是等差数列，设其公差为 ，
3 + 由题知， 4
= 2 1 + 5 = 3
7 = 7 1 + 21 = 14
，解得 1 = 1， = 1，
所以{ }的通项公式为 = 2；
2 (2)由题知， = 2 2 + 2( 2) = 4 + 2 4，
+1
所以 =
1 2 2 ( 2+2 4) 1 1 2
4 1 2 + 2 = 2 2 + 3 ．
16.解：(1)选条件①：展开式中第 3 项的二项式系数是 21 ( 1)；故 2 = 2 = 21，解得 = 7；
条件②：展开式中第 2 项与第 7 项的二项式系数相等；故 1 = 6 ，故 = 7；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于 64，故2 1 = 64，解得 = 7．
(2)由(1) 7×6×5得： = 7，所以二项式系数的最大项为第 4 项和第 5 项，即 37 = 47 = 3×2 = 35．
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17.解：(1)证明：如图，在线段 上取一点 ，使 = 2 ，
2
由已知， // ，且 = 3 =
2 × 13 2 =
1
3 ，
在线段 上取一点 ，使 = 2 ，
1
由已知， // ，且 = 3 ，
所以 = ，且 // ，因此四边形 为平行四边形，
所以 // ，又 平面 ，且 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)由 = 2 = 6， = 3 3，知 ⊥ ．
以 为坐标原点，过点 与 平行的直线为 轴，
分别以 ， 所在直线为 轴和 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
又 = 6，得 (0,0,6)， (0,0,3)， (3 3, 3,0)， (0,3,0)， ( 3, 1,2)，
则 = ( 3, 1, 4)， = ( 3 3, 0,0)， = (2 3, 2, 2)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 0 2 3 + 2 2 = 0则 ，即 ， = 0 3 3 = 0
取 = 1，则 = 1，所以平面 的一个法向量为 = (0,1,1)，
设直线 与平面 所成角为 ，
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则 = |cos <

, > | = | 3 3 10
|
| = =
|×| | 2 20 20
，
3 10
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 20 ．
18.解：(1) = 1 时， ( ) = + 1， > 0，
′( ) = + 1 1 = ，
令 ′( ) > 0，解得： > 1，
令 ′( ) < 0，解得：1 < < 1，
∴ ( )在(0,1)递减，在(1, + ∞)递增；
(2) ′( ) = + 1 ，
令 ′( ) > 0，解得： > 1，
令 ′( ) < 0，解得： < 1，
∴ ( )在(0, 1)递减，在( 1, + ∞)递增，
而 (1) = 0，
∴只需 1 > 1，解得： > 1；
(3)令 ( ) = ( ) + = ( 1) + ，
′( ) = + 2 ，
令 ′( ) > 0，解得： > 2，
令 ′( ) < 0，解得：0 < < 2，
∴ ( )在(0, 2)递减，在( 2, + ∞)递增，
∴只需 2 < 1，即 2 < 0，解得： < 2，
故存在正整数 ，使得 ( ) + > 0 在 ∈ (1, + ∞)上恒成立，
的最大值是 3．
19.解：(1)若 + = 100，则( , )的所有取值情况为：
(1,99)，(2,98)，(3,97)，…，(50,50)，…，(97,3)(98,2)，(99,1)，
故数阵{ ( , )}共 99 项，由 2 2( , ) = 知： (50,50) = 0，
(1,99) + (99,1) = (2,98) + (98,2) = = ( , ) + ( , ) = 0，
所以 = (1,99) + (2,98) + (3,97) + … + (50,50) + … + (97,3) + (98,2) + (99,1) = 0．
(2)证明： 2 2( , ) ( , ) = ( )( 2 2) = ( + )2 ( + )2，
由 ， ， ， ∈ 知， + 、 + ∈ ，故 ( , ) ( , ) = ( + , + )，
所以 ( ) ( , )也是数阵{ ( , )}中的项．
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(3) ， ∈ {1,2,3, …, }，若 ≠ ，那么 2 2( , ) = = ( )( + )，
由 与 + 具有相同的奇偶性知要使 ( , )的值为奇数，需使 与 + 都是奇数，
即 与 必定一奇一偶，
当 = 3 时，( , )的取值情况有 4 种，故 3 =
4 = 2；
23 3
当 = 4 时，( , ) 8 2的取值情况有 8 种，故 4 = 2 = 3； 4
当 = 5 时，( , )的取值情况有 12 12 3种，故 4 = 2 = 5； 5
当 ≥ 3 +1 1且 为奇数时，{1,2,3. …, }中有 2 个奇数， 2 个偶数，
2
2 1
故( , ) +1 1 1 +1的取值情况有 × × 2 = 种，故 = 22 2 2 = ； 2 2
当 ≥ 3 且 为偶数时，{1,2,3, …, } 中有2个奇数，2个偶数，
2
2
故( , ) 的取值情况有2 ×
× 2 = 2 2 2种，故 = = ． 2 2( 1)
综上所述，当 ≥ 3 且 为奇数时， +1 = 2 ；当 ≥ 3 且

为偶数时， = 2( 1)．
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